2.4 二項分布學習目標1.理解n次獨立重復試驗的模型.2.掌握二項分布公式.3.能利用獨立重復試驗的模型及二項分布解決一些簡單的實際問題知識點一獨立重復試驗思考1要研究拋擲硬幣的規(guī)律，需做大量的擲硬幣試驗，試驗的條件有什么要求？思考2試驗結(jié)果有哪些？思考3各次試驗的結(jié)果有無影響？梳理n次獨立重復試驗的特點(1)由_次試驗構(gòu)成(2)每次試驗_完成，每次試驗的結(jié)果僅有_的狀態(tài)，即_(3)每次試驗中P(A)p0.特別地，n次獨立重復試驗也稱為伯努利試驗知識點二二項分布在體育課上，某同學做投籃訓練，他連續(xù)投籃3次，每次投籃的命中率都是0.8，用Ai(i1,2,3)表示第i次投籃命中這個事件，用Bk表示僅投中k次這個事件思考1用Ai如何表示B1，并求P(B1)思考2試求P(B2)和P(B3)梳理一般地，在n次獨立重復試驗中，每次試驗事件A發(fā)生的概率均為p(0p1)，即P(A)p，P()1pq.若隨機變量X的分布列為P(Xk)Cpkqnk，其中0p1，pq1，k0,1,2，n，則稱X服從參數(shù)為n，p的二項分布，記作XB(n，p)類型一求獨立重復試驗的概率例1甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是和，假設每次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響(結(jié)果需用分數(shù)作答)引申探究若本例條件不變，求兩人各射擊2次，甲、乙各擊中1次的概率(1)求甲射擊3次，至少有1次未擊中目標的概率；(2)求兩人各射擊2次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標1次的概率反思與感悟獨立重復試驗概率求法的三個步驟(1)判斷：依據(jù)n次獨立重復試驗的特征，判斷所給試驗是否為獨立重復試驗(2)分拆：判斷所求事件是否需要分拆(3)計算：就每個事件依據(jù)n次獨立重復試驗的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式計算跟蹤訓練19粒種子分別種在甲、乙、丙3個坑內(nèi)，每坑3粒，每粒種子發(fā)芽的概率為.若一個坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個坑不需要補種，否則這個坑需要補種種子(1)求甲坑不需要補種的概率；(2)記3個坑中恰好有1個坑不需要補種的概率為P1，另記有坑需要補種的概率為P2，求P1P2的值類型二二項分布例2學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)(1)求在1次游戲中，摸出3個白球的概率；獲獎的概率；(2)求在2次游戲中獲獎次數(shù)X的概率分布反思與感悟(1)當X服從二項分布時，應弄清XB(n，p)中的試驗次數(shù)n與成功概率p.(2)解決二項分布問題的兩個關(guān)注點對于公式P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，必須在滿足獨立重復試驗時才能應用，否則不能應用該公式；判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關(guān)鍵有兩點：一是對立性，即一次試驗中，事件發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復性，即試驗是獨立重復地進行了n次跟蹤訓練2袋子中有8個白球，2個黑球，從中隨機地連續(xù)抽取三次，求有放回時，取到黑球個數(shù)的概率分布類型三二項分布的綜合應用例3一名學生每天騎自行車上學，從家到學校的途中有5個交通崗，假設他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是.(1)求這名學生在途中遇到紅燈的次數(shù)的概率分布；(2)求這名學生在首次遇到紅燈或到達目的地停車前經(jīng)過的路口數(shù)的概率分布；(3)這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率反思與感悟?qū)τ诟怕蕟栴}的綜合題，首先，要準確地確定事件的性質(zhì)，把問題化歸為古典概型、互斥事件、獨立事件、獨立重復試驗四類事件中的某一種；其次，要判斷事件是AB還是AB，確定事件至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別應用相加或相乘事件公式；最后，選用相應的求古典概型、互斥事件、條件概率、獨立事件、n次獨立重復試驗的概率公式求解跟蹤訓練3一個口袋內(nèi)有n(n>3)個大小相同的球，其中3個紅球和(n3)個白球，已知從口袋中隨機取出1個球是紅球的概率為p.若6pN，有放回地從口袋中連續(xù)4次取球(每次只取1個球)，在4次取球中恰好2次取到紅球的概率大于，求p與n的值1在4次獨立重復試驗中，隨機事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生2次的概率，則事件A在1次試驗中發(fā)生的概率p的取值范圍是_2某人進行射擊訓練，一次擊中目標的概率為，經(jīng)過三次射擊，此人至少有兩次擊中目標的概率為_3甲、乙兩隊參加乒乓球團體比賽，甲隊與乙隊實力之比為32，比賽時均能正常發(fā)揮技術(shù)水平，則在5局3勝制中，甲隊打完4局才勝的概率為_4下列說法正確的是_(填序號)某同學投籃的命中率為0.6，在他10次投籃中命中的次數(shù)X是一個隨機變量，且XB(10,0.6)；某福彩的中獎概率為p，某人一次買了8張，中獎張數(shù)X是一個隨機變量，且XB(8，p)；從裝有5個紅球、5個白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球為止，則摸球次數(shù)X是隨機變量，且XB.5從學校乘汽車到火車站的途中有三個交通燈，假設在各個交通燈遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是，設為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機變量的概率分布1獨立重復試驗要從三方面考慮：第一，每次試驗是在相同條件下進行的；第二，各次試驗的結(jié)果是相互獨立的；第三，每次試驗都只有兩種結(jié)果，即事件發(fā)生，事件不發(fā)生2如果1次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)Cpk(1p)nk.此概率公式恰為(1p)pn展開式的第k1項，故稱該公式為二項分布公式答案精析問題導學知識點一思考1條件相同思考2正面向上或反面向上，即事件發(fā)生或者不發(fā)生思考3無，即各次試驗相互獨立梳理(1)n(2)相互獨立兩種對立A與知識點二思考1B1(A12 3)(1A23)(1 2A3)，因為P(A1)P(A2)P(A3)0.8，且A12 3、1A23、1 2A3兩兩互斥，故P(B1)0.80.220.80.220.80.2230.80.220.096.思考2P(B2)30.20.820.384，P(B3)0.830.512.題型探究例1解(1)記“甲射擊3次，至少有1次未擊中目標”為事件A1，由題意，射擊3次，相當于3次獨立重復試驗，故P(A1)1P(1)1()3.(2)記“甲射擊2次，恰有2次擊中目標”為事件A2，“乙射擊2次，恰有1次擊中目標”為事件B2，則P(A2)C()2，P(B2)C()1(1)，由于甲、乙射擊相互獨立，故P(A2B2).引申探究解記“甲擊中1次”為事件A4，記“乙擊中1次”為事件B4，則P(A4)C(1)，P(B4)C(1).所以甲、乙各擊中1次的概率為P(A4B4).跟蹤訓練1解(1)因為甲坑內(nèi)3粒種子都不發(fā)芽的概率為3，所以甲坑不需要補種的概率為1.(2)3個坑恰有1個坑不需要補種的概率為P1C2.由于3個坑都不需補種的概率為3，則有坑需要補種的概率為P213.所以P1P2.例2解(1)設“在1次游戲中摸出i個白球”為事件Ai(i0,1,2,3)，則P(A3).設“在1次游戲中獲獎”為事件B，則BA2A3.又P(A2)，且A2，A3互斥，所以P(B)P(A2)P(A3).(2)由題意可知，X的所有可能取值為0,1,2，則P(X0)(1)2，P(X1)C(1)，P(X2)()2.所以X的概率分布如下表：X012P跟蹤訓練2解取到黑球個數(shù)X的可能取值為0,1,2,3.又由于每次取到黑球的概率均為，所以P(X0)C03，P(X1)C2，P(X2)C2，P(X3)C30.故X的概率分布為X0123P例3解(1)由B，則P(k)Ck5k，k0,1,2,3,4,5.故的概率分布如下表：012345P(2)的分布列為P(k)P(前k個是綠燈，第k1個是紅燈)k，k0,1,2,3,4；P(5)P(5個均為綠燈)5.故的概率分布如下表：012345P(3)所求概率為P(1)1P(0)15.跟蹤訓練3解由題設知，Cp2(1p)2>.p(1p)>0，不等式化為p(1p)>，解得<p<，故2<6p<4.又6pN，6p3，即p.由，得n6.當堂訓練10.4,12.3.4.5解由題意知B(3，)，則P(0)C()0()3，P(1)C()1()2，P(2)C()2()1，P(3)C()3.所以隨機變量的概率分布如下表：0123P