1 1專題六 隨機變量及其分布列、統(tǒng)計案例一、題之源：課本基礎知識1離散型隨機變量隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量，常用字母X，Y，表示所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量2離散型隨機變量的分布列及其性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個值xi(i1，2，n)的概率P(Xxi)pi，則表Xx1x2xixnPp1p2pipn稱為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，有時為了表達簡單，也用等式P(Xxi)pi，i1，2，n表示X的分布列(2)離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)pi0(i1，2，n)；pi1.3常見離散型隨機變量的分布列(1)兩點分布：若隨機變量X服從兩點分布，則其分布列為X01P1pp其中pP(X1)稱為成功概率(2)超幾何分布在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件Xk發(fā)生的概率為P(Xk)，k0，1，2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，稱分布列為超幾何分布列.X01mP4條件概率條件概率的定義條件概率的性質(zhì)設A、B為兩個事件，且P(A)>0，稱P(B|A)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率(1)0P(B|A)1(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(BC|A)P(B|A)P(C|A).5.事件的相互獨立性(1)定義：設A，B為兩個事件，如果P(AB)P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立(2)性質(zhì)：若事件A與B相互獨立，則P(B|A)P(B)，P(A|B)P(A)，P(AB)P(A)P(B)如果事件A與B相互獨立，那么A與，與B，與也相互獨立6獨立重復試驗與二項分布獨立重復試驗二項分布定義在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率是p，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作XB(n，p)，并稱p為成功概率計算公式用Ai(i1，2，n)表示第i次試驗結(jié)果，則P(A1A2A3An) P(A1)P(A2)P(An)在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(Xk)Cpk(1p)nk(k0，1，2，n)7離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值：稱E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平(2)D(X) (xiE(X)2pi為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術平方根為隨機變量X的標準差8均值與方差的性質(zhì)(a，b為常數(shù))9兩點分布與二項分布的均值、方差XX服從兩點分布XB(n，p)E(X)p(p為成功概率)npD(X)p(1p)np(1p)10.正態(tài)曲線的特點(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，它關于直線x對稱；(3)曲線在x處達到峰值；(4)曲線與x軸之間的面積為1；(5)當一定時，曲線隨著的變化而沿x軸平移；(6)當一定時，曲線的形狀由確定越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散11變量間的相關關系(1)常見的兩變量之間的關系有兩類：一類是函數(shù)關系，另一類是相關關系；與函數(shù)關系不同，相關關系是一種非確定性關系(2)從散點圖上看，點分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關關系稱為正相關，點分布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的相關關系為負相關12兩個變量的線性相關(1)從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫回歸直線(2)回歸方程為x，其中，(3)通過求Q (yibxia)2的最小值而得出回歸直線的方法，即求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法(4)相關系數(shù)：當r>0時，表明兩個變量正相關；當r<0時，表明兩個變量負相關r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關性越強r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系，通常|r|大于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關性13獨立性檢驗假設有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為x1，x2和y1，y2，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為：y1y2總計x1ababx2cdcd總計acbdabcdK2(其中nabcd為樣本容量)二、題之本：思想方法技巧1.求離散型隨機變量的分布列的步驟(1)明確隨機變量的所有可能取值，以及每個值所表示的意義，判斷一個變量是否為離散型隨機變量，主要看變量的值能否按一定的順序一一列出.(2)利用概率的有關知識，求出隨機變量取每個值的概率.對于古典概率、互斥事件的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率、n次獨立重復試驗恰有k次發(fā)生的概率等，都要能熟練計算.(3)按規(guī)范形式寫出分布列，并用分布列的性質(zhì)驗證.2.分布列的結(jié)構(gòu)為兩行，第一行為隨機變量X所有可能的取值，第二行是對應于隨機變量X的值的事件發(fā)生的概率.在每一列中，上為“事件”，下為事件發(fā)生的概率，只不過“事件”是用一個反映其結(jié)果的實數(shù)表示的.每完成一列，就相當于求一個隨機事件發(fā)生的概率.3.可用超幾何分布解決的題目涉及的背景多數(shù)是生活、生產(chǎn)實踐中的問題，且往往由明顯的兩部分組成，如產(chǎn)品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同學中的男生和女生等.注意弄清楚超幾何分布與二項分布的區(qū)別與聯(lián)系.4.“獨立”與“互斥”的區(qū)別兩事件互斥是指兩個事件不可能同時發(fā)生，兩事件相互獨立是指一個事件發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響(如有放回的抽取模型).兩事件相互獨立通常不互斥，兩事件互斥通常不獨立.5.條件概率的求法(1)利用定義，分別求出P(A)，P(AB)，得P(B|A)；(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n(AB)，即P(B|A).(3)為了求一些復雜事件的條件概率，往往可以先把它分解為兩個(或若干個)互斥事件的和，利用公式P(BC|A)P(B|A)P(C|A)進行計算，其中B，C互斥.6.對n次獨立重復試驗的理解(1)在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(Xk)Cpk(1p)nk，k0，1，2，n，其中p是一次試驗中該事件發(fā)生的概率.實際上，Cpk(1p)nk正好是二項式(1p)pn的展開式中的第k1項.這也是二項分布名稱的由來.(2)要弄清n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率與第k次才發(fā)生的概率計算公式Pn(k)Cpk(1p)nk與Pk(1p)k1p的區(qū)別.7.相互獨立事件同時發(fā)生的概率的求法(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面計算較繁或難于入手時，可以從其對立事件入手進行計算.8.正確理解獨立重復試驗與獨立事件間的關系獨立重復試驗是指在同樣條件下可重復進行的，各次之間相互獨立的一種試驗，每次試驗都只有兩種結(jié)果(即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生)，并且在每次試驗中，事件發(fā)生的概率均相等.獨立重復試驗是相互獨立事件的特例(概率公式也是如此)，就像對立事件是互斥事件的特例一樣.一般地，有“恰好”等字眼的用獨立重復試驗的概率公式計算更簡單，就像有“至少”或“至多”等字眼的題目用對立事件的概率公式計算更簡單一樣.9.均值與方差的常用性質(zhì)掌握下述有關性質(zhì)，會給解題帶來方便：(1)E(aXb)aE(X)b；E(XY)E(X)E(Y)；D(aXb)a2D(X).(2)若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p).10.計算均值與方差的基本方法(1)已知隨機變量的概率分布求它的均值、方差和標準差，可直接用定義或公式求；(2)已知隨機變量X的均值、方差，求X的線性函數(shù)YaXb的均值、方差和標準差，可直接用均值及方差的性質(zhì)求；(3)如能分析所給隨機變量服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等)，則可直接利用它們的均值、方差公式來求.11.(1)在實際中經(jīng)常用均值來比較平均水平，當平均水平相近時，再用方差比較穩(wěn)定程度；(2)注意離散型隨機變量的均值、方差與樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差的區(qū)別與聯(lián)系.12.正態(tài)曲線的性質(zhì)特點可用來求其數(shù)學期望和標準差：正態(tài)曲線是單峰的，它關于直線x對稱，據(jù)此結(jié)合圖象可求；正態(tài)曲線在x處達到峰值，據(jù)此結(jié)合圖象可求.13.能熟練應用正態(tài)曲線的對稱性解題，并注意以下幾點：(1)正態(tài)曲線與x軸之間的面積為1；(2)正態(tài)曲線關于直線x對稱，從而在關于x對稱的區(qū)間上概率相等；(3)幾個常用公式：P(X<a)1P(Xa)；P(X<a)P(Xa)(即第(2)條)；若b>0，則P(X<b).14.無論是正態(tài)分布的正向或逆向的應用問題，關鍵都是先確定，然后利用對稱性，將所求概率轉(zhuǎn)化到三個特殊區(qū)間.15在研究兩個變量之間是否存在某種關系時，必須從散點圖入手對于散點圖，可以做出如下判斷：(1)如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上，就用該函數(shù)來描述變量之間的關系，即變量之間具有函數(shù)關系(2)如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近，變量之間就有相關關系(3)如果所有的樣本點都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關關系16分析兩個變量相關關系的常用方法：(1)利用散點圖進行判斷；(2)利用相關系數(shù)r進行判斷17(1)回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法，只有在散點圖大致呈線性時，求出的回歸直線方程才有實際意義，否則無意義(2)根據(jù)回歸方程進行的估計僅是一個預測值，而不是真實發(fā)生的值(3)用最小二乘法求回歸方程，關鍵在于正確求出系數(shù)，由于，的計算量較大，計算時應仔細小心18線性回歸分析的方法、步驟(1)畫出兩個變量的散點圖；(2)求相關系數(shù)r，并確定兩個變量的相關程度的高低；(3)用最小二乘法求回歸直線方程x，(4)利用回歸直線方程進行預報注：對于非線性(可線性化)的回歸分析，一般是利用條件及我們熟識的函數(shù)模型，將題目中的非線性關系轉(zhuǎn)化為線性關系進行分析，最后還原利用相關指數(shù)R21刻畫回歸效果時，R2越大，意味著殘差平方和越小，模型的擬合效果越好.19獨立性檢驗的一般步驟(1)假設兩個分類變量x與y沒有關系；(2)計算出K2的觀測值，其中K2； (3)把K2的值與臨界值比較，作出合理的判斷20獨立性檢驗的注意事項(1)在列聯(lián)表中注意事件的對應及相關值的確定，不可混淆(2)在實際問題中，獨立性檢驗的結(jié)論僅是一種數(shù)學關系表述，得到的結(jié)論有一定的概率出錯(3)對判斷結(jié)果進行描述時，注意對象的選取要準確無誤，應是對假設結(jié)論進行的含概率的判斷，而非其他三、題之變：課本典例改編1.原題（選修2-3第八十六頁例2）一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù) 和溫度 有關，現(xiàn)收集了 7 組觀測數(shù)據(jù)列于表中，試建立 與 之間的回歸方程。溫度21232527293235產(chǎn)卵數(shù)個711212466115325改編 為了對佛山市中考成績進行分析，在60分以上的全體同學中隨機抽出8位，他們的數(shù)學(已折算為百分制)、物理、化學分數(shù)對應如下表， 學生編號12345678數(shù)學分數(shù)x6065707580859095物理分數(shù)y7277808488909395化學分數(shù)z6772768084879092(1) 若規(guī)定85分(包括85分)以上為優(yōu)秀，求這8位同學中數(shù)學和物理分數(shù)均為優(yōu)秀的概率；(2) 用變量y與x、z與x的相關系數(shù)說明物理與數(shù)學、化學與數(shù)學的相關程度；(3) 求y與x、z與x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并用相關指數(shù)比較所求回歸模型的效果.參考數(shù)據(jù)：，. (3) 設y與x、z與x的線性回歸方程分別是、.根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，可以計算出，. 所以y與x和z與x的回歸方程分別是、. 又y與x、z與x的相關指數(shù)是、. 故回歸模型比回歸模型的擬合的效果好. 2.原題（選修2-3第九十五頁例1）改編 甲乙兩個學校高三年級分別有1100人，1000人，為了了解兩個學校全體高三年級學生在該地區(qū)二?？荚嚨臄?shù)學成績情況，采用分層抽樣方法從兩個學校一共抽取了 105名學生的數(shù)學成績，并作出了如下的頻數(shù)分布統(tǒng)計表，規(guī)定考試成績在120，150內(nèi)為優(yōu)秀，甲校：乙校：(I )計算的值;(II)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫右面列聯(lián)表，若按是否優(yōu)秀來判斷，是否有97.5% 的把握認為兩個學校的數(shù)學成績有差異.(III)根據(jù)抽樣結(jié)果分別估計甲校和乙校的優(yōu)秀率；若把頻率作為概率，現(xiàn)從乙校學生中任取3人，求優(yōu)秀學生人數(shù)的分布列和數(shù)學期望;附：(III)甲校優(yōu)秀率為乙校優(yōu)秀率為，0123分布列：期望：