1 1第4章 三角函數(shù)第4節(jié) 解三角形題型58 正弦定理的應用1. （20xx山東文7）的內(nèi)角，所對的邊分別為，若， ，則（ ）.A. B. C. D. 1.分析 先利用正弦定理，求出角，進而求出角和角，得出角為直角，從而利用勾股定理求出邊.解析 由正弦定理得：，因為，所示.因為為三角形的內(nèi)角，所以.所以.又，所以，所以.所以，所以為直角三角形.由勾股定理得.故選B.2. (20xx安徽文9） 設的內(nèi)角所對邊的長分別為，若，則角（ ）. A. B. C. D. 2. 解析 同理科卷12題.答案B.3.（20xx浙江文3）若，則“”是“”的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.分析 分別判斷能否推出和能否推出.解析 若，則，所以，即；但當時，有，此時.所以是的充分不必要條件.故選A.4. (20xx湖南文5）在銳角中，角所對的邊長分別為. 若，則角等于（ ）.A. B. C. D.4.分析 利用正弦定理將邊化為角的正弦.解析 在中，.因為，所以.所以.又為銳角三角形，所以.故選A.5.（20xx廣東文7）在中，角所對應的邊分別為則“”是“”的（ ）.A. 充分必要條件 B.充分非必要條件 C.必要非充分條件 D.非充分非必要條件6.（20xx江西文5）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的值為（ ）. A. B. C. D.7.（20xx安徽文）在中，則 .7.解析 由正弦定理可得，即，解得.8.（20xx福建文）若在中，則_8.解析 由題意得由正弦定理得，則.9.(20xx北京文)在中， .9.解析 在中，由正弦定理知，得，又，得.10.（20xx全國1文）已知分別為內(nèi)角的對邊，.（1）若，求；（2）設，且，求的面積.10.解析 （1由正弦定理得，.又，所以，即.則.（2）解法一：因為，所以，即，亦即.又因為在中，所以，則，得.所以為等腰直角三角形，得，所以.解法二：由（1）可知，因為，所以，將代入得，則，所以.11.（20xx山東文）在中，角所對的邊長分別為. 已知，求和的值.11.解析 在中，由，得.因為，所以.因為，所以，可得為銳角，所以，因此.由，可得.又，所以.12.（20xx全國丙文9）在中，邊上的高等于，則（ ）.A. B. C. D.12. D 解析 解法一：，由正弦定理得，即，所以，所以，.故選D.解法二：如圖所示，由，知.由，則，.由正弦定理知，則.故選D.13.（20xx北京文13）在中，則_.13.解析 由正弦定理及題設，可得，所以，則.由，得，.14.（20xx全國甲文15）的內(nèi)角，的對邊分別為，.若，則_.14.解析 解法一：由題可知，.由正弦定理可得.由射影定理可得.解法二：同解法一，可得.又，由余弦定理可得.解法三：因為，.由正弦定理得，解得.15.（20xx江蘇15）在中，.（1）求的長；（2）求的值.15. 解析 （1）因為，而，所以.由正弦定理，故.（2）因為，所以.又，所以.故.16.（20xx天津文15）在中，內(nèi)角，所對的邊分別為，已知.（1）求；（2）若，求的值.16.分析 （1）利用正弦定理，將邊化為角：，再根據(jù)三角形內(nèi)角范圍化簡得，；（2）已知兩角，求第三角，利用三角形內(nèi)角和為，將所求角化為兩已知角的和，再根據(jù)兩角和的正弦公式求解.解析 （1）在中，由正弦定理化簡，得，所以，得.（2）由，得，則，所以.17.（20xx浙江文16）在中，內(nèi)角，所對的邊分別為，.已知.（1）求證：；（2）若，求的值.17.解析 （1）由正弦定理得，故，于是.又，故，所以或，因此（舍去）或，所以（2）由，得，故，.18.（20xx全國3文15）的內(nèi)角，的對邊分別為，.已知，則_.18.解析 由正弦定理有，所以，又，所以，所以.評注 考查用正、余弦定理解三角形問題以及三角形的內(nèi)角和定理，難度偏低.題型59 余弦定理的應用1.（20xx福建文14）在中，則等于 .2.（20xx廣東文）設的內(nèi)角，的對邊分別為，若，且，則（ ）.2.解析 由余弦定理得，所以，即，解得或.因為，所以.故選C3.（20xx重慶文）設的內(nèi)角，的對邊分別為，且，則_.3.解析 因為，所以根據(jù)正弦定理得又因為，所以因為，所以，代入解得4.（20xx江蘇文）在中，已知，（1）求的長；（2）求的值4.解析 （1）由余弦定理，解得（2），因為，故，故評注 在運算的過程中類似，可不化簡，有時候會利于下面的運算5.（20xx全國2文）中，是上的點，平分， .(1)求；(2)若，求.5.分析 (1)根據(jù)題意，由正弦定理可得.(2)由誘導公式可得，由(1)可知，所以，.解析 (1)由正弦定理得，.因為平分，所以.(2)因為，所以.由(1)知，所以，即.評注 三角是高中數(shù)學的重點內(nèi)容，在高考中主要是利用三角函數(shù)，三角恒等變換及解三角形的正弦定理及余弦定理，在求解時，注意角的轉化及定理的使用.6.（20xx陜西文）的內(nèi)角，所對的邊分別為，向量與平行.（1）求；（2）若，求的面積.6.解析 (1)因為，所以 由正弦定理得， 將式代入式，又，得到，由于，所以.(2)解法一：由余弦定理得，而，得，即.因為，所以，故的面積為.解法二：由正弦定理，得，從而.又由知，所以.故，所以面積為.7（20xx四川文）已知為的內(nèi)角，是關于方程的兩個實根.（1）求C的大?。唬?）若，求p的值.7.解析 （1）由題意可得方程的判別式，所以或.由韋達定理，得，所以，可得.所以，所以.（2）由正弦定理，可得，解得或（舍去）.所以.則.所以.8.（20xx天津文）在中，內(nèi)角， 所對的邊分別為，已知的面積為，.（1）求和的值；（2）求 的值.8.分析 （1）由面積公式可得，結合，可解得，.再由余弦定理求得.最后由正弦定理求的值；（2）直接展開求值.解析 （1）中，由，得，由，得，又由，解得，.由，可得. 又由，得.（2）.9.（20xx浙江文）在中，內(nèi)角，所對的邊分別為，.已知.(1)求的值；(2)若，求的面積.9.解析 (1) ，得.(2) ，.由正弦定理得，所以，又，所以.10.（20xx全國乙文4）的內(nèi)角，的對邊分別為，.已知，則（ ）.A. B. C. D.10. D 解析 由余弦定理得，即，整理得，解得.故選D.11.（20xx山東文8）在中，角，的對邊分別是，已知，則（ ）.A. B. C. D.11. C解析 由余弦定理，得.因為，所以. 由已知得，所以，所以.因為，所以.故選C.評注 考試的時候得到，若尋找不到因式分解可考慮代入選項檢驗.題型60 判斷三角形的形狀1. (20xx陜西文9）設的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的形狀為（ ）.A. 銳角三角形 B. 直角三角形 C. 鈍角三角形 D. 不確定1.分析 利用余弦定理的變形將角的余弦值轉化為三角形邊之間的關系解析 因為,所以.因為，所以，即是直角三角形故選B.題型61 解三角形的綜合應用1. （20xx江西文17）在中，角所對的邊分別為，已知.（1）求證：成等差數(shù)列；（2）若，求的值.1.分析 （1）根據(jù)正弦定理把已知條件中的角的關系轉化為邊的關系，從而證明成等差數(shù)列；（2）應用（1）的結論和余弦定理得出的關系式，從而求出結論.解析 （1）由已知得.因為，所以.由正弦定理得，即成等差數(shù)列.（2）由及余弦定理得，即有，所以.2. (20xx天津文16）在中， 內(nèi)角所對的邊分別是. 已知， . （1）求的值; （2）求的值. 2.分析 （1）先用正弦定理求出，再用余弦定理求出；（2）用二倍角公式和兩角差公式求值.解析 （1）在中，由可得又由可得.又故由可得（2）由得進而得所以3.（20xx湖北文18）在中，角，對應的邊分別是，. 已知（1）求角的大?。唬?）若的面積，求的值3.分析 利用倍角公式和誘導公式化簡已知條件，求得的值，即得角的大?。挥擅娣e求出邊，再利用余弦定理求出邊，最后利用正弦定理求出的值.解析 （1）由，得，即，解得.因為，所以.（2）由，得，又，所以.由余弦定理得，所以.從而由正弦定理得.4. （20xx四川文17）在中，角的對邊分別為，且.（1）求的值；推導的前項和公式；（2）若，求向量在方向上的投影.4.分析 （1）由三角形內(nèi)角和定理得，即，然后利用兩角和的余弦公式求得.（2）借助正、余弦定理求角后再利用向量投影公式求解解析 （1）由，得.則，即.又，則.（2）由正弦定理，有，所以.故題意知，則，故.根據(jù)余弦定理，有.解得或（負值舍去）.故向量在方向上的投影為.5. (20xx浙江文18）在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，且. （1）求角的大?。唬?）若，求的面積. 5.分析 （1）利用已知條件和正弦定理可求出，進而求出；（2）利用余弦定理求出，再用面積公式求面積.解析 （1）由及正弦定理，得.因為是銳角，所以.（2）由余弦定理，得.又，所以.由三角形面積公式，得的面積為.6.（20xx四川文8）如圖所示，從氣球上測得正前方的河流的兩岸，的俯角分別為，此時氣球的高是，則河流的寬度等于（ ）.A. B.C. D.7.（20xx新課標文16）如圖所示，為測量山高，選擇和另一座山的山頂為測量觀測點.從點測得點的仰角，點的仰角以及；從點測得.已知山高，則山高 .8（20xx湖北文13）在中，角所對的邊分別為. 輸入開始否是結束輸出已知，則 .9.（20xx北京文12）在中，則 ； .9. 解析 由余弦定理知，故；由，知，由知.10.（20xx陜西文16）（本小題滿分12分） 的內(nèi)角所對的邊分別為.（1）若成等差數(shù)列，求證：；（2）若成等比數(shù)列，且，求的值. 11. （20xx安徽文16）（本小題滿分12分）設的內(nèi)角所對邊的長分別是，且，的面積為，求與的值.11. 解析 由三角形面積公式，得，故.因為，所以.當時，由余弦定理得，所以.當時，由余弦定理得，所以.評注 本題考查解三角形，解題時要注意已知求時有兩解，防止漏解.12.（20xx大綱文18）（本小題滿分12分）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，求B.13.（20xx遼寧文17）（本小題滿分12分） 在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，已知，求：（1）和的值；（2）的值.14.（20xx山東文17）（本小題滿分12分）中，角所對的邊分別為. 已知.（1）求的值；（2）求的面積.15.（20xx浙江文18）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知.（1）求角的大?。唬?）已知，的面積為，求邊長的值.16.（20xx重慶文18）（本小題滿分12分）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）若，求的值；（2）若，且的面積，求和的值.17. （20xx新課標文17）（本小題滿分12分）四邊形的內(nèi)角與互補，.（1）求和；（2）求四邊形的面積.18.（20xx湖南文19）（本小題滿分13分）如圖所示，在平面四邊形中，.（1）求的值；（2）求的長.19.（20xx湖北文）如圖所示，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側一山頂在西偏北的方向上，行駛m后到達處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度= m.19.解析 中，所以，因為，由正弦定理可得，即m，在中，因為，所以，所以m. 20.（20xx湖南）設的內(nèi)角，的對邊分別為，.（1）證明：；（2）若，且為鈍角，求，.20.解析 （1）由及正弦定理，得，所以.（2）因為所以 .由（1）知，因此，所以，又為鈍角，故，由知，從而.綜上所述，.21.（20xx上海文10）已知的三邊長分別為，則該三角形的外接圓半徑等于 .21.解析 不妨設，則，故，因此.22.（20xx四川文18）在中，角，所對的邊分別是，且.（1）求證：；（2）若，求.22.解析 （1）根據(jù)正弦定理，可設，則，.代入中，有，可變形得在中，由，有，所以（2）由已知，根據(jù)余弦定理，有.所以.由（1）得，所以，故23.（20xx全國1文11）的內(nèi)角，的對邊分別為，已知，則（ ）.A B C D23.解析 由題意得，即，所以.由正弦定理，得，即，得.故選B.24.（20xx全國2文16）的內(nèi)角，B，C的對邊分別為，若，則 .24.解析 解法一:由正弦定理可得.解法二：如圖所示，由射影定理知，所以，所以，所以.25.（20xx山東文17）在中，角，的對邊分別為，已知，求和.25.解析 因為，所以，又 ，所以，因此， 且，所以.又，所以.由余弦定理，得，所以.26.（20xx天津文15）在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，.（1）求的值；（2）求的值.26.解析 （1）因為，所以由正弦定理得，則. 又因為，所以由余弦定理得.（2）因為，所以，且.因為，所以由正弦定理得.又因為，所以，所以，所以，所以.27.（20xx浙江14）已知，. 點為延長線上的一點，聯(lián)結，則的面積是_，_.27.解析 如圖所示，取的中點為，在等腰中,，所以，所以的面積為因為，所以是等腰三角形，所以，解得28.（20xx江蘇18）如圖所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱臺形玻璃容器的高均為，容器的底面對角線的長為，容器的兩底面對角線，的長分別為和 分別在容器和容器中注入水，水深均為 現(xiàn)有一根玻璃棒，其長度為（容器厚度、玻璃棒粗細均忽略不計）.（1）將放在容器中，的一端置于點處，另一端置于側棱上，求沒入水中部分的長度；（2） 將放在容器中，的一端置于點處，另一端置于側棱上，求沒入水中部分的長度 28.解析 （1）由正棱柱的定義，平面，所以平面平面，記玻璃棒的另一端落在上點處，如圖所示為截面的平面圖形因為，所以，從而.記與水面的交點為， 過點作，為垂足，則平面，故，從而答：玻璃棒沒入水中部分的長度為（2）如圖所示為截面的平面圖形，是正棱臺兩底面的中心由正棱臺的定義，平面， 所以平面平面，同理，平面平面，記玻璃棒的另一端落在上點處過作，為垂足，則因為，所以，從而設，則因為，所以在中，由正弦定理可得，解得 因為，所以，于是記與水面的交點為，過作，為垂足，則平面，故，從而答：玻璃棒沒入水中部分的長度為評注 此題本質(zhì)上考查解三角形的知識，但在這樣的大背景下構造的應用題讓學生有畏懼之感，且該應用題的實際應用性也不強也有學生第（1）問采用相似法解決，解法如下：，所以，所以由，即，解得答：玻璃棒沒入水中部分的長度為題型 正、余弦定理與向量的綜合暫無