培優(yōu)點十七 圓錐曲線的幾何性質1橢圓的幾何性質例1：如圖，橢圓的上頂點、左頂點、左焦點分別為、，中心為，其離心率為，則（ ）ABCD【答案】B【解析】由，得而，所以，故選B2拋物線的幾何性質例2：已知拋物線的焦點為，準線，點在拋物線上，點在直線上的射影為，且直線的斜率為，則的面積為（ ）ABCD【答案】C【解析】設準線與軸交于點，所以，因為直線的斜率為，所以，所以，由拋物線定義知，且，所以是以4為邊長的正三角形，其面積為故選C3雙曲線的幾何性質例3：已知點是雙曲線的右支上一點，分別是圓和上的點，則的最大值為_【答案】15【解析】在雙曲線中，對點增分集訓一、單選題1拋物線上的動點到其焦點的距離的最小值為1，則（ ）AB1C2D4【答案】C【解析】拋物線上的動點到其焦點的距離的最小值即到準線的最小值，很明顯滿足最小值的點為拋物線的頂點，據此可知：，本題選擇C選項2設點，是雙曲線的兩個焦點，點是雙曲線上一點，若，則的面積等于（ ）ABCD【答案】B【解析】據題意，且，解得，又，在中由余弦定理，得從而，所以，故選B3經過橢圓的一個焦點作傾斜角為的直線l，交橢圓于，兩點，設為坐標原點，則等于（ ）ABCD【答案】C【解析】橢圓方程為，取一個焦點，則直線方程為，代入橢圓方程得，所以，故選C4過拋物線的焦點作直線交拋物線于，兩點，若線段中點的橫坐標為3，則（ ）A4B6C8D10【答案】B【解析】設的坐標分別為，線段中點的橫坐標為3，則，由此解得故選B5已知雙曲線的右焦點為，點在雙曲線的漸近線上，是邊長為2的等邊三角形（為原點），則雙曲線的方程為（ ）ABCD【答案】B【解析】雙曲線的右焦點為，點在雙曲線的漸近線上，是邊長為2的等邊三角形（為原點），可得，即，解得，雙曲線的焦點坐標在軸，所得雙曲線的方程為，故選B6如圖所示，“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點變軌進入以月球球心為一個焦點的橢圓軌道繞月飛行，之后衛(wèi)星在點第二次變軌進入仍以為一個焦點的橢圓軌道繞月飛行，最終衛(wèi)星在點第三次變軌進入以為圓心的圓形軌道繞月飛行已知橢圓軌道和的中心與F在同一直線上，設橢圓軌道和的長半軸長分別為，半焦距分別為，則有（ ）ABCD【答案】C【解析】設圓形軌道的半徑為，由知，故選C7已知雙曲線，雙曲線的左、右焦點分別為，是雙曲線的一條漸近線上的點，且，為坐標原點，若，且雙曲線，的離心率相同，則雙曲線的實軸長是（ ）A32B4C8D16【答案】D【解析】雙曲線的離心率為，設，雙曲線一條漸近線方程為，可得，即有，由，可得，即，又，且，解得，即有雙曲線的實軸長為16故選D8已知是拋物線的焦點，是軸上一點，線段與拋物線相交于點，若，則（ ）A1BCD【答案】D【解析】由題意得點的坐標為，設點的坐標，點的坐標，所以向量：，由向量線性關系可得：，解得：，代入拋物線方程可得：，則，由兩點之間的距離公式可得：故選D9已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，點是曲線與的一個公共點，分別是和的離心率，若，則的最小值為（ ）AB4CD9【答案】A【解析】由題意設焦距為，橢圓長軸長為，雙曲線實軸為，令在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，由橢圓定義，又，得，將代入，得，故選A10已知為拋物線的焦點，為拋物線上三點，當時，稱為“和諧三角形”，則“和諧三角形”有（ ）A0個B1個C3個D無數個【答案】D【解析】拋物線方程為，為曲線上三點，當時，為的重心，用如下辦法構造，連接并延長至，使，當在拋物線內部時，設，若存在以為中點的弦，設，則，則，兩式相減化為，所以總存在以為中點的弦，所以這樣的三角形有無數個，故選D11已知雙曲線的左右焦點分別為，橢圓的離心率為，直線過點與雙曲線交于，兩點，若，且，則雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為（ ）A，B，C，D，【答案】C【解析】由題，由雙曲線的定義可得| ，橢圓的離心率為：，在中，由余弦定理的，在中，由余弦定理可得：，即，整理得2a2+3c2-7ac=0，設雙曲線的離心率為，解得或（舍），即雙曲線的漸近線方程為，漸近線的傾斜角為，故選C12已知為橢圓上一個動點，過點作圓的兩條切線，切點分別是，則的取值范圍為（ ）ABCD【答案】C【解析】如圖，由題意設，則，設，則，當且僅當，即時等號成立，此時又當點在橢圓的右頂點時，此時最大，且最大值的取值范圍是，故選C二、填空題13已知過拋物線的焦點，且斜率為的直線與拋物線交于、兩點，則_【答案】【解析】由知，由焦點弦性質，而14已知橢圓的左、右焦點為、，點關于直線的對稱點仍在橢圓上，則的周長為_【答案】【解析】設，關于直線的對稱點坐標為，點在橢圓上，則：，則，則，故的周長為：15為雙曲線右支上一點，分別為雙曲線的左、右焦點，且，直線交軸于點，則的內切圓半徑為_【答案】2【解析】，的內切圓半徑為，由圖形的對稱性知：，故答案為216已知直線與橢圓相切于第一象限的點，且直線與軸、軸分別交于點、，當(為坐標原點)的面積最小時，(、是橢圓的兩個焦點)，若此時在中，的平分線的長度為，則實數的值是_【答案】【解析】由題意，切線方程為，直線與軸分別相交于點，當且僅當時，（為坐標原點）的面積最小，設，由余弦定理可得，的內角平分線長度為，故答案為三、解答題17設常數在平面直角坐標系中，已知點，直線：，曲線：與軸交于點、與交于點、分別是曲線與線段上的動點（1）用表示點到點距離；（2）設，線段的中點在直線，求的面積；（3）設，是否存在以、為鄰邊的矩形，使得點在上？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由【答案】（1）；（2）；（3）存在，【解析】（1）方法一：由題意可知：設，則，；方法二：由題意可知：設，由拋物線的性質可知：，；（2），則，設的中點，則直線方程：，聯立，整理得：，解得：，（舍去），的面積；（3）存在，設，則，直線方程為，根據，則，解得：，存在以、為鄰邊的矩形，使得點在上，且18與橢圓相交于、兩點，關于直線的對稱點在橢圓上斜率為的直線與線段相交于點，與橢圓相交于、兩點（1）求橢圓的標準方程；（2）求四邊形面積的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】（1）由橢圓焦距為4，設，連結，設，則，又，得，解得，所以橢圓方程為（2）設直線方程：，、，由，得，所以，由（1）知直線：，代入橢圓得，得，由直線與線段相交于點，得，而與，知，由，得，所以，四邊形面積的取值范圍