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1、新編高考數(shù)學復習資料 第8講 立體幾何中的向量方法（二） 一、選擇題 1．兩平行平面α，β分別經(jīng)過坐標原點O和點A(2,1,1)，且兩平面的一個法向量n＝(－1,0,1)，則兩平面間的距離是(　　) A. B. C. D．3 解析 兩平面的一個單位法向量n0＝，故兩平面間的距離d＝|·n0|＝. 答案　B 2．已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，則l與α所成的角為 (　　)． A．30° B．60° C．120°

2、 D．150° 解析　設l與α所成的角為θ，則sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝30°. 答案　A 3．長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E為CC1的中點，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為 (　　)． A. B. C. D. 解析　建立坐標系如圖， 則A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0，2,2)． ＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)， cos〈，〉＝＝. 所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為. 答案　B 4．已知直二面角α-l-β，點A∈α，AC⊥l

3、，C為垂足，點B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，則CD＝(　　)． A．2 B. C. D．1 解析　如圖，建立直角坐標系D-xyz，由已 知條件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t＞0)， 由AB＝2解得t＝. 答案　C 5．如圖，在四面體ABCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2.∠ABC＝∠DCB＝，則二面角A－BC－D的大小為 (　　)． A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析　二面角A－BC－D的大小等于AB與CD所成角的大小.＝＋

4、＋.而2＝2＋2＋2－2||·||·cos 〈，〉，即12＝1＋4＋9－2×2cos〈，〉，∴cos〈，〉＝，∴AB與CD所成角為，即二面角A－BC－D的大小為.故選B. 答案　B 6．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角B1－DC－C1的大小為60°，則AD的長為(　　) A. B. C．2 D. 解析 如圖，以C為坐標原點，CA，CB，CC1所在的直線分別為x軸，y軸，z 軸建立空間直角坐標系，則C(0,0,0)

5、，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1) 設AD＝a，則D點坐標為(1,0，a)，＝(1,0，a)， ＝(0,2,2)， 設平面B1CD的一個法向量為m＝(x，y，z)． 則?，令z＝－1， 得m＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一個法向量為n(0,1,0)， 則由cos60°＝，得＝，即a＝， 故AD＝. 答案 A 二、填空題 7．若平面α的一個法向量為n＝(4,1,1)，直線l的一個方向向量為a＝(－2，－3,3)，則l與α所成角的正弦值為________． 解析　cos〈n，a〉＝＝＝－. 又l與α所成角記為θ，即sin θ

6、＝|cos〈n，a〉|＝. 答案　. 8．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a與b的夾角的余弦值為，則λ＝________. 解析　由已知得＝＝， ∴8 ＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝. 答案?。?或 9．已知點E、F分別在正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為________． 解析　如圖，建立直角坐標系D－xyz，設DA＝1由已知條件A(1,0,0)，E，F(xiàn)， ＝，＝， 設平面AEF的法向量為n＝(x，y，z)， 面AEF與面ABC所成的二面角為θ， 由得

7、令y＝1，z＝－3，x＝－1，則n＝(－1,1，－3) 平面ABC的法向量為m＝(0,0，－1) cos θ＝cos〈n，m〉＝，tan θ＝. 答案　 10．在三棱錐O－ABC中，三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB邊的中點，則OM與平面ABC所成角的正切值是________． 解析　如圖所示建立空間直角坐標系，設OA＝OB＝OC＝1，則A(1,0,0)，B(0，1,0)，C(0,0,1)，M，故＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，＝. 設平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)， 則由得 令x＝1，得n＝(1,1,1)．故cos〈n，〉＝＝， 所

8、以OM與平面ABC所成角的正弦值為，其正切值為. 答案　 三、解答題 11．如圖，四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩垂直，AB＝BC＝BD＝4，E、F分別為棱BC、AD的中點． (1)求異面直線AB與EF所成角的余弦值； (2)求E到平面ACD的距離； (3)求EF與平面ACD所成角的正弦值． 解　如圖，分別以直線BC、BD、BA為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則各相關點的坐標為A(0,0,4)、C(4,0，0)、D(0,4，0)，E(2,0,0)、F(0，2,2)． (1)∵＝(0,0，－4)，＝(－2,2,2)， ∴|cos〈，〉|＝＝， ∴異面直線AB與EF所成

9、角的余弦值為. (2)設平面ACD的一個法向量為n＝(x，y,1)， 則∵＝(4,0，－4)，＝(－4,4,0)， ∴ ∴x＝y(tǒng)＝1，∴n＝(1,1,1，)． ∵F∈平面ACD，＝(－2,2,2)， ∴E到平面ACD的距離為d＝＝＝. (3)EF與平面ACD所成角的正弦值為|cos〈n，〉|＝＝ 12．如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6. (1)求證：BD⊥平面PAC； (2)求二面角P－BD－A的大?。? (1)證明　如圖，建立空間直角坐標系， 則A(0,0,0)，B(2

10、，0,0)， C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)， ∴＝(0,0,3)，＝(2，6,0)， ＝(－2，2,0)． ∴·＝0，·＝0.∴BD⊥AP，BD⊥AC. 又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥面PAC. (2)解　設平面ABD的法向量為m＝(0,0,1)， 設平面PBD的法向量為n＝(x，y，z)， 則n·＝0，n·＝0.∵＝(－2，0,3)， ∴解得 令x＝，則n＝(，3,2)，∴cos〈m，n〉＝＝. ∴二面角P－BD－A的大小為60°. 13．如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中點，DC1⊥BD. (1)證明：

11、DC1⊥BC. (2)求二面角A1－BD－C1的大?。? (1)證明　由題設知，三棱柱的側(cè)面為矩形．由于D為AA1的中點， 故DC＝DC1. 又AC＝AA1，可得DC＋DC2＝CC，所以DC1⊥DC. 而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD. 因為BC?平面BCD，所以DC1⊥BC. (2)解　由(1)知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，則BC⊥平面ACC1A1，所以CA，CB，CC1兩兩相互垂直．以C為坐標原點，的方向為x軸的正方向，||為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系 C－xyz.由題意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2

12、)． 則＝(0,0，－1)，＝(1，－1,1)，＝(－1,0,1)． 設n＝(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，則 即可取n＝(1,1,0)． 同理，設m＝(x，y，z)是平面C1BD的法向量，則 即可取m＝(1,2,1)． 從而cos〈n，m〉＝＝. 故二面角A1－BD－C1的大小為30°. 14．如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F(xiàn)為CD的中點． (1)求證：AF∥平面BCE； (2)求證：平面BCE⊥平面CDE； (3)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值． 解 方法一： (1)證法一：取CE的中

13、點G，連接FG、BG. ∵F為CD的中點，∴GF∥DE且GF＝DE， ∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， ∴AB∥DE，∴GF∥AB. 又AB＝DE，∴GF＝AB.又DE＝2AB， ∴四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥BG. ∵AF?平面BCE，BG?平面BCE， ∴AF∥平面BCE. 證法二：取DE的中點M，連接AM、FM， ∵F為CD的中點，∴FM∥CE. ∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴DE∥AB. 又AB＝DE＝ME， ∴四邊形ABEM為平行四邊形，則AM∥BE. ∵FM、AM?平面BCE，CE、BE?平面BCE， ∴FM∥平面BCE，AM∥平

14、面BCE. 又FM∩AM＝M，∴平面AFM∥平面BCE. ∵AF?平面AFM， ∴AF∥平面BCE. (2)證明：∵△ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點， ∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF. 又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE. ∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE. ∵BG?平面BCE， ∴平面BCE⊥平面CDE. (3)在平面CDE內(nèi)，過F作FH⊥CE于H，連接BH， ∵平面BCE⊥平面CDE，∴FH⊥平面BCE. ∴∠FBH為BF和平面BCE所成的角． 設AD＝DE＝2AB＝2a，則FH＝CFsin45°＝a， BF＝＝＝

15、2a， 在Rt△FHB中，sin∠FBH＝＝. ∴直線BF和平面BCE所成角的正弦值為. 方法二： 設AD＝DE＝2AB＝2a，建立如圖所示的坐標系A－xyz，則A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)． ∵F為CD的中點，∴F. (1)證明：＝，＝(a，a，a)，＝(2a,0，－a)， ∵＝(＋)，AF?平面BCE，∴AF∥平面BCE. (2)證明：∵＝，＝(－a，a,0)，＝(0,0，－2a)， ∴·＝0，·＝0，∴⊥，⊥. ∴⊥平面CDE，又AF∥平面BCE， ∴平面BCE⊥平面CDE. (3)設平面BCE的法向量為n＝(x，y，z)，由n·＝0，n·＝0可得 x＋y＋z＝0,2x－z＝0，取n＝(1，－，2)． 又＝，設BF和平面BCE所成的角為θ，則 sinθ＝＝＝. ∴直線BF和平面BCE所成角的正弦值為.