精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第2講排列與組合最新考綱1理解排列、組合的概念2能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式、組合數(shù)公式3能解決簡單的實際問題.知 識 梳 理1排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同元素中取出m(mn)個不同元素按照一定的順序排成一列組合合成一組2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)(2)從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)3排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)An(n1)(n2)(nm1)(2)C(n，mN*，且mn)特別地C1.性質(zhì)(1)0！1；An！.(2)CC；CCC.辨 析 感 悟1排列與組合的基本概念、性質(zhì)(1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列(×)(2)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同()(3)若組合式CC，則xm成立(×)2排列與組合的應(yīng)用(4)5個人站成一排，其中甲、乙兩人不相鄰的排法有AAA72種()(5)(教材習題改編)由0,1,2,3這四個數(shù)字組成的四位數(shù)中，有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有3×43A168(個)(×)(6)(2013·北京卷改編)將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數(shù)是4A96種()感悟·提升1一個區(qū)別排列與組合最根本的區(qū)別在于“有序”和“無序”取出元素后交換順序，如果與順序有關(guān)是排列，如果與順序無關(guān)即是組合，如(1)忽視了元素的順序2求解排列、組合問題的思路：“排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類相加，分步相乘”學生用書第174頁考點一排列應(yīng)用題【例1】 4個男同學，3個女同學站成一排(1)3個女同學必須排在一起，有多少種不同的排法？(2)任何兩個女同學彼此不相鄰，有多少種不同的排法？(3)甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的排法？解(1)3個女同學是特殊元素，共有A種排法；由于3個女同學必須排在一起，視排好的女同學為一整體，再與4個男同學排隊，應(yīng)有A種排法由分步乘法計數(shù)原理，有AA720種不同排法(2)先將男生排好，共有A種排法，再在這4個男生的中間及兩頭的5個空檔中插入3個女生有A種方法故符合條件的排法共有AA1 440種不同排法(3)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有A種排法；由于甲、乙要相鄰，故先把甲、乙排好，有A種排法；最后把甲、乙排好的這個整體與丙分別插入原先排好的4人的空檔及兩邊有A種排法總共有AAA960種不同排法規(guī)律方法 (1)對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在實際進行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法(2)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法【訓練1】 (1)(2014·濟南質(zhì)檢)一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為()A3×3! B3×(3！)3C(3！)4 D9!(2)(2013·四川卷)從1,3,5,7,9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到lg alg b的不同值的個數(shù)是()A9 B10 C18 D20解析(1)把一家三口看作一個排列，然后再排列這3家，所以有(3！)4種(2)由于lg alg blg(a>0，b>0)，lg有多少個不同的值，只需看不同值的個數(shù)從1,3,5,7,9中任取兩個作為有A種，又與相同，與相同，lg alg b的不同值的個數(shù)有A218.答案(1)C(2)C考點二組合應(yīng)用題【例2】 某課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名隊長現(xiàn)從中選5人主持某種活動，依下列條件各有多少種選法？(1)只有一名女生；(2)兩隊長當選；(3)至少有一名隊長當選；(4)至多有兩名女生當選；(5)既要有隊長，又要有女生當選解(1)一名女生，四名男生故共有C·C350(種)(2)將兩隊長作為一類，其他11人作為一類，故共有C·C165(種)(3)至少有一名隊長含有兩類：只有一名隊長和兩名隊長故共有：C·CC·C825(種)或采用排除法：CC825(種)(4)至多有兩名女生含有三類：有兩名女生、只有一名女生、沒有女生故選法為：C·CC·CC966(種)(5)分兩類：第一類女隊長當選：C；第二類女隊長不當選：C·CC·CC·CC.故選法共有：CC·CC·CC·CC790(種)規(guī)律方法 組合問題常有以下兩類題型變化(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取(2)“至少”或“最多”含有幾個元素的題型：若直接法分類復(fù)雜時，逆向思維，間接求解【訓練2】 若從1,2,3，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有()A60種 B63種 C65種 D66種解析滿足題設(shè)的取法可分為三類：一是取四個奇數(shù)，在5個奇數(shù)1,3,5,7,9中，任意取4個，有C5(種)；二是兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，在5個奇數(shù)中任取2個，再在4個偶數(shù)2,4,6,8中任取2個，有C·C60(種)；三是取4個偶數(shù)的取法有1種所以滿足條件的取法共有560166(種)答案D學生用書第175頁考點三排列、組合的綜合應(yīng)用【例3】 (1)(2013·浙江卷)將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個字母排成一排，且A，B均在C的同側(cè)，則不同的排法共有_種(用數(shù)字作答)(2)某校高二年級共有6個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為()AAC B.AC CAA D2A審題路線(1)選出3個位置排特殊元素A、B、C，并把元素A、B作為元素集團進行排列；(2)可將4名同學分成兩組(每組2人)，再分配到兩個班級解析(1)先將A，B視為元素集團，與C先排在6個位置的三個位置上，有CAC種排法；第二步，排其余的3個元素有A種方法由分步乘法計數(shù)原理，共有CAC·A480種排法(2)法一將4人平均分成兩組有C種方法，將此兩組分配到6個班級中的2個班有A種所以不同的安排方法有CA種法二先從6個班級中選2個班級有C種不同方法，然后安排學生有CC種，故有CCAC種答案(1)480(2)B規(guī)律方法 (1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進行分類；二是按事情發(fā)生的過程進行分步具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配在分組時，通常有三種類型：不均勻分組；均勻分組；部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法【訓練3】 從0,2中選一個數(shù)字，從1,3,5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為()A24 B18 C12 D6解析根據(jù)所選偶數(shù)為0和2分類討論求解當選數(shù)字0時，再從1,3,5中取出2個數(shù)字排在個位與百位排成的三位數(shù)的奇數(shù)有CA6個當取出數(shù)字2時，再從1,3,5中取2個數(shù)字有C種方法然后將選中的兩個奇數(shù)數(shù)字選一個排在個位，其余2個數(shù)字全排列排成的三位數(shù)的奇數(shù)有CAA12個由分類加法計數(shù)原理，共有18個三位數(shù)的奇數(shù)答案B1熟練掌握：(1)排列數(shù)公式A；(2)組合數(shù)公式C，這是正確計算的關(guān)鍵2解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法)分類時標準應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏解組合應(yīng)用題時，應(yīng)注意“至少”、“至多”、“恰好”等詞的含義3排列組合的綜合應(yīng)用問題，一般按先選再排，先分組再分配的處理原則對于分配問題，解題的關(guān)鍵是要搞清楚事件是否與順序有關(guān)，對于平均分組問題更要注意順序，避免計數(shù)的重復(fù)或遺漏、易錯辨析9實際意義理解不清導致計數(shù)錯誤【典例】 (2012·山東卷改編)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為()A232 B256 C472 D484錯解第一類，含有一張紅色卡片，取出紅色卡片有C種方法，再從黃、藍、綠三色中選出兩色并各取一張卡片有CCC種方法因此滿足條件的取法有C·CCC192種第二類，不含有紅色卡片，從其余三色卡片中各取一張有CCC64種取法由分類加法計數(shù)原理，不同的取法共有19264256種答案B錯因錯解的原因是沒有理解“3張卡片不能是同一種顏色”的含義，誤認為“取出的三種顏色不同”正解第一類，含有1張紅色卡片，不同的取法CC264(種)第二類，不含有紅色卡片，不同的取法C3C22012208(種)由分類加法計數(shù)原理知，不同的取法共有264208472(種)答案C防范措施(1)準確理解題意，抓住關(guān)鍵字詞的含義，“3張卡片不能是同一種顏色”是指“兩種顏色或三種顏色”都滿足要求(2)選擇恰當分類標準，避免重復(fù)遺漏，出現(xiàn)“至少、至多”型問題，注意間接法的運用【自主體驗】1(2013·大綱全國卷改編)有5人排成一行參觀英模事跡展覽，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有_種(用數(shù)字作答)解析先把除甲、乙外的3人全排列，有A種，再把甲、乙兩人插入這3人形成的四個空位中的兩個，共A種不同的方法所有不同的排法共有A·A72(種)答案722如果把個位數(shù)是1，且恰有3個數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1,2,3,4四個數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有_個解析第一類：恰有三個相同的數(shù)字為1，選2,3,4中的一個數(shù)字排在十、百、千位的一個位置上，有C·A種方法，四位“好數(shù)”有9個第二類：相同的三個數(shù)字為2,3,4中的一個，這樣的四位“好數(shù)”為2221,3331,4441共3個由分類加法計數(shù)原理，共有“好數(shù)”9312個答案12對應(yīng)學生用書P359基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1一個平面內(nèi)的8個點，若只有4個點共圓，其余任何4點不共圓，那么這8個點最多確定的圓的個數(shù)為()AC·C BCCC2C·CC DCC1解析從8個點中任選3個點有選法C種，因為有4點共圓所以減去C種再加1種，即有圓CC1個答案D2若一個三位數(shù)的十位數(shù)字比個位數(shù)字和百位數(shù)字都大，稱這個數(shù)為“傘數(shù)”現(xiàn)從1,2,3,4,5,6這六個數(shù)字中取3個數(shù)，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中“傘數(shù)”有()A120個 B80個 C40個 D20個解析分類討論：若十位數(shù)為6時，有A20個；若十位數(shù)為5時，有A12個；若十位數(shù)為4時，有A6個；若十位數(shù)為3時，有A2個，因此一共有40個答案C3將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同分法的種數(shù)為()A18 B24 C30 D36解析四名學生中有兩名學生恰好分在一個班，共有CA種分法，而甲、乙被分在同一個班的有A種，所以不同的分法種數(shù)是CAA30.答案C4某外商計劃在4個候選城市中投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過2個，則該外商不同的投資方案有()A16種 B36種 C42種 D60種解析若3個不同的項目投資到4個城市中的3個，每個城市一項，共A種方法；若3個不同的項目投資到4個城市中的2個，一個城市一項、一個城市兩項共CA種方法由分類加法計數(shù)原理知共ACA60(種)方法答案D5一名老師和兩名男生兩名女生站成一排照相，要求兩名女生必須站在一起且老師不站在兩端，則不同站法的種數(shù)為()A8 B12 C16 D24解析兩名女生站一起有A種站法，她們與兩個男生站一起共有AA種站法，老師站在他們的中間則共有AAC24(種)站法，故應(yīng)選D.答案D二、填空題6(2013·大綱全國卷)從進入決賽的6名選手中決出1名一等獎，2名二等獎，3名三等獎，則可能的決賽結(jié)果共有_種(用數(shù)字作答)解析依題意，所有的決賽結(jié)果有CCC6××160(種)答案607(2014·杭州調(diào)研)四名優(yōu)等生保送到三所學校去，每所學校至少得一名，則不同的保送方案有_種解析分兩步：先將四名優(yōu)等生分成2,1,1三組，共有C種；而后，對三組學生全排三所學校，即進行全排列，有A種依分步乘法計數(shù)原理，共有NCA36(種)答案368在1,2,3,4,5這五個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為偶數(shù)的三位數(shù)共有_個解析在1,2,3,4,5這五個數(shù)字中有3個奇數(shù)，2個偶數(shù)，要求三位數(shù)各位數(shù)字之和為偶數(shù)，則兩個奇數(shù)一個偶數(shù)，符合條件的三位數(shù)共有C·C·A36(個)答案36三、解答題9四張卡片上分別標有數(shù)字“2”“0”“0”“9”，其中“9”可當“6”用，則由這四張卡片可組成不同的四位數(shù)有多少個？解先在后三位中選兩個位置填寫數(shù)字“0”有C種方法，再排另兩張卡片有A種方法又數(shù)字“9”可作“6”用，四張卡片組成不同的四位數(shù)有2CA12個10四個不同的小球放入編號為1,2,3,4的四個盒子中(1)若每個盒子放一球，則有多少種不同的放法？(2)恰有一個空盒的放法共有多少種？解(1)每個盒子放一球，共有A24種不同的放法；(2)法一先選后排，分三步完成第一步：四個盒子中選一只為空盒，有4種選法；第二步：選兩球為一個元素，有C種選法；第三步：三個元素放入三個盒中，有A種放法故共有4×CA144種放法法二先分組后排列，看作分配問題第一步：在四個盒子中選三個，有C種選法；第二步：將四個球分成2,1,1三組，有C(即)種分法；第三步：將三組分到選定的三個盒子中，有A種分法故共有CCA144種分法能力提升題組(建議用時：25分鐘)一、選擇題1在航天員進行的一項太空實驗中，要先后實施6個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一或最后一步，程序B和C在實施時必須相鄰，問實驗順序的編排方法共有()A34種 B48種 C96種 D144種解析程序A有A2種結(jié)果，將程序B和C看作元素集團與除A外的元素排列有AA48種，由分步加法計數(shù)原理，實驗編排共有2×4896種方法答案C2(2014·濟南調(diào)研)已知集合A5，B1,2，C1,3,4，從這三個集合中各取一個元素構(gòu)成空間直角坐標系中點的坐標，則確定的不同點的個數(shù)為()A33 B34 C35 D36解析(1)若從集合B中取元素2時，再從C中任取一個元素，則確定的不同點的個數(shù)為CA.(2)當從集合B中取元素1，且從C中取元素1，則確定的不同點有C×1C.(3)當從B中取元素1，且從C中取出元素3或4，則確定的不同點有CA個由分類加法計數(shù)原理，共確定不同的點有CACCA33(個)答案A二、填空題3(2013·重慶卷)從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是_(用數(shù)字作答)解析按選派的骨科醫(yī)生的人數(shù)分類：選1名骨科醫(yī)生，則有C(CCCCCC)360(種)，選2名骨科醫(yī)生，則有C(CCCC)210(種)，選3名骨科醫(yī)生，則有CCC20(種)，骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是36021020590.答案590三、解答題4直線x1，yx，將圓x2y24分成A，B，C，D四個區(qū)域，如圖用五種不同的顏色給他們涂色，要求共邊的兩區(qū)域顏色互異，每個區(qū)域只涂一種顏色，共有多少種不同的涂色方法？解法一第1步，涂A區(qū)域有C種方法；第2步，涂B區(qū)域有C種方法；第3步，涂C區(qū)域和D區(qū)域：若C區(qū)域涂A區(qū)域已填過顏色，則D區(qū)域有4種涂法；若C區(qū)域涂A、B剩余3種顏色之一，即有C種涂法，則D區(qū)域有C種涂法故共有C·C·(4C·C)260種不同的涂色方法法二共可分為三類：第1類，用五色中兩種色，共有CA種涂法；第2類，用五色中三種色，共有CCCA種涂法；第3類，用五色中四種色，共有CA種涂法由分類加法計數(shù)原理，共有CACCCACA260(種)不同的涂色方法.學生用書第176頁專心-專注-專業(yè)