第二章 第2-3節(jié) 三角形中的幾何計(jì)算；解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例（理）北師大版必修5【本講教育信息】一、教學(xué)內(nèi)容：三角形中的幾何計(jì)算及實(shí)際應(yīng)用舉例二、教學(xué)目標(biāo)（1）體會(huì)用正弦定理、余弦定理處理三角形中的計(jì)算問題。（2）能靈活的運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決測(cè)量、航海、臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)等有關(guān)的實(shí)際問題，體會(huì)建立三角函數(shù)模型的思想。（3）結(jié)合正弦定理、余弦定理等體會(huì)用方程的數(shù)學(xué)思想、分論討論的數(shù)學(xué)思想等解決實(shí)際問題。三、知識(shí)要點(diǎn)分析：1. 三角形中的幾何計(jì)算的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)（三角形中的邊和角的關(guān)系：）（i）大角對(duì)大邊：（ii）正弦定理：，（R是三角形外接圓的半徑）（iii）余弦定理：（iv）三角形的面積SABC2. 解決實(shí)際問題的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)（1）仰角與俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角。（2）方位角：指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的夾角叫方位角。（3）解決實(shí)際問題的步驟（i）理解題意分清已知與未知。（ii）畫圖建模利用正、余弦定理等知識(shí)點(diǎn)求解。（iii）作答。3. 掌握三角形內(nèi)角誘導(dǎo)公式及相關(guān)的結(jié)論，（i）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC （ii）（iii）【典型例題】考點(diǎn)一：三角形中的幾何計(jì)算例1. 設(shè)D是直角三角形ABC的斜邊BC上的一點(diǎn)，AB=AD，。（1）求證：，（2）若求的值。思路分析：（1）由已知找出與的關(guān)系，即，即可證明。（2）由正弦定理得到關(guān)于的方程即可。 解：（1）由AB=AD.（2）由正弦定理得：將此式代入得：將整理得：又故。即所求的角是例2. 設(shè)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，P到A、B、C的距離分別是1，2，3，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)思路分析：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，根據(jù)角ABP與角CBP互余，可知其余弦的平方和是1，建立關(guān)于x的方程，再求解。解：設(shè)邊長(zhǎng)是x，（1<x<3）， ，則=90在三角形ABP中：由余弦定理得：，同理在CBP中： ，90得：即有：（*） 解*得所求的邊長(zhǎng)為。說明：使用正弦定理或余弦定理或相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)解決幾何問題，首先要在已知的圖形中構(gòu)造三角形（已有三角形，不需構(gòu)造），能構(gòu)造特殊三角形的盡可能地構(gòu)造特殊的三角形?？键c(diǎn)二：研究幾何計(jì)算問題中的最值問題。如圖所示，點(diǎn)P在直徑AB=1的半圓上移動(dòng)，過點(diǎn)P作半圓的切線PT，使PT=1，則如何確定P點(diǎn)的位置？才能使得四邊形ABTP的面積最大？思路分析：由已知得P點(diǎn)的變化引起角PAB的變化，故可把四邊形ABTP的面積表示成關(guān)于角PAB的函數(shù)，然后求函數(shù)的最值。解：連接BP，設(shè)PAB，由AB為直徑得APB90，即APB是直角三角形，由AB=PT=1得：。又PT是圓的切線，故，BPTPAB 例4. 在等邊三角形ABC中，AB=a，O為中心，過O的直線交AB于M，交AC于N，求的最大值。思路分析：由于M、N的變化導(dǎo)致角MOA的變化，然后利用正弦定理，把式子表示成角MOA的函數(shù)，再求最大值。解：由已知MAO=NAO30，設(shè)MOA，則 故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值是?！菊f明】在三角形幾何計(jì)算中解決最值問題的關(guān)鍵是引入變量?？键c(diǎn)三：利用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問題例5. （1）（航海問題）已知一測(cè)高儀表失靈的飛機(jī)在高空以300km/h的速度按水平方向向東飛行，飛機(jī)的航線和山頂C在同一鉛直的平面內(nèi)，若在A處的飛行員利用測(cè)角儀器測(cè)得先看到海拔高度為4000m的山頂C的俯角為15，經(jīng)120秒后在B點(diǎn)又看到山頂C的俯角是60，求飛機(jī)現(xiàn)在的海拔高度。思路分析：先根據(jù)已知條件畫出圖形，找出兩個(gè)俯角，再根據(jù)正弦定理求出BC，在直角三角形BCD中求出CD，CD加上山的高度即是飛機(jī)現(xiàn)在的海拔高度。解：根據(jù)已知畫出圖形（如圖）BAC=15，DBC=60，故BCA=45又AB=300=10（km），則在ABC中由正弦定理得：在直角BDC中：CD=BCsin60=故飛機(jī)飛行的海拔高度是3170+4000=7170（米）（2）某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后，測(cè)出該漁輪在方位角45，距離為10海里的C處，并測(cè)得漁輪正沿方位角為105的方向，以每小時(shí)9海里的速度向小島B靠攏，我海軍艦艇立即以每小時(shí)21海里的速度前去營(yíng)救，求艦艇的航向及靠近漁輪的時(shí)間。思路分析：根據(jù)題意先畫出圖形，設(shè)艦艇收到信號(hào)后x小時(shí)在B處靠攏漁輪，在三角形ABC中利用余弦定理可求得x，再用正弦定理求得艦艇的航向。解：設(shè)艦艇收到信號(hào)x小時(shí)在B處與漁輪靠攏，則AB=21x，BC=9x，AC=10，ACB=120在ABC中，由余弦定理得：120整理得：，由正弦定理可求BAC21.8，答：艦艇沿方位角（45+21.8）的方向航行40min 可靠近漁輪。例6. （測(cè)量問題）欲測(cè)量河對(duì)岸兩點(diǎn)P，Q之間的距離，應(yīng)如何測(cè)量？思路分析：可以在岸邊選定距離為a的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A，B，然后測(cè)出角BAP，角BAQ，角ABQ，角ABP，利用正弦定理求解。解：選定距離為a的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A，B。利用測(cè)角儀器測(cè)得：BAP=BAQ=，ABQ=ABP=，則由正弦定理得：，同理：，在三角形APQ中利用余弦定理得：例7. （臺(tái)風(fēng)問題）某城市附近的海面上有一股臺(tái)風(fēng)，臺(tái)風(fēng)中心位于城市O的南偏東方向300km海面的P處，并以每小時(shí)20km/h的速度向北偏西45的方向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)時(shí)半徑是60km，并以10km/h的速度不斷增大，問幾小時(shí)后該城市受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？思路分析：設(shè)經(jīng)過x小時(shí)該城市恰好受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，假設(shè)臺(tái)風(fēng)中心由P移到Q處（如圖），此時(shí)臺(tái)風(fēng)的侵襲半徑是OQ=60+10x,在三角形OPQ中，OP=300,PQ=20x,由余弦定理建立關(guān)于x的方程求x。解：設(shè)x小時(shí)后該城市恰好受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，此時(shí)臺(tái)風(fēng)中心由P處移到Q處，臺(tái)風(fēng)的侵襲半徑是（60+10x）km，城市O恰好受到臺(tái)風(fēng)侵襲的條件是OQ=60+10x在三角形OPQ中：OP=300，PQ=20x，OPQ=45，cosOPQ=cos（45）=，由余弦定理得：故方程無解，即該城市不會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響。【本講涉及的數(shù)學(xué)思想、方法】本講主要講述了利用正弦定理、余弦定理及其相關(guān)的知識(shí)解決三角形中的幾何計(jì)算及實(shí)際問題，在此過程中，體現(xiàn)了方程的數(shù)學(xué)思想（如例1、例2）、函數(shù)的數(shù)學(xué)思想（如求最值問題）、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等在解題中的應(yīng)用。2019-2020年北師大版高中數(shù)學(xué)（必修5）2.3解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例（理）word教案一：預(yù)習(xí)前知1. 在初中你學(xué)過不等式有哪些性質(zhì)？2. 解一元一次不等式的步驟有哪些？3. 解關(guān)于x的不等式：ax>b (a,b是實(shí)數(shù))4. 二次函數(shù)的關(guān)系是什么？二：預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)探究、反思探究反思的任務(wù)：不等關(guān)系、一元二次不等式的解法1、舉例說明在現(xiàn)實(shí)生活中的不等關(guān)系?！痉此肌勘容^兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的方法有哪些？（作差比較，作商比較） a-b>0 2、不等式的性質(zhì)有哪些？傳遞性_，(2)加法單調(diào)性_，（3）乘法單調(diào)性_。（4）同向不等式相加_（5）兩邊都是正數(shù)的同向不等式相乘_。【反思】由上面的性質(zhì)你能證明：a>b>0,嗎？3、一元二次不等式的定義：_。4、一元二次不等式的解法的步驟有_。【反思】（1）你能畫出解一元二次不等式的解法的程序框圖嗎？（2）對(duì)不等式，若方程三種情形中，如何表示不等式的解集？5、分式不等式的解法思想是_【反思】分式不等式可化為不等式組_6、一元高次不等式的解法思想是_簡(jiǎn)述用穿針引線法求一元高次不等式的解集的方法?！痉此肌浚涸诶么┽樢€法求一元高次不等式的解集的過程中，若出現(xiàn)因式，應(yīng)如何處理？【模擬試題】（答題時(shí)間：70分鐘）一、選擇題：1. 在ABC中，已知a=1，b=，A=30，B為銳角，則角A，B，C的大小關(guān)系是（）A. A>B>CB. B>A>CC. C>B>AD. C>A>B*2. 在ABC中，角A，B滿足：sin=sin，則三邊a，b，c必滿足（ ）A. a=bB. a=b=cC. a+b=2cD. 3. 如圖，D，C，B三點(diǎn)在一條直線上，DC=a，從C，D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角是，（）則A點(diǎn)離地面的高度AB 等于（ ）4. 在三角形ABC中，下列等式總能成立的是（ ）A. a cosC=c cosA B. bsinC=csinA C. absinc=bcsinB D. asinC=csinA*5. 某人向正東方向走x千米后，他向右轉(zhuǎn)150，然后朝新的方向走3千米，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好為千米，則x=（ ）*6. 有一座20米高的觀測(cè)臺(tái)，測(cè)得對(duì)面一水塔塔頂?shù)难鼋鞘?0，塔底的俯角是，則這座塔高是（ ）*7. 已知兩燈塔A和B與海洋觀測(cè)站C的距離都是a km，燈塔A在觀測(cè)站C的北偏東20，燈塔B在觀測(cè)站C的南偏東40，則燈塔A與燈塔B的距離是（ ）8. 在三角形ABC中，若（a+b+c）（b+ca）=3bc，且sinA=2sinBcosC，則三角形ABC是（ ）A. 等腰三角形， B. 等邊三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形二、填空題：*9. 在三角形ABC中，ab=4，a+c=2b，且最大角為120，則此三角形的周長(zhǎng)是 *10. 在三角形ABC中，若C=3B，則的取值范圍是 *11. 在三角形ABC中，已知B=45，C=60，則三角形的面積S=_12. 海上有A，B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望，C島和B島成60視角，從B島望A島和C島成75視角，則B島和C島的距離是 海里*13. 在三角形ABC中，若acosA+bcosB=c cosC，則三角形ABC的形狀是 *14. 若等腰三角形的頂角是20，底邊和一腰長(zhǎng)分別是b，a，則下列結(jié)論不成立的是 （1），（3）（4）三、計(jì)算題：*15. 已知地面上有一旗桿OP，為了測(cè)得其高度h，地面上取一基線AB，AB=20米，在A處測(cè)得P點(diǎn)的仰角OAP=30，在B處測(cè)得P點(diǎn)的仰角OBP=45，又知AOB=60，求旗桿的高度h.16. 已知小島A的周圍38海里內(nèi)有暗礁，船正向南航行，在B處測(cè)得小島A在船的南偏東30，航行30海里后在C處測(cè)得小島A在船的南偏東45，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，問有無觸礁的危險(xiǎn)？*17. 在圓心角為60的扇形鐵板OAB中，工人師傅要裁出一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形，求此內(nèi)接矩形的最大面積?！驹囶}答案】一、選擇題: C D A D C B B B二、填空題：9. 30 10.（1，3） 11. 12. 13. 直角三角形 14.（2）（3）（4）三、計(jì)算題：15.【分析】欲求旗桿的高度，只要注意到OP=OB=h.然后利用正弦定理或余弦定理解決即可。解：AO=OPcot30=，OB=OP=h，在三角形ABO中：由余弦定理得：60答：所求旗桿的高度是。16.【分析】要判斷船有無觸礁的危險(xiǎn)，只要判斷A到BC的直線距離是否大于38海里就可以判斷。解：在三角形ABC中：BC=30，B=30，ACB=18045=135，故A=15由正弦定理得： 故于是A到BC的直線距離是Acsin45=，大于38海里。答：繼續(xù)向南航行無觸礁的危險(xiǎn)。17. 【分析】要找出內(nèi)接矩形的長(zhǎng)寬與面積S的關(guān)系，可采用引入第三個(gè)變量的辦法，用表示矩形的長(zhǎng)寬x，y，這樣矩形的面積可以表示成的三角函數(shù)，通過的變化情況，得出S的最大值。解：如圖，設(shè)PQ=x，MP=y，則矩形面積S=xy連接ON，令A(yù)ON=，則y=Rsin在三角形OMN中：由正弦定理得：故當(dāng)=30時(shí)，矩形的面積最大，其最大值是.