四)立體幾何中的高考熱點(diǎn)問題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第127頁(yè))命題解讀立體幾何是高考的重要內(nèi)容，從近五年全國(guó)卷高考試題來看，立體幾何每年必考一道解答題，難度中等，主要采用“論證與計(jì)算”相結(jié)合的模式，即首先利用定義、定理、公理等證明空間的線線、線面、面面平行或垂直，再利用空間向量進(jìn)行空間角的計(jì)算，考查的熱點(diǎn)是平行與垂直的證明、二面角的計(jì)算，平面圖形的翻折，探索存在性問題，突出三大能力：空間想象能力、運(yùn)算能力、邏輯推理能力與兩大數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想的考查空間點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系空間線線、線面、面面平行、垂直關(guān)系常與平面圖形的有關(guān)性質(zhì)及體積的計(jì)算等知識(shí)交匯考查，考查學(xué)生的空間想象能力和推理論證能力以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，一般以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等用向量法證明平行、垂直、求空間角，通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)，實(shí)質(zhì)是把幾何問題代數(shù)化，注意問題：(1)恰當(dāng)建系，建系要直觀；坐標(biāo)簡(jiǎn)單易求，在圖上標(biāo)出坐標(biāo)軸，特別注意有時(shí)要證明三條軸兩兩垂直(扣分點(diǎn))(2)關(guān)鍵點(diǎn)，向量的坐標(biāo)要求對(duì)，把用到的點(diǎn)的坐標(biāo)一個(gè)一個(gè)寫在步驟里(3)計(jì)算要認(rèn)真細(xì)心，特別是|n|，n1、n2的運(yùn)算(4)弄清各空間角與向量夾角的關(guān)系如圖1所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)圖1(1)求證：平面ABE平面B1BCC1；(2)求證：C1F平面ABE；(3)求三棱錐E­ABC的體積解(1)證明：在三棱柱ABC­A1B1C1中，BB1底面ABC，所以BB1AB.又因?yàn)锳BBC，BB1BCB，所以AB平面B1BCC1.又AB平面ABE，所以平面ABE平面B1BCC1.(1)(2)(2)證明：法一：如圖(1)，取AB中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G.因?yàn)镚，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，所以FGAC，且FGAC因?yàn)锳CA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1.所以四邊形FGEC1為平行四邊形，所以C1FEG.又因?yàn)镋G平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.法二：如圖(2)，取AC的中點(diǎn)H，連接C1H，F(xiàn)H.因?yàn)镠，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，所以HFAB.又因?yàn)镋，H分別是A1C1，AC的中點(diǎn)，所以EC1AH，所以四邊形EAHC1為平行四邊形，所以C1HAE，又C1HHFH，AEABA，所以平面ABE平面C1HF.又C1F平面C1HF，所以C1F平面ABE.(3)因?yàn)锳A1AC2，BC1，ABBC，所以AB.所以三棱錐E­ABC的體積VSABC·AA1×××1×2.規(guī)律方法1.(1)證明面面垂直，將“面面垂直”問題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”問題，再將“線面垂直”問題轉(zhuǎn)化為“線線垂直”問題.(2)證明C1F平面ABE：利用判定定理，關(guān)鍵是在平面ABE中找(作)出直線EG，且滿足C1FEG.利用面面平行的性質(zhì)定理證明線面平行，則先要確定一個(gè)平面C1HF滿足面面平行，實(shí)施線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)化.2.計(jì)算幾何體的體積時(shí)，能直接用公式時(shí)，關(guān)鍵是確定幾何體的高，而不能直接用公式時(shí)，注意進(jìn)行體積的轉(zhuǎn)化.跟蹤訓(xùn)練如圖2所示，在底面是矩形的四棱錐P­ABCD中，PA底面ABCD，E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，PAAB1，BC2.圖2(1)求證：EF平面PAB；(2)求證：平面PAD平面PDC 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140259】證明以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E，F(xiàn)，(0,0,1)，(0,2,0)，(1,0,0)，(1,0,0)(1)因?yàn)?，所以，即EFAB.又AB平面PAB，EF平面PAB，所以EF平面PAB.(2)因?yàn)?#183;(0,0,1)·(1,0,0)0，·(0,2,0)·(1,0,0)0，所以，即APDC，ADDC又因?yàn)锳PADA，AP平面PAD，AD平面PAD，所以DC平面PAD.因?yàn)镈C平面PDC，所以平面PAD平面PDC立體幾何中的探索性問題此類試題一般以解答題形式呈現(xiàn)，常涉及線面平行與垂直位置關(guān)系的探索或空間角的計(jì)算問題，是高考命題的熱點(diǎn)，一般有兩種考查形式：(1)根據(jù)條件作出判斷，再進(jìn)一步論證；(2)利用空間向量，先假設(shè)存在點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)條件判斷該點(diǎn)的坐標(biāo)是否存在(20xx·北京高考)如圖3，在四棱錐P­ABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.圖3(1)求證：PD平面PAB；(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在點(diǎn)M，使得BM平面PCD？若存在，求的值；若不存在，說明理由解(1)證明：因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，ABAD，所以AB平面PAD，所以ABPD.又因?yàn)镻APD，所以PD平面PAB.(2)取AD的中點(diǎn)O，連接PO，CO.因?yàn)镻APD，所以POAD.又因?yàn)镻O平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD.因?yàn)镃O平面ABCD，所以POCO.因?yàn)锳CCD，所以COAD.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O­xyz.由題意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，1,0)，P(0,0,1)設(shè)平面PCD的法向量為n(x，y，z)，則即令z2，則x1，y2.所以n(1，2,2)又(1,1，1)，所以cosn，.所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為.(3)設(shè)M是棱PA上一點(diǎn)，則存在0,1使得.因此點(diǎn)M(0,1，)，(1，)因?yàn)锽M平面PCD，所以要使BM平面PCD當(dāng)且僅當(dāng)·n0，即(1，)·(1，2,2)0.解得.所以在棱PA上存在點(diǎn)M使得BM平面PCD，此時(shí).規(guī)律方法解立體幾何中探索性問題的方法(1)通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立)，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理；(2)若能推導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí)，說明假設(shè)成立，即存在，并可進(jìn)一步證明；(3)若推導(dǎo)出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)論，則說明假設(shè)不成立，即不存在.易錯(cuò)警示：探索線段上是否存在點(diǎn)時(shí)，注意三點(diǎn)共線條件的應(yīng)用.跟蹤訓(xùn)練(20xx·湖南五市十校聯(lián)考)如圖4，在四棱錐P­ABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且ADCD2，BC4，PA2.圖4(1)求證：ABPC；(2)在線段PD上，是否存在一點(diǎn)M，使得二面角M­AC­D的大小為45°，如果存在，求BM與平面MAC夾角的正弦值，如果不存在，請(qǐng)說明理由解(1)證明：如圖，由已知得四邊形ABCD是直角梯形，由ADCD2，BC4，可得ABC是等腰直角三角形，即ABAC，因?yàn)镻A平面ABCD，所以PAAB，又PAACA，所以AB平面PAC，所以ABPC(2)法一：(作圖法)過點(diǎn)M作MNAD交AD于點(diǎn)N，則MNPA，因?yàn)镻A平面ABCD，所以MN平面ABCD.過點(diǎn)M作MGAC交AC于點(diǎn)G，連接NG，則MGN是二面角M­AC­D的平面角若MGN45°，則NGMN，又ANNGMN，所以MN1，所以MNPA，所以M是PD的中點(diǎn)在三棱錐M­ABC中，可得VM­ABCSABC·MN，設(shè)點(diǎn)B到平面MAC的距離是h，則VB­MACSMAC·h，所以SABC·MNSMAC·h，解得h2.在RtBMN中，可得BM3.設(shè)BM與平面MAC的夾角為，則sin .法二：(向量法)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 A(0,0,0)，C(2，2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)，B(2，2，0)，(0,2，2)，(2，2，0)設(shè)t (0t1)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,2t,22t)，所以(0,2t,22t)設(shè)平面MAC的法向量是n(x，y，z)，則得，則可取n.又m(0,0,1)是平面ACD的一個(gè)法向量，所以|cosm，n|cos 45°，解得t，即點(diǎn)M是線段PD的中點(diǎn)此時(shí)平面MAC的一個(gè)法向量可取n0(1，1，)，(2，3，1)設(shè)BM與平面MAC所成的角為，則sin |cosn0，|.平面圖形的翻折問題(答題模板)將平面圖形折疊成空間幾何體，并以此為載體考查點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系及有關(guān)幾何量的計(jì)算是近年高考的熱點(diǎn)，注重考查空間想象能力、知識(shí)遷移能力和轉(zhuǎn)化思想試題以解答題為主要呈現(xiàn)形式，中檔難度(本小題滿分12分)(20xx·全國(guó)卷)如圖5，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB5，AC6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AECF，EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到DEF的位置，OD.圖5(1)證明：DH平面ABCD；(2)求二面角B­DA­C的正弦值審題指導(dǎo)題眼挖掘關(guān)鍵信息由菱形ABCD及AECF，可知DH是等腰三角形DEF底邊上的高線，而DHEF是翻折不變量，再逆用勾股定理可得DHOH，從而得出結(jié)論利用(1)的結(jié)果，可得相交于一點(diǎn)且兩兩垂直的三條直線，為建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解二面角的正弦值創(chuàng)造了條件規(guī)范解答(1)證明：由已知得ACBD，ADCD.又由AECF得，故ACEF.因?yàn)镋FHD，從而EFDH.2分由AB5，AC6得DOBO4.由EFAC得.所以O(shè)H1，DHDH3.于是DH2OH2321210DO2，故DHOH.又DHEF，而OHEFH，所以DH平面ABCD.5分(2)如圖，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系H­xyz，則H(0,0,0)，A(3，1,0)，B(0，5,0)，C(3，1,0)，D(0,0,3)，(3，4,0)，(6,0,0)，(3,1,3)設(shè)m(x1，y1，z1)是平面ABD的法向量，則即所以可取m(4,3，5).8分設(shè)n(x2，y2，z2)是平面ACD的法向量，則即所以可取n(0，3,1)于是cosm，n.sinm，n.因此二面角B­DA­C的正弦值是.12分閱卷者說易錯(cuò)點(diǎn)防范措施弄不清翻折變量與不變量可動(dòng)手操作、加強(qiáng)訓(xùn)練、及時(shí)總結(jié)，明確在同一平面內(nèi)的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一平面上的性質(zhì)可能會(huì)發(fā)生變化規(guī)律方法對(duì)于翻折問題，應(yīng)明確：在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)可能會(huì)發(fā)生變化.解決這類問題就是要據(jù)此研究翻折以后的空間圖形中的線面關(guān)系和幾何量的度量值，這是解決翻折問題的主要方法.跟蹤訓(xùn)練(20xx·合肥二檢)如圖6(1)所示，矩形ABCD中，AB1，AD2，點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，沿BE將ABE折起至PBE，如圖6(2)所示，點(diǎn)P在平面BCDE上的射影O落在BE上. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140260】(1)(2)圖6(1)求證：BPCE；(2)求二面角B­PC­D的余弦值解(1)證明：點(diǎn)P在平面BCDE上的射影O落在BE上，PO平面BCDE，CE平面BCDE，POCE.易知BECE，BEPOO，CE平面PBE，而BP平面PBE，BPCE.(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)O且平行于CD的直線為x軸，過點(diǎn)O且平行于BC的直線為y軸，PO所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則B，C，D，P，(1,0,0)，(0,2,0)設(shè)平面PCD的法向量為n1(x1，y1，z1)，則即令z1，可得n1.設(shè)平面PBC的法向量為n2(x2，y2，z2)，則即令z2，可得n2(2,0，)，cosn1，n2.二面角B­PC­D為鈍二面角，二面角B­PC­D的余弦值為.