【導與練】（新課標）20xx屆高三數(shù)學一輪復習 第6篇 第2節(jié) 基本不等式課時訓練 理【選題明細表】知識點、方法題號利用基本不等式比較大小、證明1、4、14利用基本不等式求最值2、3、8、9基本不等式的實際應用6、10、15基本不等式的綜合問題5、7、11、12、13一、選擇題1.下列不等式一定成立的是(C)(A)lg（x2+14）>lg x(x>0)(B)sin x+1sinx2(xk,kZ)(C)x2+12|x|(xR)(D)1x2+1>1(xR)解析:對選項A,當x>0時,x2+14-x=（x-12）20,lg（x2+14）lg x;對選項B,當sin x<0時顯然不成立;對選項C,x2+1=|x|2+12|x|,一定成立;對選項D,x2+11,0<1x2+11.故選C.2.當x>0時,函數(shù)f(x)=2xx2+1有(B)(A)最小值1(B)最大值1(C)最小值2(D)最大值2解析:f(x)=2x+1x22x·1x=1.當且僅當x=1x,x>0即x=1時取等號.所以f(x)有最大值1.3.若正數(shù)x、y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是(C)(A)245(B)285(C)5(D)6解析:由x+3y=5xy,得3x+1y=5(x>0,y>0),則3x+4y=15(3x+4y)（3x+1y）=15(13+12yx+3xy)15(13+212yx·3xy)=15(13+12)=5.當且僅當12yx=3xy,即x=2y時,等號成立,此時由x=2y,x+3y=5xy,解得x=1,y=12.故選C.4.(20xx重慶市部分重點中學高三聯(lián)考)已知p=a+1a-2(a>2),q=(12) x2-2(xR),則p,q的大小關(guān)系為(A)(A)pq(B)p>q(C)p<q(D)pq解析:p=a+1a-2=(a-2)+1a-2+22+2=4,當且僅當a=3時,取得等號;而由于x2-2-2,故q=(12) x2-2(12)-2=4,故pq.故選A.5.(20xx南昌模擬)設(shè)a>0,b>0,若3是3a與32b的等比中項,則2a+1b的最小值為(A)(A)8(B)4(C)1(D)14解析:由已知得3a×32b=3,即3a+2b=3,所以a+2b=1,所以2a+1b=(a+2b)(2a+1b)=4+4ba+ab4+24ba×ab=8.當且僅當4ba=ab,a+2b=1,即a=2b=12時取等號.所以最小值為8.故選A.6.某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每批的生產(chǎn)準備費用為800元.若每批生產(chǎn)x件,則平均倉儲時間為x8天,且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元.為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小,每批應生產(chǎn)產(chǎn)品(B)(A)60件(B)80件(C)100件(D)120件解析:每批生產(chǎn)x件產(chǎn)品,則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用是800x元,倉儲費用是x8元,每件產(chǎn)品的總的費用y=800x+x82800x·x8=20,當且僅當800x=x8時取等號,得x=80.故選B.7.(20xx吉安模擬)設(shè)x,yR,a>1,b>1,若ax=by=2,2a+b=8,則1x+1y的最大值為(B)(A)2(B)3(C)4(D)log23解析:由題意得1x=log2a,1y=log2b,1x+1y=log2a+log2b=log2(ab)=log2(2a·b)-1log2(2a+b2)2-1=log2(82)2-1=3.當且僅當2a=b.2a+b=8,即a=2,b=4時取等號.故選B.二、填空題8.(20xx洛陽月考)設(shè)正實數(shù)a,b滿足a+b=2,則1a+a8b的最小值為. 解析:依題意得1a+a8b=a+b2a+a8b=12+b2a+a8b12+2b2a×a8b=1,當且僅當b2a=a8b,a+b=2即a=2b=43時取等號,因此1a+a8b的最小值是1.答案:19.(20xx南昌模擬)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為. 解析:9=x+3y+xy=x+3y+13·(x·3y)x+3y+13·(x+3y2)2,所以(x+3y)2+12(x+3y)-1080.所以x+3y6或x+3y-18(舍去).當且僅當x=3y=3時取“=”.答案:610.某公司購買一批機器投入生產(chǎn),據(jù)市場分析,每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位:萬元)與機器運轉(zhuǎn)時間x(單位:年)的關(guān)系為y=-x2+18x-25(xN*),則當每臺機器運轉(zhuǎn)年時,年平均利潤最大,最大值是萬元. 解析:每臺機器運轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為yx=18-(x+25x),而x>0,故yx18-225=8,當且僅當x=5時等號成立,此時年平均利潤最大,最大值為8萬元.答案:5811.已知直線ax-2by=2(a>0,b>0)過圓x2+y2-4x+2y+1=0的圓心,ab的最大值為. 解析:圓的標準方程為(x-2)2+(y+1)2=4,所以圓心為(2,-1),因為直線過圓心,所以2a+2b=2,即a+b=1.所以ab（a+b2）2=14,當且僅當a=b=12時取等號,所以ab的最大值為14.答案:1412.函數(shù)y=a1-x(a>0,且a1)的圖象恒過定點A,若點A在直線mx+ny-1=0(mn>0)上,則1m+1n的最小值為. 解析:A(1,1),由點A在直線mx+ny-1=0上,得m+n=1,所以1m+1n=(m+n)（1m+1n）=2+mn+nm2+2mn·nm=4.當且僅當m=n=12時取等號.答案:413.(20xx阜陽模擬)已知二次函數(shù)f(x)=cx2-4x+a+1的值域是1,+),則1a+9c的最小值是. 解析:由題意得c>0,4c(a+1)-(-4)24c=1,即c>0,ac=4.所以1a+9c=c+9aac=c+9a414×2c×9a=32ac=3.當且僅當9a=c,ac=4即a=23,c=6時取等號.答案:3三、解答題14.已知函數(shù)f(x)=lg x,若x1,x2>0,判斷12f(x1)+f(x2)與f（x1+x22）的大小,并加以證明.解:12f(x1)+f(x2)f（x1+x22）.證明如下:f(x1)+f(x2)=lg x1+lg x2=lg(x1x2),f（x1+x22）=lg x1+x22,且x1,x2>0,x1x2（x1+x22）2,lg(x1x2)lg（x1+x22）2,12lg(x1x2)lg x1+x22,12(lg x1+lg x2)lg x1+x22.即12f(x1)+f(x2)f（x1+x22）,當且僅當x1=x2時,等號成立.15.某商店預備在一個月內(nèi)分批購入每張價值為20元的書桌共36張,每批都購入x張(x是正整數(shù)),且每批均需付運費4元,儲存購入的書桌一個月所付的保管費與每批購入書桌的總價值(不含運費)成正比,若每批購入4張,則該月需用去運費和保管費共52元,現(xiàn)在全月只有48元資金可以用于支付運費和保管費.(1)求該月需用去的運費和保管費的總費用f(x);(2)能否恰當?shù)匕才琶颗M貨的數(shù)量,使資金夠用?寫出你的結(jié)論,并說明理由.解:(1)設(shè)題中比例系數(shù)為k,每批購入x張書桌,則共需分36x批,每批價值為20x元,由題意得f(x)=36x·4+k·20x.由x=4時,f(x)=52,得k=1680=15.f(x)=144x+4x(0<x36,xN*).(2)由(1)知f(x)=144x+4x(0<x36,xN*),f(x)2144x×4x=48(元).當且僅當144x=4x,即x=6時,上式等號成立.故每批購入6張書桌,可以使資金夠用.