新編人教版精品教學(xué)資料課時(shí)提升作業(yè)(十四)雙曲線方程及性質(zhì)的應(yīng)用(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.直線l過點(diǎn)(2,0)且與雙曲線x2-y2=2僅有一個(gè)公共點(diǎn),則這樣的直線有()A.1條B.2條C.3條D.4條【解題指南】先判斷點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系,再結(jié)合題意求解.【解析】選C.點(diǎn)(2,0)即為雙曲線的右頂點(diǎn),過該點(diǎn)有兩條與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn),另過該點(diǎn)且與x軸垂直的直線也與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),故這樣的直線只有3條.2.(2015·溫州高二檢測(cè))已知雙曲線E的中心為原點(diǎn),F(3,0)是E的焦點(diǎn),過F的直線l與E相交于A,B兩點(diǎn),且AB的中點(diǎn)為N(-12,-15),則E的方程為()A.x23-y26=1B.x24-y25=1C.x26-y23=1D.x25-y24=1【解題指南】中點(diǎn)弦問題,借助點(diǎn)差法求解.【解析】選B.由c=3,設(shè)雙曲線方程為x2a2-y29-a2=1,kAB=0+153+12=1,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x12a2-y129-a2=1,x22a2-y229-a2=1,-,得(x1+x2)(x1-x2)a2-(y1+y2)(y1-y2)9-a2=0,又N(-12,-15)為AB中點(diǎn),所以x1+x2=-24,y1+y2=-30.所以-24(x1-x2)a2=-30(y1-y2)9-a2.所以y1-y2x1-x2=4(9-a2)5a2=1.所以a2=4.所以雙曲線方程為x24-y25=1.3.設(shè)直線l過雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn),且與C的一條對(duì)稱軸垂直,l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍,則C的離心率為()A.2B.3C.2D.3【解題指南】用a,b表示|AB|,由|AB|=4a求a,b的等量關(guān)系,進(jìn)而求離心率.【解析】選B.由題意不妨設(shè)l:x=-c,則|AB|=2b2a,又|AB|=2×2a,故b2=2a2,所以e=1+b2a2=1+2=3.4.(2015·西安高二檢測(cè))過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)A作斜率為-1的直線,該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為B,C.若AB=12BC,則雙曲線的離心率是()A.2B.3C.5D.10【解析】選C.右頂點(diǎn)為A(a,0),則直線方程為x+y-a=0,可求得直線與兩漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo)Ba2a+b,aba+b,Ca2a-b,-aba-b,則BC=2a2ba2-b2,-2a2ba2-b2,AB=-aba+b,aba+b.又2AB=BC,所以2a=b,所以e=5.5.已知F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn),若|PF1|2|PF2|的最小值為8a,則雙曲線的離心率e的取值范圍是()A.(1,+)B.(1,2C.(1,3D.(1,3【解析】選D.依題意知|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|2|PF2|=4a2+|PF2|2+4a|PF2|PF2|=4a+4a2|PF2|+|PF2|8a,當(dāng)且僅當(dāng)4a2|PF2|=|PF2|時(shí)等號(hào)成立.此時(shí)|PF2|=2a,|PF1|=4a,因?yàn)閨PF1|+|PF2|2c.所以6a2c,即1<e3.【誤區(qū)警示】本題求解時(shí)常常忘記檢驗(yàn)雙曲線定義滿足的條件導(dǎo)致范圍擴(kuò)大.二、填空題(每小題5分,共15分)6.直線y=x+4與雙曲線x2-y2=1的交點(diǎn)坐標(biāo)為.【解析】聯(lián)立方程組得y=x+4,x2-y2=1,消去y得x2-(x+4)2=1,則x=-178,代入y=x+4得y=158.故直線y=x+4與雙曲線x2-y2=1的交點(diǎn)坐標(biāo)為-178,158.答案:-178,158【補(bǔ)償訓(xùn)練】過點(diǎn)(0,1)且斜率為1的直線交雙曲線x2-y24=1于A,B兩點(diǎn),則|AB|=.【解析】直線為y=x+1,與雙曲線聯(lián)立得y=x+1,x2-y24=1,得3x2-2x-5=0.所以x1+x2=23,x1x2=-53,所以|AB|=2·49+203=823.答案:8237.若直線y=kx與雙曲線x29-y24=1相交,則k的取值范圍為.【解題指南】借助雙曲線與漸進(jìn)線的關(guān)系,數(shù)形結(jié)合求解.【解析】雙曲線x29-y24=1的漸近線方程為y=±23x,若直線與雙曲線相交,數(shù)形結(jié)合,得k-23,23.答案:-23,238.(2015·全國(guó)卷)已知F是雙曲線C:x2-y28=1的右焦點(diǎn),P是C左支上一點(diǎn),A0,66,當(dāng)APF周長(zhǎng)最小時(shí),該三角形的面積為.【解題指南】APF周長(zhǎng)最小時(shí),P點(diǎn)是點(diǎn)A與雙曲線C:x2-y28=1的左焦點(diǎn)的連線與雙曲線的交點(diǎn).【解析】由已知a=1,b=22,c=3,所以F(3,0),F(-3,0),又A0,66,所以|AF|=32+(66)2=15,APF周長(zhǎng)l=|PA|+|PF|+|AF|,又|PF|-|PF|=2,所以|PF|=|PF|+2,所以l=|PA|+|PF|+2+15|AF|+17=32,當(dāng)且僅當(dāng)A,P,F三點(diǎn)共線時(shí),APF周長(zhǎng)最小,如圖所示.設(shè)P(x,y),直線AF的方程為x-3+y66=1,聯(lián)立得x-3+y66=1,x2-y28=1,消去x得6y2+36y-966=0,解得y=-86(舍)或y=26,則P(x,26).因?yàn)镾APF=SAFF-SPFF=12×6×66-12×6×26=126.答案:126三、解答題(每小題10分,共20分)9.經(jīng)過點(diǎn)M(2,2)作直線l交雙曲線x2-y24=1于A,B兩點(diǎn),且M為AB中點(diǎn).(1)求直線l的方程.(2)求線段AB的長(zhǎng).【解析】(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),代入雙曲線方程得x12-y124=1,x22-y224=1,兩式相減得x12-x22-y124-y224=0,(x1+x2)(x1-x2)-14(y1+y2)(y1-y2)=0.因?yàn)镸為AB的中點(diǎn),所以x1+x2=4,y1+y2=4,所以4(x1-x2)-(y1-y2)=0,kl=y1-y2x1-x2=4,所以l的方程為y-2=4(x-2),即y=4x-6.(2)將y=4x-6代入到x2-y24=1中得3x2-12x+10=0,故x1+x2=4,x1x2=103,所以|AB|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=23102.【補(bǔ)償訓(xùn)練】過點(diǎn)P(8,1)的直線與雙曲線x2-4y2=4相交于A,B兩點(diǎn),且P是線段AB的中點(diǎn),求直線AB的方程.【解析】設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則x12-4y12=4,x22-4y22=4.-得(x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0.因?yàn)镻是線段AB的中點(diǎn),所以x1+x2=16,y1+y2=2.所以y1-y2x1-x2=x1+x24(y1+y2)=2.所以直線AB的斜率為2.所以直線AB的方程為y-1=2(x-8),即2x-y-15=0.10.(2015·大連高二檢測(cè))雙曲線的兩條漸近線的方程為y=±2x,且經(jīng)過點(diǎn)(3,-23).(1)求雙曲線的方程.(2)過雙曲線的右焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn),求|AB|.【解析】(1)因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線方程為y=±2x,所以可設(shè)雙曲線的方程為2x2-y2=(0).又因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)(3,-23),代入方程可得=6,所以所求雙曲線的方程為x23-y26=1.(2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),過F且傾斜角為60°的直線方程為y=3(x-3),聯(lián)立y=3(x-3),2x2-y2=6,得x2-18x+33=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=18,x1x2=33,所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+3·(x1+x2)2-4x1x2=2324-132=163,即弦長(zhǎng)|AB|=163.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共10分)1.已知F是雙曲線x23a2-y2a2=1(a>0)的右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)P是雙曲線C上一點(diǎn),則POF的大小不可能是()A.15°B.25°C.60°D.165°【解題指南】先求漸近線的夾角,再借助雙曲線與漸近線的關(guān)系,數(shù)形結(jié)合求解.【解析】選C.雙曲線的漸近線方程為y=±33x,所以漸近線的傾斜角為30°或150°,所以POF不可能等于60°.2.(2015·冀州高二檢測(cè))過雙曲線x2a2-y25-a2=1(a>0)右焦點(diǎn)F作一條直線,當(dāng)直線斜率為2時(shí),直線與雙曲線左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)直線斜率為3時(shí),直線與雙曲線右支有兩個(gè)不同交點(diǎn),則雙曲線離心率的取值范圍為()A.(2,5)B.(5,10)C.(1,2)D.(5,52)【解析】選B.由題意可知,5-a2>0,2<5-a2a2<3,從而4<5-a2a2<9,所以e=1+5-a2a2(5,10).二、填空題(每小題5分,共10分)3.已知A(1,2),B(-1,2),動(dòng)點(diǎn)P滿足APBP.若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線與動(dòng)點(diǎn)P的軌跡沒有公共點(diǎn),則雙曲線離心率的取值范圍是.【解題指南】先由直接法確定點(diǎn)P的軌跡(為一個(gè)圓),再由漸近線與該軌跡無公共點(diǎn)得到不等關(guān)系,進(jìn)一步列出關(guān)于離心率e的不等式進(jìn)行求解.【解析】設(shè)P(x,y),由題設(shè)條件,得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為(x-1)(x+1)+(y-2)·(y-2)=0(x±1),即x2+(y-2)2=1(x±1),它是以(0,2)為圓心,1為半徑的圓(A,B兩點(diǎn)除外).又雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±bax,即bx±ay=0,由題意,可得2aa2+b2>1,即2ac>1,所以e=ca<2,又e>1,故1<e<2.答案:(1,2)4.(2014·浙江高考)設(shè)直線x-3y+m=0(m0)與雙曲線x2a2-y2b2=1(a>b>0)兩條漸近線分別交于點(diǎn)A,B,若點(diǎn)P(m,0)滿足|PA|=|PB|,則該雙曲線的離心率是.【解題指南】求出A,B的坐標(biāo),寫出AB中點(diǎn)Q的坐標(biāo),因?yàn)閨PA|=|PB|,所以PQ與已知直線垂直,尋找a與c的關(guān)系.【解析】由雙曲線的方程可知,它的漸近線方程為y=bax與y=-bax,分別與x-3y+m=0(m0)聯(lián)立方程組,解得A-ama-3b,-bma-3b,B-ama+3b,bma+3b,設(shè)AB的中點(diǎn)為Q,則Q-ama-3b+-ama+3b2,-bma-3b+bma+3b2,因?yàn)閨PA|=|PB|,所以PQ與已知直線垂直,所以kPQ=-3,解得2a2=8b2=8(c2-a2),即c2a2=54,ca=52.答案:52三、解答題(每小題10分,共20分)5.已知雙曲線3x2-y2=3,直線l過其右焦點(diǎn)F2,且傾斜角為45°,與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),試問A,B兩點(diǎn)是否位于雙曲線的同一支上?并求弦AB的長(zhǎng).【解析】因?yàn)橹本€l過點(diǎn)F2且傾斜角為45°,所以直線l的方程為y=x-2.代入雙曲線方程,得2x2+4x-7=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).因?yàn)閤1·x2=-72<0,所以A,B兩點(diǎn)分別位于雙曲線的左、右兩支上.因?yàn)閤1+x2=-2,x1·x2=-72,所以|AB|=1+12|x1-x2|=2·(x1+x2)2-4x1x2=2·(-2)2-4-72=6.6.(2015·北京高二檢測(cè))直線l:y=kx+1與雙曲線C:2x2-y2=1的右支交于不同的兩點(diǎn)A,B.(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍.(2)是否存在實(shí)數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F?若存在,求出k的值;若不存在,說明理由.【解析】(1)將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x2-y2=1后,整理得,(k2-2)x2+2kx+2=0.依題意,直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn),故k2-20,=(2k)2-8(k2-2)>0,-2kk2-2>0,2k2-2>0.解得k的取值范圍是-2<k<-2.(2)設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則由式得x1+x2=2k2-k2,x1·x2=2k2-2.假設(shè)存在實(shí)數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F(c,0).則由FAFB得(x1-c)(x2-c)+y1y2=0,即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0.把式及c=62代入式化簡(jiǎn)得5k2+26k-6=0.解得k=-6+65或k=6-65(舍去).可知k=-6+65時(shí)使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F.關(guān)閉Word文檔返回原板塊