1 1課時(shí)提升作業(yè)(十三)一、選擇題1.函數(shù)y=sin(2x+1)的導(dǎo)數(shù)是()(A)y=cos(2x+1) (B)y=2xsin(2x+1)(C)y=2cos(2x+1) (D)y=2xcos(2x+1)2.(20xx·合肥模擬)若拋物線y=x2在點(diǎn)(a,a2)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為16,則a=()(A)4 (B)±4 (C)8 (D)±83.(20xx·寶雞模擬)下列曲線的所有切線構(gòu)成的集合中,存在無數(shù)對互相垂直的切線的曲線是()(A)f(x)=ex (B)f(x)=x3(C)f(x)=lnx (D)f(x)=sinx4.(20xx·贛州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上周期為2的可導(dǎo)函數(shù),若f(2)=2,且limx0f(x+2)-22x=-2,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程是()(A)y=-2x+2 (B)y=-4x+2(C)y=4x+2 (D)y=-12x+25.如圖,其中有一個是函數(shù)f(x)=13x3+ax2+(a2-1)x+1(aR,a0)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖像,則f(-1)為()(A)2 (B)-13 (C)3 (D)-126.(20xx·阜陽模擬)如圖,函數(shù)y=f(x)的圖像在點(diǎn)P處的切線方程是y=kx+b,若f(1)-f(1)=2,則b=()(A)-1 (B)1 (C)2 (D)-27.(20xx·新余模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=g(x)+x2,曲線y=g(x)在點(diǎn)(1,g(1)處的切線方程為y=2x+1,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處切線的斜率為()(A)4 (B)-14 (C)2 (D)-128.已知直線y=2x-m是曲線y=ln2x的切線,則m等于()(A)0 (B)1 (C)12 (D)-129.等比數(shù)列an中,a1=2,a8=4,函數(shù)f(x)=x(x-a1)·(x-a2)··(x-a8),則f(0)=()(A)26 (B)29 (C)212 (D)21510.(20xx·安慶模擬)若存在過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線y=x3和y=ax2+154x-9都相切,則a等于()(A)-1或-2564 (B)-1或214(C)-74或-2564 (D)-74或7二、填空題11.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),且滿足f(x)=3x2+2xf(2),則f(5)=.12.(20xx·宜春模擬)若過原點(diǎn)作曲線y=ex的切線,則切點(diǎn)的坐標(biāo)為,切線的斜率為.13.(20xx·鎮(zhèn)江模擬)設(shè)a>0,f(x)=ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0)處切線的傾斜角的取值范圍為0,4,則點(diǎn)P到曲線y=f(x)的對稱軸的距離的取值范圍為.14.(能力挑戰(zhàn)題)若曲線f(x)=ax2+lnx存在垂直于y軸的切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.三、解答題15.(20xx·宿州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=ax-bx,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切線方程為7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式.(2)證明:曲線y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值,并求此定值.答案解析1.【解析】選C. y=cos(2x+1)·(2x+1)=2cos(2x+1).2.【解析】選B.y=2x,所以在點(diǎn)(a,a2)處的切線方程為:y-a2=2a(x-a),令x=0,得y=-a2;令y=0,得x=12a,所以切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S=12×|-a2|×|12a|=14|a3|=16,解得a=±4.3.【解析】選D.設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1,x2,則存在無數(shù)對互相垂直的切線,即f(x1)·f(x2)=-1有無數(shù)對x1,x2使之成立,對于A由于f(x)=ex>0,所以不存在f(x1)·f(x2)=-1成立;對于B由于f(x)=3x20,所以也不存在f(x1)·f(x2)=-1成立;對于C由于f(x)=lnx的定義域?yàn)?0,+),f(x)=1x>0;對于D,由于f(x)=cosx,所以f(x1)·f(x2)=cosx1·cosx2,若x1=2m,mZ,x2=(2k+1),kZ,則f(x1)·f(x2)=-1恒成立.4.【解析】選B.因?yàn)閒(x)的周期為2,所以f(0)=f(2)=2.由limx0f(x+2)-22x=-2得12limx0f(x)-f(0)x=-2,即12f(0)=-2,得f(0)=-4,故曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線方程為y=-4x+2.5.【解析】選B.f(x)=x2+2ax+(a2-1),導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖像開口向上.又a0,其圖像必為(3).由圖像特征知f(0)=0,且對稱軸x=-a>0,a=-1,故f(-1)=-13.6.【解析】選C.由函數(shù)y=f(x)的圖像知,點(diǎn)P(1,f(1),故f(1)=k,又f(1)=k+b,由f(1)-f(1)=2得b=2.7.【解析】選A.因?yàn)榍€y=g(x)在點(diǎn)(1,g(1)處的切線方程為y=2x+1,所以g(1)=2.又f(x)=g(x)+2x,故曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線斜率為f(1)=g(1)+2=4.8.【解析】選B.設(shè)切點(diǎn)為(x0,ln2x0),則由y=ln2x得y=12x·2=1x,故f'(x0)=2,2x0-m=ln2x0,即1x0=2,2x0-m=ln2x0,解得x0=12,m=1.9.【解析】選C.因?yàn)閒(x)=x·(x-a1)·(x-a2)··(x-a8)+x·(x-a1)·(x-a2)··(x-a8),所以f(0)=(-a1)(-a2)··(-a8)=a1·a2··a8=(a1·a8)4=84=212.10.【思路點(diǎn)撥】先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程,最后由點(diǎn)(1,0)在切線上求出切點(diǎn)后再求a的值.【解析】選A.設(shè)過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線y=x3相切于點(diǎn)(x0,x03),所以切線方程為y-x03=3x02(x-x0),即y=3x02x-2x03.又(1,0)在切線上,則x0=0或x0=32,當(dāng)x0=0時(shí),由y=0與y=ax2+154x-9相切可得=(154)2-4a(-9)=0,解得a=-2564,同理,當(dāng)x0=32時(shí),由y=274x-274與y=ax2+154x-9相切可得a=-1,所以選A.【方法技巧】導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線的斜率,應(yīng)用時(shí)主要體現(xiàn)在以下幾個方面:(1)已知切點(diǎn)A(x0,f(x0)求斜率k,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值:k=f(x0).(2)已知斜率k,求切點(diǎn)A(x1,f(x1),即解方程f(x1)=k.(3)已知過某點(diǎn)M(x1,f(x1)(不是切點(diǎn))的切線斜率為k時(shí),常需設(shè)出切點(diǎn)A(x0,f(x0),利用k=f(x1)-f(x0)x1-x0求解.11.【解析】對f(x)=3x2+2xf(2)求導(dǎo),得f(x)=6x+2f(2).令x=2,得f(2)=-12.再令x=5,得f(5)=6×5+2f(2)=6.答案:612.【解析】y=ex,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則y0x0=ex0,即ex0x0=ex0,x0=1,因此切點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,e),切線的斜率為e.答案:(1,e)e13.【解析】y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0)處切線的傾斜角的取值范圍為0,4,0f(x0)1,即02ax0+b1.又a>0,-b2ax01-b2a,0x0+b2a12a,即點(diǎn)P到曲線y=f(x)的對稱軸的距離的取值范圍為0,12a.答案:0,12a14.【思路點(diǎn)撥】求出導(dǎo)函數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn),求a的取值范圍.【解析】由題意該函數(shù)的定義域?yàn)?0,+),且f(x)=2ax+1x.因?yàn)榇嬖诖怪庇趛軸的切線,故此時(shí)斜率為0,問題轉(zhuǎn)化為x>0時(shí)導(dǎo)函數(shù)f(x)=2ax+1x存在零點(diǎn)的問題.方法一(圖像法):再將之轉(zhuǎn)化為g(x)=-2ax與h(x)=1x存在交點(diǎn).當(dāng)a=0時(shí)不符合題意,當(dāng)a>0時(shí),如圖1,數(shù)形結(jié)合可得沒有交點(diǎn),當(dāng)a<0時(shí),如圖2,此時(shí)正好有一個交點(diǎn),故有a<0,應(yīng)填(-,0).方法二(分離變量法):上述也可等價(jià)于方程2ax+1x=0在(0,+)內(nèi)有解,顯然可得a=-12x2(-,0).答案:(-,0)15.【解析】(1)方程7x-4y-12=0可化為y=74x-3.當(dāng)x=2時(shí),y=12.又f(x)=a+bx2,于是2a-b2=12,a+b4=74,解得a=1,b=3.故f(x)=x-3x.(2)設(shè)P(x0,y0)為曲線上任一點(diǎn),由y=1+3x2知曲線在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程為y-y0=(1+3x02)(x-x0),即y-(x0-3x0)=(1+3x02)(x-x0).令x=0得y=-6x0,從而得切線與直線x=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-6x0).令y=x得y=x=2x0,從而得切線與直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0),所以點(diǎn)P(x0,y0)處的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形面積為S=12|-6x0|2x0|=6.故曲線y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形的面積為定值,此定值為6.【變式備選】已知函數(shù)f(x)=x3+x-16.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,-6)處的切線方程.(2)如果曲線y=f(x)的某一切線與直線y=-14x+3垂直,求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程.【解析】(1)可判定點(diǎn)(2,-6)在曲線y=f(x)上.f(x)=(x3+x-16)=3x2+1,在點(diǎn)(2,-6)處的切線的斜率為k=f(2)=13,切線的方程為y=13(x-2)+(-6),即y=13x-32.(2)切線與直線y=-14x+3垂直,切線的斜率k=4.設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0),則f(x0)=3x02+1=4,x0=±1,x0=1,y0=-14或x0=-1,y0=-18.切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-14)或(-1,-18),切線方程為y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.