1 1第2節(jié) 數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和題型74 數(shù)列通項(xiàng)公式的求解1. (20xx安徽文19）設(shè)數(shù)列滿足，且對(duì)任意，函數(shù)滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.1. 分析 （1）求導(dǎo)，代入，并對(duì)所得式子進(jìn)行變形，從而證明數(shù)列是等差數(shù)列，再由題目條件求基本量，得通項(xiàng)公式.（2）將代入化簡，利用分組求和法，結(jié)合等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算.解析 （1）由題設(shè)可得.對(duì)任意，即，故為等差數(shù)列.由，可得數(shù)列的公差，所以.（2）由知，.2.（20xx廣東文19）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，,且構(gòu)成等比數(shù)列(1) 證明：；(2) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3) 證明：對(duì)一切正整數(shù)，有2.分析 （1）把代入遞推式，可以得到和的關(guān)系式，變形可得.（2）鑒于遞推式含有的特點(diǎn)，常用公式進(jìn)行化異為同，得到和的遞推式，構(gòu)造等差數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng).（3）要證的不等式的左邊是一個(gè)新數(shù)列的前項(xiàng)和，因此要求和、化簡，因?yàn)槭且粋€(gè)分式，常常通過裂項(xiàng)相消法逐項(xiàng)相消，然后再通過放縮，得出結(jié)論.解析 （1）證明：由，得，即，所以.因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?所以當(dāng)時(shí)， 由-得，即.因?yàn)?，所以，?因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，解得.又由（1）知，所以，所以.綜上知，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.所以.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（3）證明：由（2）知，所以.3. （20xx江西文16）正項(xiàng)數(shù)列滿足：.(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2) 令，數(shù)列的前項(xiàng)和為3.分析 （1）根據(jù)已知的和的關(guān)系式進(jìn)行因式分解，通過得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）把數(shù)列的通項(xiàng)公式代入的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)法求出數(shù)列的前項(xiàng)和. 解析 （1）由，得.由于是正項(xiàng)數(shù)列，所以.（2）由，則，.4. (20xx重慶文16）設(shè)數(shù)列滿足：.（1）求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（2）已知是等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，且，求.4.分析 根據(jù)等比、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式直接運(yùn)算求解.解析 （1）由題設(shè)知是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.（2），所以公差，故.5. (20xx湖南文19）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，2，.（1）求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和. 5.分析 根據(jù)消去得到關(guān)于的關(guān)系式，求其通項(xiàng)；利用錯(cuò)位相減法求前項(xiàng)和.解析 （1）令，得，即.因?yàn)?，所?令，得，解得.當(dāng)時(shí)，由，即.于是數(shù)列是首項(xiàng)為.公比為的等比數(shù)列.因此，.所以的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，于是， . ，得.從而.6.（20xx陜西文4）根據(jù)如圖所示框圖，對(duì)大于的整數(shù)，輸出的數(shù)列的通項(xiàng)公式是（ ）.A. B. C. D.7.（20xx新課標(biāo)文16）數(shù)列滿足，則 .8.（20xx江西文17）（本小題滿分12分） 已知數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：對(duì)任意，都有，使得成等比數(shù)列.9.（20xx大綱文17）（本小題滿分10分）數(shù)列滿足.（1）設(shè)，證明是等差數(shù)列；（2）求的通項(xiàng)公式.10.（20xx廣東文19）（本小題滿分14分）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.(1) 求的值；(2) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3) 求證：對(duì)一切正整數(shù)，有.11.（20xx湖南文16）（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.12.（20xx陜西文16）觀察下列等式：據(jù)此規(guī)律，第個(gè)等式可為_.12.解析 觀察等式知，第個(gè)等式的左邊有個(gè)數(shù)相加減，奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，且分子為，分母是到的連續(xù)正整數(shù)，等式的右邊是.故答案為.13.（20xx江蘇卷11）設(shè)數(shù)列滿足，且，則數(shù)列前項(xiàng)的和為 13.解析 解法一：可以考慮算出前項(xiàng)，但運(yùn)算化簡較繁瑣解法二：由題意得，故累加得，從而，當(dāng)時(shí)，滿足通項(xiàng)故，則有14.（20xx安徽理18）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的前項(xiàng)和.14.解析 （1）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，且，所以.聯(lián)立，又為遞增的等比數(shù)列，即.解得或（舍），可得，得.所以.（2）由（1）可知，所以，所以.故.15.（20xx北京文16）已知等差數(shù)列滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列滿足，；問：與數(shù)列的第幾項(xiàng)相等？15.解析（1）依題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為， 得，.數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）等比數(shù)列中，設(shè)等比數(shù)列的公比為，.，得，則與數(shù)列的第項(xiàng)相等.16.（20xx福建文17）在等差數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的值16.分析（1）利用基本量法可求得，進(jìn)而求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列前項(xiàng)和，首先考慮其通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式的不同特點(diǎn)，選擇相應(yīng)的求和方法，本題，故可采取分組求和法求其前項(xiàng)和解析 （1）設(shè)等差數(shù)列的公差為由已知得，解得所以（2）由（1）可得，所以.17.（20xx廣東文19）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且當(dāng)時(shí)，（1）求的值；（2）求證：為等比數(shù)列；（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式17.解析（1）當(dāng)時(shí)，即，解得.（2）因?yàn)椋ǎ?，所以（），即（），亦即，則.當(dāng)時(shí)，滿足上式.故數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.（3）由（2）可得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.18.（20xx湖北文19）設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為，已知，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式;(2)當(dāng)時(shí)，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.解析 (1)由題意有，即.解得，或.故或.(2)由，知，故，于是， . 式式可得.故. 19.（20xx山東文19）已知數(shù)列是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.解析（1）設(shè)數(shù)列的公差為，令，得，即. 令，得，即.聯(lián)立，解得，.所以.（2）由（1）知，得到，從而，得，所以.19.（20xx四川文16）設(shè)數(shù)列（）的前項(xiàng)和滿足，且，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求. 19.解析（1）由已知，可得，即.則，.又因?yàn)?，成等差?shù)列，即.所以，解得.所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.故.（2）由（1）可得，所以.20.（20xx天津文18）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.分析（1）列出關(guān)于與的方程組，通過解方程組求出，即可確定通項(xiàng)；（2）用錯(cuò)位相減法求和.解析 （1）設(shè)的公比為，的公差為，由題意，由已知，有，消去得，解得，所以的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）有，設(shè)的前項(xiàng)和為，則，兩式相減得，所以.21.（20xx浙江文17）已知數(shù)列和滿足，.(1)求與;(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.21.解析 (1)由題意知是等比數(shù)列，所以.當(dāng)時(shí)，所以，所以，所以，又，所以.（或采用累乘法）(2)，所以，所以，所以.22.（20xx重慶文16）已知等差數(shù)列滿足，前3項(xiàng)和.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列滿足，求前項(xiàng)和. 22.解析（1）設(shè)的公差為，則由已知條件得，化簡得，解得，故通項(xiàng)公式，（2）由（1）得，.設(shè)的公比為，則，從而，故的前項(xiàng)和.23.（20xx浙江文17）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知，.（1）求通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.23.解析 （1）由題意得，則.因?yàn)椋?，?又知，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，.（2）對(duì)于，當(dāng)時(shí)，有.設(shè)，當(dāng)時(shí)，有.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，.當(dāng)時(shí)，時(shí)也滿足此式，所以.24.（20xx全國3文17）設(shè)數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.24.解析 （1）令 ，則有 ，即.當(dāng)時(shí)， 得，即，得.當(dāng)時(shí)，也符合，所以.（2）令， 所以.評(píng)注 本題具有一定的難度，第一問要求學(xué)生具備一定的轉(zhuǎn)化與化歸的思想，將不熟悉的表達(dá)形式轉(zhuǎn)化為常規(guī)數(shù)列求通項(xiàng)問題才能迎刃而解.第二問屬于常規(guī)裂項(xiàng)相消問題，沒有難度，如果學(xué)生第一問求解時(shí)出現(xiàn)困難的話，可以用找規(guī)律的方法求出其通項(xiàng)，這樣可以拿到第二問的分?jǐn)?shù)，不失為一種靈活變通的處理方法.25.（20xx山東文19）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和，已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和.25.解析 （1）設(shè)數(shù)列的公比為，由題意知，.又，解得，所以.（2）由題意知，.又，所以.令，則，因此，又，兩式相減得，所以.題型75 數(shù)列的求和1.（20xx湖南文5）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入，則輸出的（ ）. A. B. C. D.1.解析 由題意，輸出的為數(shù)列的前項(xiàng)和，即.故選B.2.（20xx安徽理18）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2.解析 （1）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，且，所以.聯(lián)立，又為遞增的等比數(shù)列，即.解得或（舍），可得，得.所以.（2）由（1）可知，所以，所以.故.3. （20xx安徽文18）（本小題滿分12分）數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.3. 解析 （I）由已知可得，即.所以是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.（II）由（I）得，所以.從而.，.得.所以.評(píng)注 本題考查等差數(shù)列定義的應(yīng)用，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和，解題時(shí)利用題（I）提示對(duì)遞推關(guān)系進(jìn)行變形是關(guān)鍵.4.（20xx福建文17）在等差數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的值4.分析（1）利用基本量法可求得，進(jìn)而求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列前項(xiàng)和，首先考慮其通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式的不同特點(diǎn)，選擇相應(yīng)的求和方法，本題，故可采取分組求和法求其前項(xiàng)和解析 （1）設(shè)等差數(shù)列的公差為由已知得，解得所以（2）由（1）可得，所以.5.（20xx湖北文19）設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為，已知，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式(2)當(dāng)時(shí)，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.5.解析 (1)由題意有，即.解得，或.故或.(2)由，知，故，于是，. 式式可得.故. 6.（20xx湖南文19）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且.（1）證明：；（2）求.6.解析（1）由條件，對(duì)任意，有，因而對(duì)任意，有，兩式相減，得，即，又，所以，故對(duì)一切，.（2）由（1）知，所以，于是數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，（于是，從而，綜上所述，.7.（20xx山東文19）已知數(shù)列是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.7.解析（1）設(shè)數(shù)列的公差為，令，得，即 令，得，即 聯(lián)立，解得，.所以.（2）由（1）知，得到，從而，得，所以.8.（20xx四川文16）設(shè)數(shù)列（）的前項(xiàng)和滿足，且，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求. 8.解析（1）由已知，可得，即.則，.又因?yàn)椋傻炔顢?shù)列，即.所以，解得.所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.故.（2）由（1）可得，所以.9.（20xx天津文18）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.9.分析（1）列出關(guān)于與的方程組，通過解方程組求出，即可確定通項(xiàng)；（2）用錯(cuò)位相減法求和.解析（1）設(shè)的公比為，的公差為，由題意，由已知，有，消去得，解得，所以的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）有，設(shè)的前項(xiàng)和為，則，兩式相減得，所以.10.（20xx浙江文17）已知數(shù)列和滿足，.(1)求與;(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.10.解析 (1)由題意知是等比數(shù)列，所以.當(dāng)時(shí)，所以，所以，所以.又，所以（或采用累乘法）.(2)，所以，所以，所以.11.（20xx重慶文16）已知等差數(shù)列滿足，前3項(xiàng)和.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列滿足，求前項(xiàng)和. 11.解析 （1）設(shè)的公差為，則由已知條件得，化簡得，解得，故通項(xiàng)公式，（2）由（1）得，.設(shè)的公比為，則，從而，故的前項(xiàng)和.12.（20xx北京文15）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè) ，求數(shù)列的前項(xiàng)和.12.解析 （1）等比數(shù)列的公比，所以，.設(shè)等差數(shù)列的公差為.因?yàn)椋?，?所以.（2）由（1）知，.因此.從而數(shù)列的前項(xiàng)和.13.（20xx山東文19）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，是等差數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.13.解析 （1）由題意當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以.設(shè)數(shù)列的公差為，由，即，解得，所以.（2）由（1）知，又，即，所以，以上兩式兩邊相減得.所以.14.（20xx浙江文17）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知，.（1）求通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.14.解析 （1）由題意得：，則.因?yàn)椋?，?又知，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，.（2）對(duì)于，當(dāng)時(shí)，有.設(shè)，當(dāng)時(shí)，有.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，.當(dāng)時(shí)，時(shí)也滿足此式，所以.15.（20xx全國3文17）設(shè)數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.15.解析 （1）令 ，則有 ，即.當(dāng)時(shí)， 得，即，得.當(dāng)時(shí)，也符合，所以.（2）令， 所以.評(píng)注 本題具有一定的難度，第一問要求學(xué)生具備一定的轉(zhuǎn)化與化歸的思想，將不熟悉的表達(dá)形式轉(zhuǎn)化為常規(guī)數(shù)列求通項(xiàng)問題才能迎刃而解.第二問屬于常規(guī)裂項(xiàng)相消問題，沒有難度，如果學(xué)生第一問求解時(shí)出現(xiàn)困難的話，可以用找規(guī)律的方法求出其通項(xiàng)，這樣可以拿到第二問的分?jǐn)?shù)，不失為一種靈活變通的處理方法.16.（20xx山東文19）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和，已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16.解析 （1）設(shè)數(shù)列的公比為，由題意知，.又，解得，所以.（2）由題意知，.又，所以.令，則，因此，又，兩式相減得，所以.歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”http:/sj.fjjy.org