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2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué)選修1-1 3-4 生活中的優(yōu)化問題舉例 教案 一、教學(xué)目標(biāo) 1．知識和技能目標(biāo) （1）使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用； （2）提高將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力． 2．過程和方法目標(biāo) （1）培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力； 3．情感態(tài)度和價(jià)值觀目標(biāo) (1)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。 二、教學(xué)重點(diǎn).難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法.用導(dǎo)數(shù)方法求函數(shù)最值的方法步驟 教學(xué)難點(diǎn)：對最值的理解及與極值概念的區(qū)別與聯(lián)系.求一些實(shí)際問題的最大值與最小值 三、學(xué)情分析 生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ撸@一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題． 四、教學(xué)方法 師生互動(dòng)探究式教學(xué) 五、教學(xué)過程 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題，主要有以下幾個(gè)方面： 1、與幾何有關(guān)的最值問題； 2、與物理學(xué)有關(guān)的最值問題； 3、與利潤及其成本有關(guān)的最值問題； 4、效率最值問題。 解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要分析問題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個(gè)過程中，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具． 利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路： 建立數(shù)學(xué)模型 解決數(shù)學(xué)模型 作答 用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題 優(yōu)化問題 用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題 優(yōu)化問題的答案 知識應(yīng)用，深化理解 例1．海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì) 學(xué)校或班級舉行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖1.4-1所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm。如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空心面積最小？ 解：設(shè)版心的高為xdm，則版心的寬為dm,此時(shí)四周空白面積為 。 求導(dǎo)數(shù)，得。令，解得舍去）。 于是寬為。 當(dāng)時(shí)，<0；當(dāng)時(shí)，>0. 因此，是函數(shù)的極小值，也是最小值點(diǎn)。所以，當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時(shí)，能使四周空白面積最小。 答：當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時(shí)，海報(bào)四周空白面積最小。 例2．飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響 （1）你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？ （2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？ 【背景知識】：某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1 mL的飲料，制造商可獲利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為 6cm 問題：（1）瓶子的半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的利潤最大？ （2）瓶子的半徑多大時(shí)，每瓶的利潤最??？ 解：由于瓶子的半徑為，所以每瓶飲料的利潤是 令 解得 （舍去） 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)半徑時(shí)，它表示單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高； 當(dāng)半徑時(shí)， 它表示單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤越低． （1）半徑為cm 時(shí)，利潤最小，這時(shí)，表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時(shí)利潤是負(fù)值． （2）半徑為cm時(shí)，利潤最大． 換一個(gè)角度：如果我們不用導(dǎo)數(shù)工具，直接從函數(shù)的圖像上觀察，會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？ 有圖像知：當(dāng)時(shí)，，即瓶子的半徑為3cm時(shí)，飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等；當(dāng)時(shí)，利潤才為正值． 當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，其實(shí)際意義為：瓶子的半徑小于2cm時(shí)，瓶子的半徑越大，利潤越小，半徑為cm 時(shí)，利潤最?。? 例3．磁盤的最大存儲(chǔ)量問題 計(jì)算機(jī)把數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長弧段可作為基本存儲(chǔ)單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個(gè)基本單元通常被稱為比特（bit）。 為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必需大于，每比特所占用的磁道長度不得小于。為了數(shù)據(jù)檢索便利，磁盤格式化時(shí)要求所有磁道要具有相同的比特?cái)?shù)。 問題：現(xiàn)有一張半徑為的磁盤，它的存儲(chǔ)區(qū)是半徑介于與之間的環(huán)形區(qū)域． （1）是不是越小，磁盤的存儲(chǔ)量越大？ （2）為多少時(shí)，磁盤具有最大存儲(chǔ)量（最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息）？ 解：由題意知：存儲(chǔ)量=磁道數(shù)每磁道的比特?cái)?shù)。 設(shè)存儲(chǔ)區(qū)的半徑介于與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于，且最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息，故磁道數(shù)最多可達(dá)。由于每條磁道上的比特?cái)?shù)相同，為獲得最大存儲(chǔ)量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特?cái)?shù)可達(dá)。所以，磁盤總存儲(chǔ)量 （1）它是一個(gè)關(guān)于的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是越小，磁盤的存儲(chǔ)量越大． （2）為求的最大值，計(jì)算． 令，解得 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 因此時(shí)，磁盤具有最大存儲(chǔ)量。此時(shí)最大存儲(chǔ)量為 例4．圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最??？ 解：設(shè)圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積 S=2πRh+2πR2 由V=πR2h，得，則S(R)= 2πR+ 2πR2=+2πR2 令 +4πR=0 解得，R=，從而h====2 即h=2R 因?yàn)镾(R)只有一個(gè)極值，所以它是最小值 答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí)，所用材料最省 七、當(dāng)堂檢測 1.某出版社出版一讀物，一頁上所印文字占去150cm2，上、下要留1.5cm空白，左、右要留1cm空白，出版商為節(jié)約紙張，應(yīng)選用怎樣尺寸的頁面？ 分析：設(shè)所印文字區(qū)域的左右長為x cm，確定紙張的長與寬，表示出面積，利用導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)論． 設(shè)所印文字區(qū)域的左右長為x cm，則上下長為 cm， 所以紙張的左右長為(x+2)cm，上下長為()cm， 所以紙張的面積S=(x+2)()=3x+ +156． 所以S′=，令S′=0解得x=10． 當(dāng)x＞10時(shí)，S單調(diào)遞增；當(dāng)0＜x＜10時(shí)，S單調(diào)遞減． 所以當(dāng)x=10時(shí)，Smin=216(cm2)，此時(shí)紙張的左右長為12 cm，上下長為18 cm． 故當(dāng)紙張的邊長分別為12 cm，18 cm時(shí)最節(jié)約． 2.一書店預(yù)計(jì)一年內(nèi)要銷售某種書15萬冊，欲分幾次訂貨，如果每次訂貨要付手續(xù)費(fèi)30元，每千冊書存放一年要耗庫費(fèi)40元，并假設(shè)該書均勻投放市場，問此書店分幾次進(jìn)貨、每次進(jìn)多少冊，可使所付的手續(xù)費(fèi)與庫存費(fèi)之和最少？ 【解】假設(shè)每次進(jìn)書x千冊，手續(xù)費(fèi)與庫存費(fèi)之和為y元， 由于該書均勻投放市場，則平均庫存量為批量之半，即，故有 y ＝30＋40，y′＝－＋20， 令y′＝0，得x ＝15，且y″＝，f″(15)＞0， 所以當(dāng)x ＝15時(shí)，y取得極小值，且極小值唯一， 故 當(dāng)x ＝15時(shí)，y取得最小值，此時(shí)進(jìn)貨次數(shù)為＝10（次）． 即該書店分10次進(jìn)貨，每次進(jìn)15000冊書，所付手續(xù)費(fèi)與庫存費(fèi)之和最少． 設(shè)計(jì)意圖：目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去看待物理模型，建立各學(xué)科之間的聯(lián)系，更深刻地把握事物變化的規(guī)律。 六、課堂小結(jié) 1.知識建構(gòu) 2.能力提高 3.課堂體驗(yàn) 七、課時(shí)練與測 八、教學(xué)反思