2019-2020年人教版A版高中數(shù)學(xué)選修2-2第一章 1-4生活中的優(yōu)化問題舉例教案1.教學(xué)目標(biāo) 知識與技能1.體會導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的作用，能解決利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，2.形成求解優(yōu)化問題的思路和方法。過程與方法1.通過逐步形成用到導(dǎo)數(shù)知識分析問題和解決問題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力。2.提高將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力。 情感、態(tài)度、價值觀培養(yǎng)學(xué)生用運動變化的辯證唯物主義思想處理數(shù)學(xué)問題地積極態(tài)度2.教學(xué)重點、難點 教學(xué)重點利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題。教學(xué)難點理解導(dǎo)數(shù)在解決實際問題時的作用，并利用其解決生活中的一些優(yōu)化問題。3.教學(xué)用具 多媒體4.教學(xué)過程 教學(xué)過程設(shè)計1、復(fù)習(xí)導(dǎo)入【師】問題一：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中有哪些應(yīng)用？問題二：聯(lián)系函數(shù)在實際生活中的作用，你認(rèn)為導(dǎo)數(shù)對于解決生活中的什么問題有什么作用呢？問題三：通過預(yù)習(xí)，我們把導(dǎo)數(shù)能解決的這些問題通常稱為什么問題呢？【生】學(xué)生討論回答【師】生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ哌@一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題2、新知學(xué)習(xí)問題1：導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題，主要有幾個方面？（1）與幾何有關(guān)的最值問題；（2）與利潤及其成本有關(guān)的最值問題；（3）效率最值問題?！旧繉W(xué)生討論回答問題2：解決優(yōu)化問題的方法有哪些？首先是需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導(dǎo)數(shù)是一個有力的工具【生】學(xué)生討論回答問題3：解決優(yōu)化問題的的步驟是怎樣的？【生】學(xué)生討論回答典例探究1 海報版面尺寸的設(shè)計【例題1】學(xué)?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進(jìn)行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計一張如圖所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm。如何設(shè)計海報的尺寸，才能使四周空心面積最??？【分析】先建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值.【規(guī)范解答】設(shè)版心的高為xdm，則版心的寬為此時四周空白面積為因此，x=16是函數(shù)的極小值，也是最小值點。所以，當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時，能使四周空白面積最小。答：當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時，海報四周空白面積最小?！疽晁伎肌吭诒绢}解法中，“是函數(shù)的極小值點，也是最小值點?！睘槭裁矗俊旧繉W(xué)生討論回答【師】一個函數(shù)在某個區(qū)間上若只有一個極值，則該極值即為這個區(qū)間上的最值。在實際問題中，由于常常只有一個根，因此若能判斷該函數(shù)的最大（?。┲翟诘淖兓瘏^(qū)間內(nèi)部得到，則這個根處的極大（?。┲稻褪撬蠛瘮?shù)的最大（?。┲??！疽活}多解】對于本題的最值你是否還有別的解法？【探究解答】由解法一可得：【規(guī)范解答】解法一：設(shè)箱底邊長為xcm，則箱高得箱子容積由題意可知，當(dāng)x過?。ń咏?）或過大（接近60）時，箱子容積很小，因此，16 000是最大值答：當(dāng)x=1000px時，箱子容積最大，最大容積是16 000cm3解法二：設(shè)箱高為xcm，則箱底長為(60-2x)cm，則得箱子容積（后面同解法一，略）由題意可知，當(dāng)x過小或過大時箱子容積很小，所以最大值出現(xiàn)在極值點處【反思提高】事實上，可導(dǎo)函數(shù)在各自的定義域中都只有一個極值點，從圖象角度理解即只有一個波峰，是單峰的，因而這個極值點就是最值點，不必考慮端點的函數(shù)值飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響【問題引領(lǐng)】（1）你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？【例題2】【背景知識】某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料瓶子的制造成本是分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1 mL的飲料，制造商可獲利 0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm【問題】（）瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？（）瓶子的半徑多大時，每瓶的利潤最??？【分析】先建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值.【規(guī)范解答】由于瓶子的半徑為r，所以每瓶飲料的利潤是（1）半徑為2cm時，利潤最小，這時f(2)<0，表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負(fù)值（2）半徑為6cm時，利潤最大【新視角解答】我們已經(jīng)求出利潤和瓶子半徑之間的關(guān)系式：.圖象如圖，能否根據(jù)它的圖象說出其實際意義？【合作探究】當(dāng)時，為減函數(shù)，其實際意義為：瓶子的半徑小于2cm時，瓶子的半徑越大，利潤越小，半徑為2cm 時，利潤最??；當(dāng)時，為增函數(shù)，其實際意義為：瓶子的半徑大于2cm時，瓶子的半徑越大，利潤越大。特別的，當(dāng)r=3時，即瓶子的半徑為3cm時，飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等，r>3時，利潤才為正值當(dāng)r=2時，f(2)<0，即瓶子的半徑為2cm時，飲料的利潤最小，飲料利潤還不夠飲料瓶子的成本，此時利潤是負(fù)值。磁盤的最大存儲量問題【例題3】【背景知識】計算機把數(shù)據(jù)存儲在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長弧段可作為基本存儲單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個基本單元通常被稱為比特（bit）。為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必需大于m，每比特所占用的磁道長度不得小于n。為了數(shù)據(jù)檢索便利，磁盤格式化時要求所有磁道要具有相同的比特數(shù)?！締栴}】現(xiàn)有一張半徑為R的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于r與R之間的環(huán)形區(qū)域（1）是不是r越小，磁盤的存儲量越大？（2） r為多少時，磁盤具有最大存儲量（最外面的磁道不存儲任何信息）？【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】由題意知：存儲量=磁道數(shù)每磁道的比特數(shù)。設(shè)存儲區(qū)的半徑介于r與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于m，且最外面的磁道不存儲任何信息，故磁道數(shù)最多可達(dá)由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為獲得最大存儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數(shù)可達(dá)所以，磁盤總存儲量【思考】根據(jù)以上三個例題，總結(jié)用導(dǎo)數(shù)求解優(yōu)化問題的基本步驟.【例題總結(jié)】（1）認(rèn)真分析問題中各個變量之間的關(guān)系，正確設(shè)定最值變量y與自變量x，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，列出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式并確定函數(shù)的定義區(qū)間；（2）求得出所有實數(shù)根；（3）比較函數(shù)在各個根和端點處的函數(shù)值的大小，根據(jù)問題的實際意義確定函數(shù)的最大值或最小值?！咎釀e提醒】由問題的實際意義來判斷函數(shù)最值時，如果函數(shù)在此區(qū)間上只有一個極值點，那么這個極值就是所求最值，不必再與端點值比較課堂練習(xí)1 .某旅行社在暑假期間推出如下旅游團組團辦法：達(dá)到100人的團體，每人收費1000元。如果團體的人數(shù)超過100人，那么每超過1人，每人平均收費降低5元，但團體人數(shù)不能超過180人，如何組團可使旅行社的收費最多? (不到100人不組團)【分析】先列出問題的文字模型(標(biāo)準(zhǔn)收費數(shù)-降低的收費數(shù)),再轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型.【規(guī)范解答】設(shè)參加旅游的人數(shù)為x，旅游團收費為y則依題意有所以當(dāng)參加人數(shù)為150人時，旅游團的收費最高，可達(dá)112500元。2.圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最??？答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時，所用材料最省【變式練習(xí)】當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取才能使所用材料最??？5.課堂小結(jié) 6.課后習(xí)題 課本37頁A組1,2；B組第1題7.板書