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2019-2020年人教版A版高中數學選修2-2第一章 1-4《生活中的優(yōu)化問題舉例》《教案》 1.教學目標 知識與技能 1.體會導數在解決實際問題中的作用，能解決利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題， 2.形成求解優(yōu)化問題的思路和方法。 過程與方法 1.通過逐步形成用到導數知識分析問題和解決問題，進一步培養(yǎng)學生發(fā)散思維能力。 2.提高將實際問題轉化為數學問題的能力。 情感、態(tài)度、價值觀 培養(yǎng)學生用運動變化的辯證唯物主義思想處理數學問題地積極態(tài)度 2.教學重點、難點 教學重點 利用導數解決生活中的一些優(yōu)化問題。 教學難點 理解導數在解決實際問題時的作用，并利用其解決生活中的一些優(yōu)化問題。 3.教學用具 多媒體 4.教學過程 教學過程設計 1、復習導入 【師】 問題一：導數在研究函數中有哪些應用？ 問題二：聯系函數在實際生活中的作用，你認為導數對于解決生活中的什么問題有什么作用呢？ 問題三：通過預習，我們把導數能解決的這些問題通常稱為什么問題呢？ 【生】學生討論回答 【師】生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．通過前面的學習，我們知道，導數是求函數最大（?。┲档挠辛ぞ撸@一節(jié)，我們利用導數，解決一些生活中的優(yōu)化問題． 2、新知學習 問題1：導數在實際生活中的應用主要是解決有關函數最大值、最小值的實際問題，主要有幾個方面？ （1）與幾何有關的最值問題； （2）與利潤及其成本有關的最值問題； （3）效率最值問題。 【生】學生討論回答 問題2：解決優(yōu)化問題的方法有哪些？ 首先是需要分析問題中各個變量之間的關系，建立適當的函數關系，并確定函數的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內求函數取值的情境，即核心問題是建立適當的函數關系。再通過研究相應函數的性質，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導數是一個有力的工具． 【生】學生討論回答 問題3：解決優(yōu)化問題的的步驟是怎樣的？ 【生】學生討論回答 典例探究 1 海報版面尺寸的設計 【例題1】學?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進行宣傳?，F讓你設計一張如圖所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm。如何設計海報的尺寸，才能使四周空心面積最小？ 【分析】先建立目標函數，然后利用導數求最值. 【規(guī)范解答】設版心的高為xdm，則版心的寬為此時四周空白面積為 因此，x=16是函數的極小值，也是最小值點。所以，當版心高為16dm，寬為8dm時，能使四周空白面積最小。 答：當版心高為16dm，寬為8dm時，海報四周空白面積最小。 【引申思考】 在本題解法中，“是函數的極小值點，也是最小值點?！睘槭裁?？ 【生】學生討論回答 【師】一個函數在某個區(qū)間上若只有一個極值，則該極值即為這個區(qū)間上的最值。在實際問題中，由于常常只有一個根，因此若能判斷該函數的最大（小）值在的變化區(qū)間內部得到，則這個根處的極大（?。┲稻褪撬蠛瘮档淖畲螅ㄐ。┲?。 【一題多解】對于本題的最值你是否還有別的解法？ 【探究解答】 由解法一可得： 【規(guī)范解答】 解法一： 設箱底邊長為xcm，則箱高得箱子容積 由題意可知，當x過?。ń咏?）或過大（接近60）時，箱子容積很小，因此，16 000是最大值 答：當x=1000px時，箱子容積最大，最大容積是16 000cm3 解法二： 設箱高為xcm，則箱底長為(60-2x)cm，則得箱子容積 （后面同解法一，略） 由題意可知，當x過小或過大時箱子容積很小，所以最大值出現在極值點處． 【反思提高】 事實上，可導函數 在各自的定義域中都只有一個極值點，從圖象角度理解即只有一個波峰，是單峰的，因而這個極值點就是最值點，不必考慮端點的函數值 飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響 【問題引領】 （1）你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？ （2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？ 【例題2】 【背景知識】某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1 mL的飲料，制造商可獲利 0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm 【問題】 （１）瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？ （２）瓶子的半徑多大時，每瓶的利潤最??？ 【分析】先建立目標函數，轉化為函數的最值問題，然后利用導數求最值. 【規(guī)范解答】 由于瓶子的半徑為r，所以每瓶飲料的利潤是 （1）半徑為2cm時，利潤最小，這時f(2)<0，表示此種瓶內飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值． （2）半徑為6cm時，利潤最大 【新視角解答】 我們已經求出利潤和瓶子半徑之間的關系式：. 圖象如圖，能否根據它的圖象說出其實際意義？ 【合作探究】 當時，為減函數，其實際意義為：瓶子的半徑小于2cm時，瓶子的半徑越大，利潤越小，半徑為2cm 時，利潤最小； 當時，為增函數，其實際意義為：瓶子的半徑大于2cm時，瓶子的半徑越大，利潤越大。 特別的，當r=3時，?即瓶子的半徑為3cm時，飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等，r>3時，利潤才為正值． 當r=2時，f(2)<0，即瓶子的半徑為2cm時，飲料的利潤最小，飲料利潤還不夠飲料瓶子的成本，此時利潤是負值。 磁盤的最大存儲量問題 【例題3】 【背景知識】 計算機把數據存儲在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質的圓盤，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長弧段可作為基本存儲單元，根據其磁化與否可分別記錄數據0或1，這個基本單元通常被稱為比特（bit）。 為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必需大于m，每比特所占用的磁道長度不得小于n。為了數據檢索便利，磁盤格式化時要求所有磁道要具有相同的比特數。 【問題】 現有一張半徑為R的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于r與R之間的環(huán)形區(qū)域． （1）是不是r越小，磁盤的存儲量越大？ （2） r為多少時，磁盤具有最大存儲量（最外面的磁道不存儲任何信息）？ 【規(guī)范解答】 【規(guī)范解答】 由題意知：存儲量=磁道數每磁道的比特數。 設存儲區(qū)的半徑介于r與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于m，且最外面的磁道不存儲任何信息，故磁道數最多可達由于每條磁道上的比特數相同，為獲得最大存儲量，最內一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數可達 所以，磁盤總存儲量 【思考】根據以上三個例題，總結用導數求解優(yōu)化問題的基本步驟. 【例題總結】（1）認真分析問題中各個變量之間的關系，正確設定最值變量y與自變量x，把實際問題轉化為數學問題，列出適當的函數關系式并確定函數的定義區(qū)間； （2）求得出所有實數根； （3）比較函數在各個根和端點處的函數值的大小， 根據問題的實際意義確定函數的最大值或最小值。 【提別提醒】 由問題的實際意義來判斷函數最值時，如果函數在此區(qū)間上只有一個極值點，那么這個極值就是所求最值，不必再與端點值比較． 課堂練習 1 .某旅行社在暑假期間推出如下旅游團組團辦法：達到100人的團體，每人收費1000元。如果團體的人數超過100人，那么每超過1人，每人平均收費降低5元，但團體人數不能超過180人，如何組團可使旅行社的收費最多? (不到100人不組團) 【分析】先列出問題的文字模型(標準收費數-降低的收費數),再轉化為數學模型. 【規(guī)范解答】 設參加旅游的人數為x，旅游團收費為y 則依題意有 所以當參加人數為150人時，旅游團的收費最高，可達112500元。 2.圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應怎樣選取，才能使所用的材料最??？ 答：當罐的高與底直徑相等時，所用材料最省 【變式練習】 當圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時，它的高與底面半徑應怎樣選取才能使所用材料最?。? 5.課堂小結 6.課后習題 課本37頁A組1,2；B組第1題 7.板書