一、填空題1已知圓錐的母線長為2，高為，則該圓錐的側面積是_解析：由圓錐的性質知其底面圓的半徑為1，所以圓錐的側面積為S側rl×1×22.也可以將圓錐側面展開成扇形來處理答案：22將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截出一個棱錐，棱錐的體積與剩下的幾何體的體積之比為_解析：設長方體同一頂點引出的三條棱長分別是a，b，c，則棱錐的體積V1×abcabc.長方體的體積Vabc，剩下的幾何體的體積為V2abcabcabc.所以V1V215.答案：153如圖，已知一個多面體的平面展開圖由一個邊長為1的正方形和4個邊長為1的正三角形組成，則該多面體的體積是_解析：由題知該多面體為正四棱錐，底面邊長為1，側棱長為1，斜高為，連結頂點和底面中心即為高，可求高為，所以體積為V×1×1×.答案：4.如圖所示，扇形的圓心角為90°，其所在圓的半徑為R，弦AB將扇形分成兩個部分，這兩個部分各以AO為軸旋轉一周，所得旋轉體的體積V1和V2之比為_解析：RtAOB繞OA旋轉一周形成的幾何體為圓錐，其體積V1R3，扇形繞OA旋轉一周形成的幾何體為半球，其體積VR3，V2VV1R3R3R3.V1V211.答案：115.如圖，在長方體ABCD­A1B1C1D1中，AB10，AD5，AA14.分別過BC、A1D1的兩個平行截面將長方體分成三部分，其體積分別記為V1VAEA1­DFD1，V2VEBE1A1­FCF1D1，V3VB1E1B­C1F1C.若V1V2V3131，則截面A1EFD1的面積為_解析：V1V2V3(SA1AE·h)(S四邊形A1EBE1·h)(SE1B1B·h)(AE·AA1·h)(A1E1·AA1·h)(E1B1·AA1·h)AE2A1E1E1B1131.設AEx，則E1B1x,2A1E13x，A1E1x，xx10，x4.AE4.A1E4.又EFAD5，S截面A1EFD1A1E·EF20.答案：206四面體ABCD中，共頂點A的三條棱兩兩相互垂直，且其長分別為1，3，若四面體的四個頂點同在一個球面上，則這個球的表面積為_解析：(2R)216916，R2.S球4R216.答案：167如圖所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面為直角三角形，ACB90°，AC6，BCCC1.P是BC1上一動點，則CPPA1的最小值是_解析：將BCC1沿線BC1折到面A1C1B上，如圖所示連結A1C即為CPPA1的最小值，過點C作CDC1D于D，BCC1為等腰直角三角形，CD1，C1D1，A1DA1C1C1D7.A1C5.答案：58.如圖所示，在正三棱錐S­ABC中，M、N分別是SC、BC的中點，且MNAM，若側棱SA2，則正三棱錐S­ABC外接球的表面積是_解析：在正三棱錐S­ABC中，易證SBAC，又MN綊BS，MNAC，MNAM，MN平面ACM，MNSC，CSBCMN90°，即側面為直角三角形，底面邊長為2.此棱錐的高為2，設外接球半徑為R，則(2R)2(2××)2R2，R3，外接球的表面積是36.答案：369如圖，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D為棱AA1的中點，若截面BC1D是面積為6的直角三角形，則此三棱柱的體積為_解析：由題意，設ABa，AA1b，再由BD·DC16可得a212.又由BC2CCBC，得a2b224，可得a2，b4，V×(2)2×48.答案：8二、解答題10有兩個相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長分別為3a、4a、5a(a>0)用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情況中，全面積最小的是一個四棱柱，求a的取值范圍解析：通過補形，四棱柱的全面積最小為14a·24a224a228，補成三棱柱后全面積為12a248，則24a22812a248<0，所以<a<，又a>0，所以0<a<.11如圖所示，平行四邊形ABCD中，DAB60°，AB2，AD4.將CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.(1)求證：ABDE；(2)求三棱錐E­ABD的側面積解析：(1)證明：在ABD中，AB2，AD4，DAB60°，BD2.AB2BD2AD2，ABBD.又平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABDBD，AB平面ABD，AB平面EBD.DE平面EBD，ABDE.(2)由(1)知ABBD.CDAB，CDBD，從而DEBD.在RtDBE中，DB2，DEDCAB2，SDBEDB·DE2.又AB平面EBD，BE平面EBD，ABBE.BEBCAD4，SABEAB·BE4.DEBD，平面EBD平面ABD，ED平面ABD.而AD平面ABD，EDAD，SADEAD·DE4.綜上，三棱錐E­ABD的側面積S82.12已知正四面體ABCD(圖1)，沿AB、AC、AD剪開，展開的平面圖形正好是(圖2)所示的直角梯形A1A2A3D(梯形的頂點A1、A2、A3重合于四面體的頂點A)(1)證明：ABCD；(2)當A1D10，A1A28時，求四面體ABCD的體積圖1圖2解析：(1)證明：在四面體ABCD中，AB平面ACDABCD.(2)在圖2中作DEA2A3于E.A1A28，DE8.又A1DA3D10，EA36，A2A310616.又A2CA3C，A2C8.即圖1中AC8，AD10，由A1A28，A1BA2B得圖1中AB4.SACDSA3CDDE·A3C×8×832，又AB平面ACD，VB­ACD×32×4.