第一節(jié)數列的概念與簡單表示法 考綱傳真1.了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項公式).2.了解數列是自變量為正整數的一類特殊函數(對應學生用書第67頁) 基礎知識填充1數列的定義按照一定順序排列著的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項從函數觀點看，數列可以看成以正整數集N(或它的有限子集)為定義域的函數anf(n)，當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數值2數列的分類分類標準類型滿足條件項數有窮數列項數有限無窮數列項數無限單調性遞增數列an1>an其中nN*遞減數列an1<an常數列an1an擺動數列從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列3數列的表示法數列有三種表示法，它們分別是列表法、圖像法和通項公式法4數列的通項公式如果數列an的第n項an與n之間的函數關系可以用一個式子anf(n)來表示，那么這個式子叫做這個數列的通項公式5數列的遞推公式如果已知數列的第1項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an1(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式6an與Sn的關系若數列an的前n項和為Sn，通項公式為an，則an知識拓展1數列an是遞增數列an1an恒成立2數列an是遞減數列an1an恒成立基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)所有數列的第n項都能使用公式表達()(2)根據數列的前幾項歸納出數列的通項公式可能不止一個()(3)如果數列an的前n項和為Sn，則對任意nN*，都有an1Sn1Sn.()(4)若已知數列an的遞推公式為an1，且a21，則可以寫出數列an的任何一項()答案(1)×(2)(3)(4)2設數列an的前n項和Snn2，則a8的值為()A15B16C49D64A當n8時，a8S8S7827215.3把1,3,6,10,15,21，這些數叫做三角形數，這是因為以這些數目的點可以排成一個正三角形(如圖5­1­1)圖5­1­1則第7個三角形數是() 【導學號：00090153】A27B28 C29D30B由題圖可知，第7個三角形數是123456728.4(教材改編)數列1，的一個通項公式an是_由已知得，數列可寫成，故通項為.5(20xx·張掖模擬)數列an滿足an1，a82，則a1_.由an1，得an1，a82，a71，a611，a512，an是以3為周期的數列，a1a7.(對應學生用書第68頁)由數列的前幾項歸納數列的通項公式寫出下面各數列的一個通項公式：(1)3,5,7,9，；(2)，；(3)3,33,333,3 333，.(4)1,1，2,2，3,3解(1)各項減去1后為正偶數，所以an2n1.(2)數列中各項的符號可通過(1)n1表示每一項絕對值的分子比分母少1，而分母組成數列21,22,23,24，所以an.(3)將數列各項改寫為，分母都是3，而分子分別是101,1021,1031,1041，所以an(10n1)(4)數列的奇數項為1，2，3，可用表示數列的偶數項為1,2,3，可用表示因此an規(guī)律方法1.求數列通項時，要抓住以下幾個特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相鄰項的變化特征；(3)拆項后變化的部分和不變的部分的特征；(4)各項符號特征等，并對此進行歸納、化歸、聯(lián)想2若關系不明顯時，應將部分項作適當的變形，統(tǒng)一成相同的形式，讓規(guī)律凸現出來對于正負符號變化，可用(1)n或(1)n1來調整，可代入驗證歸納的正確性變式訓練1(1)數列0，的一個通項公式為() 【導學號：00090154】Aan(nN*)Ban(nN*)Can(nN*)Dan(nN*)(2)數列an的前4項是，1，則這個數列的一個通項公式是an_.(1)C(2)(1)注意到分子0,2,4,6都是偶數，對照選項排除即可(2)數列an的前4項可變形為，故an.由an與Sn的關系求通項an(1)若數列an的前n項和Sn3n22n1，則數列an的通項公式an_.(2)若數列an的前n項和Snan，則an的通項公式an_.(1)(2)(2)n1(1)當n1時，a1S13×122×112；當n2時，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，顯然當n1時，不滿足上式故數列的通項公式為an(2)由Snan，得當n2時，Sn1an1，兩式相減，得ananan1，當n2時，an2an1，即2.又n1時，S1a1a1，a11，an(2)n1.規(guī)律方法由Sn求an的步驟(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用anSnSn1(n2)便可求出當n2時an的表達式；(3)對n1時的結果進行檢驗，看是否符合n2時an的表達式，如果符合，則可以把數列的通項公式合寫；如果不符合，則應寫成分段函數的形式易錯警示：利用anSnSn1求通項時，應注意n2這一前提條件，易忽視驗證n1致誤變式訓練2(1)(20xx·河南八校聯(lián)考)在數列an中，Sn是其前n項和，且Sn2an1，則數列的通項公式an_.(2)已知數列an的前n項和Sn3n1，則數列的通項公式an_. 【導學號：00090156】(1)2n1(2)(1)依題意得Sn12an11，Sn2an1，兩式相減得Sn1Sn2an12an，即an12an，又S12a11a1，因此a11，所以數列an是以a11為首項、2為公比的等比數列，an2n1.(2)當n1時，a1S1314，當n2時，anSnSn13n13n112·3n1.顯然當n1時，不滿足上式an由遞推公式求數列的通項公式根據下列條件，確定數列an的通項公式：(1)a12，an1an3n2；(2)a11，an12nan；(3)a11，an13an2. 【導學號：00090157】解(1)an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)當n1時，a1×(3×11)2符合公式，ann2.(2)an12nan，2n1(n2)，an····a12n1·2n2··2·12123(n1)2.又a11適合上式，故an2.(3)an13an2，an113(an1)，又a11，a112，故數列an1是首項為2，公比為3的等比數列，an12·3n1，因此an2·3n11.規(guī)律方法1.已知a1，且anan1f(n)，可用“累加法”求an；已知a1(a10)，且f(n)，可用“累乘法”求an.2已知a1，且an1qanb，則an1kq(ank)(其中k可由待定系數法確定)，可轉化為ank為等比數列易錯警示：本題(1)，(2)中常見的錯誤是忽視驗證a1是否適合所求式，(3)中常見錯誤是忽視判定首項是否為零變式訓練3根據下列條件，求數列an的通項公式(1)a11，an1an2n；(2)a1，anan1(n2)(3)a11，an12an3.解(1)由題意知an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1.(2)因為anan1(n2)，所以當n2時，所以，以上n1個式子相乘得········，即××2×1，所以an.當n1時，a1，也與已知a1相符，所以數列an的通項公式為an.(3)由an12an3得an132(an3)又a11，a134.故數列an3是首項為4，公比為2的等比數列an34·2n12n1，an2n13.