第五節(jié)綜合法、分析法、反證法考綱傳真(教師用書獨具)1.了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點；2.了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程和特點(對應(yīng)學(xué)生用書第101頁)基礎(chǔ)知識填充1綜合法、分析法內(nèi)容綜合法分析法定義從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運算法則，通過演繹推理，一步一步地接近要證明的結(jié)論，直到完成命題的證明我們把這樣的思維方法稱為綜合法從求證的結(jié)論出發(fā)，一步一步地探索保證前一個結(jié)論成立的充分條件，直到歸結(jié)為這個命題的條件，或者歸結(jié)為定義、公理、定理等我們把這樣的思維方法稱為分析法實質(zhì)由因?qū)Ч麍?zhí)果索因框圖表示文字語言因為所以或由得要證只需證即證2.反證法(1)反證法的定義：在假定命題結(jié)論的反面成立的前提下，經(jīng)過推理，若推出的結(jié)果與定義、公理、定理矛盾，或與命題中的已知條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而說明命題結(jié)論的反面不可能成立，由此斷定命題結(jié)論成立的方法叫反證法(2)反證法的證題步驟：作出否定結(jié)論的假設(shè)；進(jìn)行推理，導(dǎo)出矛盾；否定假設(shè)，肯定結(jié)論基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件()(2)用反證法證明結(jié)論“ab”時，應(yīng)假設(shè)“ab”()(3)反證法是指將結(jié)論和條件同時否定，推出矛盾()(4)在解決問題時，常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程()答案(1)×(2)×(3)×(4)2用分析法證明時出現(xiàn)：欲使AB，只需CD，這里是的()A充分條件B必要條件C充要條件D既不充分也不必要條件B由題意可知，故是的必要條件3用反證法證明命題：“已知a，b為實數(shù)，則方程x2axb0至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是()A方程x2axb0沒有實根B方程x2axb0至多有一個實根C方程x2axb0至多有兩個實根D方程x2axb0恰好有兩個實根A“方程x2axb0至少有一個實根”的反面是“方程x2axb0沒有實根”，故選A.4設(shè)a，b，c都是正數(shù)，則a，b，c三個數(shù)()A都大于2B都小于2C至少有一個不大于2D至少有一個不小于2D6，當(dāng)且僅當(dāng)abc時取等號，三個數(shù)中至少有一個不小于2.5(教材改編)在ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，則ABC的形狀為_三角形等邊由題意2BAC，又ABC，B，又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC，ABC為等邊三角形(對應(yīng)學(xué)生用書第102頁)綜合法(20xx·江蘇高考)對于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列an滿足：ankank1an1an1ank1ank2kan，對任意正整數(shù)n(n>k)總成立，則稱數(shù)列an是“P(k)數(shù)列”(1)證明：等差數(shù)列an是“P(3)數(shù)列”；(2)若數(shù)列an既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：an是等差數(shù)列證明(1)因為an是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則ana1(n1)d，從而，當(dāng)n4時，ankanka1(nk1)da1(nk1)d2a12(n1)d2an，k1,2,3，所以an3an2an1an1an2an36an，因此等差數(shù)列an是“P(3)數(shù)列”(2)數(shù)列an既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，因此，當(dāng)n3時，an2an1an1an24an，當(dāng)n4時，an3an2an1an1an2an36an.由知，an3an24an1(anan1)，an2an34an1(an1an)將代入，得an1an12an，其中n4，所以a3，a4，a5，是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d.在中，取n4，則a2a3a5a64a4，所以a2a3d，在中，取n3，則a1a2a4a54a3，所以a1a32d，所以數(shù)列an是等差數(shù)列規(guī)律方法用綜合法證題是從已知條件出發(fā)，逐步推向結(jié)論，常與分析法結(jié)合使用，用分析法探路，綜合法書寫.綜合法的適用范圍：(1)定義明確的問題，如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、求證無條件的等式或不等式；(2)已知條件明確，并且容易通過分析和應(yīng)用條件逐步逼近結(jié)論的題型.跟蹤訓(xùn)練設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且abc1.證明：(1)abbcac；(2)1. 【導(dǎo)學(xué)號：79140209】證明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，得a2b2c2abbcca，由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因為b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.分析法已知函數(shù)f(x)3x2x，求證：對于任意的x1，x2R，均有f. 規(guī)律方法1.分析法的適用范圍當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過程中所需用的知識不太明確、具體時，往往采用分析法，特別是含有根號、絕對值的等式或不等式，?？紤]用分析法.2.利用分析法證明問題的思路與書寫格式分析法的特點和思路是“執(zhí)果索因”，逐步尋找結(jié)論成立的充分條件，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”或本身已經(jīng)成立的定理、性質(zhì)或已經(jīng)證明成立的結(jié)論等，通常采用“欲證只需證已知”的格式，在表達(dá)中要注意敘述形式的規(guī)范性.跟蹤訓(xùn)練已知ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對邊分別為a，b，c.求證：.證明要證，即證3，也就是1，只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需證c2a2acb2，又ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B60°，由余弦定理，得b2c2a22accos 60°，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立反證法設(shè)a>0，b>0，且ab.證明：(1)ab2；(2)a2a<2與b2b<2不可能同時成立證明由ab，a>0，b>0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.(2)假設(shè)a2a<2與b2b<2同時成立，則由a2a<2及a>0，得0<a<1；同理，0<b<1，從而ab<1，這與ab1矛盾故a2a<2與b2b<2不可能同時成立規(guī)律方法用反證法證明問題的步驟(1)反設(shè)：假定所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面成立(否定結(jié)論)(2)歸謬：將“反設(shè)”作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出矛盾，矛盾可以是與已知條件、定義、公理、定理及明顯的事實矛盾或自相矛盾.(推導(dǎo)矛盾)(3)立論：因為推理正確，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤.既然原命題結(jié)論的反面不成立，從而肯定了原命題成立.(命題成立)跟蹤訓(xùn)練等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，S393.(1)求數(shù)列an的通項公式an與前n項和Sn；(2)設(shè)bn(nN)，求證：數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列. 【導(dǎo)學(xué)號：79140210】解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.由已知得所以d2，故an2n1，Snn(n)(2)證明：由(1)得bnn，假設(shè)數(shù)列bn中存在三項bp，bq，br(p，q，rN，且互不相等)成等比數(shù)列，則bbpbr.即(q)2(p)(r)，所以(q2pr)(2qpr)0，因為p，q，rN，所以所以pr，(pr)20，所以pr，與pr矛盾，所以數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列