第八講立體幾何的綜合問題第八講立體幾何的綜合問題一、一、知識點知識點1.線與線、線與面、面與面間的平行、垂直關系.2.空間角與空間距離.3.柱、錐、球的面積與體積.4.平面圖形的翻折，空間向量的應用.二、典型例題二、典型例題例 1.若 RtABC 的斜邊 BC 在平面內(nèi)，頂點 A 在外，則ABC 在上的射影是A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.一條線段或一鈍角三角形例 2.長方體 AC1的長、寬、高分別為 3、2、1，從 A 到 C1沿長方體的表面的最短距離為AACCDDBB11111 2 3A.1+3B.2+10C.32D.23例 3.設長方體的對角線長為 4，過每個頂點的三條棱中總有兩條棱與對角線的夾角為 60，則長方體的體積是A.272B.82C.83D.16例 4.棱長為 a 的正方體的各個頂點都在一個球面上，則這個球的體積是_.例 5.已知ABC 的頂點坐標為 A （1， 1， 1） 、 B （2， 2， 2） 、 C （3， 2， 4） ， 則ABC 的面積是_.例 6 在直角坐標系 Oxyz 中，OA=（0，1，0） ，AB=（1，0，0） ，OC=（2，0，0） ，OS=（0，0，1）.（1）求SC與OB的夾角的大??；（2）設 n=（1，p，q） ，且 n平面 SBC，求 n；（3）求 OA 與平面 SBC 的夾角；（4）求點 O 到平面 SBC 的距離；（5）求異面直線 SC 與 OB 間的距離.例 7 如圖，已知一個等腰三角形 ABC 的頂角 B=120，過 AC 的一個平面與頂點 B 的距離為 1，根據(jù)已知條件， 你能求出 AB 在平面上的射影 AB1的長嗎?如果不能， 那么需要增加什么條件， 可以使 AB1=2?ABBC1例 8 如圖，四棱錐 SABCD 的底面是邊長為 1 的正方形，SD 垂直于底面 ABCD，SB=3，ABCDSM（1）求證：BCSC；（2）求面 ASD 與面 BSC 所成二面角的大小；（3）設棱 SA 的中點為 M，求異面直線 DM 與 SB 所成角的大小.例 9 已知直線 a，且 a 與間的距離為 d，a 在內(nèi)的射影為 a，l 為平面內(nèi)與 a平行的任一直線，則 a 與 l 之間的距離的取值范圍是A.d，+）B.（d，+）C.（0，dD.d例 10 如圖，已知底面半徑為 r 的圓柱被一個平面所截，剩下部分母線長的最大值為 a，最小值為 b，那么圓柱被截后剩下部分的體積是_.a b 2r例 11 如圖，正三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱長均為 2，P 是側棱 AA1上任意一點.AABBCC111（1）求證：B1P 不可能與平面 ACC1A1垂直；（2）當 BC1B1P 時，求線段 AP 的長； （3）在（2）的條件下，求二面角 CB1PC1的大小.例 12 已知正方形 ABCD 的邊長為 1，分別取邊 BC、CD 的中點 E、F，連結 AE、EF、AF，以 AE、EF、FA 為折痕，折疊使點 B、C、D 重合于一點 P.（1）求證：APEF；（2）求證：平面 APE平面 APF；（3）求異面直線 PA 和 EF 的距離.三、練習題三、練習題1.下圖是一個無蓋的正方體盒子展開后的平面圖，A、B、C 是展開圖上的三點，則在正方體盒子中，ABC 的值為ABCA.180B.120C.60D.452.在棱長為 1 的正方體 ABCDA1B1C1D1中，M、N 分別為 A1B1和 BB1的中點，那么直線 AM 與 CN所成的角為1111AABBCCDDMNA.arccos23B.arccos1010C.arccos53D.arccos523.圖甲是一個正三棱柱形的容器，高為 2a，內(nèi)裝水若干.現(xiàn)將容器放倒，把一個側面作為底面，如圖乙所示，這時水面恰好為中截面，則圖甲中水面的高度為_.AABBCC111AABBCC11111EEFFAABBCC11111EEFF甲乙丙4.在三棱錐 PABC 中，底面是邊長為 2 cm 的正三角形，PA=PB=3 cm，轉動點 P 時，三棱錐的最大體積為.5.把長、寬各為 4、3 的長方形 ABCD，沿對角線 AC 折成直二面角，求頂點 B 和頂點 D 的距離.