課時提升作業(yè)(十四)一、選擇題1.設aR,若函數(shù)y=ex+ax,xR有大于零的極值點,則()(A)a<-1 (B)a>-1(C)a>-1e (D)a<-1e2.(20xx·榆林模擬)函數(shù)y=(3-x2)ex的遞增區(qū)間是()(A)(-,0)(B)(0,+)(C)(-,-3)和(1,+)(D)(-3,1)3.(20xx·銅川模擬)對任意的xR,函數(shù)f(x)=x3+ax2+7ax不存在極值點的充要條件是()(A)0a21 (B)a=0或a=7(C)a<0或a>21 (D)a=0或a=214.(20xx·九江模擬)已知f(x),g(x)都是定義在R上的函數(shù),且滿足以下條件:f(x)=ax·g(x)(a>0,a1);g(x)0;f(x)·g(x)>f(x)·g(x).若f(1)g(1)+f(-1)g(-1)=52,則a等于()(A)12 (B)2 (C)54 (D)2或125.設f(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù),將y=f(x)和y=f(x)的圖像畫在同一個直角坐標系中,不可能正確的是()6.(20xx·撫州模擬)函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=f(x)的導函數(shù),且函數(shù)y=f(x)在點P(x0,f(x0)處的切線為l:y=g(x)=f(x0)·(x-x0)+f(x0),F(x)=f(x)-g(x),如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖像如圖所示,且a<x0<b,那么()(A)F(x0)=0,x=x0是F(x)的極大值點(B)F(x0)=0,x=x0是F(x)的極小值點(C)F(x0)0,x=x0不是F(x)的極值點(D)F(x0)0,x=x0是F(x)的極值點二、填空題7.函數(shù)f(x)=sinx2+cosx的遞增區(qū)間是.8.若函數(shù)f(x)=x(x-c)2在x=2處有極大值,則常數(shù)c的值為.9.對于函數(shù)f(x)=-2cosx(x0,)與函數(shù)g(x)=12x2+lnx有下列命題:函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于x=2對稱;函數(shù)g(x)有且只有一個零點;函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)圖像上存在平行的切線;若函數(shù)f(x)在點P處的切線平行于函數(shù)g(x)在點Q處的切線,則直線PQ的斜率為12-.其中正確的命題是.(將所有正確命題的序號都填上)三、解答題10.(20xx·合肥模擬)已知函數(shù)f(x)=a3x3-a+12x2+x+b,其中a,bR.(1)若曲線y=f(x)在點P(2,f(2)處的切線方程為y=5x-4,求函數(shù)f(x)的解析式.(2)當a>0時,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.11.(20xx·南昌模擬)已知函數(shù)f(x)=ax2-3x+lnx(a>0).(1)若曲線y=f(x)在點P(1,f(1)處的切線平行于x軸,求函數(shù)f(x)在區(qū)間12,2上的最值.(2)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.12.(能力挑戰(zhàn)題)已知函數(shù)f(x)=xlnx.(1)求函數(shù)f(x)的極值點.(2)若直線l過點(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.(3)設函數(shù)g(x)=f(x)-a(x-1),其中aR,求函數(shù)g(x)在1,e上的最小值(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).答案解析1.【解析】選A.由y=(ex+ax)=ex+a=0,得ex=-a,即x=ln(-a)>0-a>1a<-1.2.【解析】選D.y=-2xex+(3-x2)ex=ex(-x2-2x+3)>0x2+2x-3<0-3<x<1,函數(shù)y=(3-x2)ex的遞增區(qū)間是(-3,1).3.【解析】選A.f(x)=3x2+2ax+7a,令f(x)=0,當=4a2-84a0,即0a21時,f(x)0恒成立,函數(shù)不存在極值點.4.【解析】選A.由得f(x)g(x)=ax,又f(x)g(x)=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)g(x)2,由知f(x)g(x)<0,故y=ax是減函數(shù),因此0<a<1.由f(1)g(1)+f(-1)g(-1)=52,得a+1a=52,解得a=12或a=2(舍).5.【解析】選D.對于A來說,拋物線為函數(shù)f(x),直線為f(x);對于B來說,從左到右上升的曲線為函數(shù)f(x),從左到右下降的曲線為f(x);對于C來說,下面的曲線為函數(shù)f(x),上面的曲線為f(x).只有D不符合題設條件.【方法技巧】函數(shù)的導數(shù)與增減速度及圖像的關(guān)系(1)導數(shù)與增長速度一個函數(shù)的增長速度快,就是說,在自變量的變化相同時,函數(shù)值的增長大,即平均變化率大,導數(shù)也就大;一個函數(shù)減小的速度快,那么在自變量的變化相同時,函數(shù)值的減小大,即平均變化率大,導數(shù)的絕對值也就大.(2)導數(shù)與圖像一般地,如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)的導數(shù)的絕對值較大,說明函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得快,這時,函數(shù)的圖像就比較“陡峭”(向上或向下);反之,函數(shù)的圖像就較“平緩”.6.【思路點撥】y=g(x)是函數(shù)y=f(x)在點P(x0,f(x0)處的切線,故g(x)= f(x0),據(jù)此判斷F(x0)是否為0,再進一步判斷在x=x0兩側(cè)F(x)的符號.【解析】選B.F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(x0),F(x0)=f(x0)-f(x0)=0,又當x<x0時,從圖像上看,f(x)<f(x0),即F(x)<0,此時函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)是減少的,同理,當x>x0時,函數(shù)F(x)是增加的.7.【解析】f(x)=(2+cosx)cosx-sinx (-sinx)(2+cosx)2=2cosx+1(2+cosx)2>0,即cosx>-12,結(jié)合三角函數(shù)圖像知,2k-23<x<2k+23(kZ),即函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(2k-23,2k+23)(kZ).答案:(2k-23,2k+23)(kZ)8.【解析】x=2是f(x)的極大值點,f(x)=x(x2-2cx+c2)=x3-2cx2+c2x,f(x)=3x2-4cx+c2,f(2)=3×4-8c+c2=0,解得c=2或c=6,當c=2時,在x=2處不能取極大值,c=6.答案:6【誤區(qū)警示】本題易出現(xiàn)由f(2)=0求出c后,不驗證是否能夠取到極大值這一條件,導致產(chǎn)生增根.9.【解析】畫出函數(shù)f(x)=-2cosx,x0,的圖像可知錯;函數(shù)g(x)=12x2+lnx的導函數(shù)g(x)=x+1x2,所以函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)為增函數(shù),畫圖知正確;因為f(x)=2sinx2,又因為g(x)=x+1x2,所以函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)圖像上存在平行的切線,正確;同時要使函數(shù)f(x)在點P處的切線平行于函數(shù)g(x)在點Q處的切線只有f(x)=g(x)=2,這時P(2,0),Q(1,12),所以kPQ=12-,也正確.答案:10.【解析】(1)f(x)=ax2-(a+1)x+1.由導數(shù)的幾何意義得f(2)=5,于是a=3.由切點P(2,f(2)在直線y=5x-4上可知2+b=6,解得b=4.所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=x3-2x2+x+4.(2)f(x)=ax2-(a+1)x+1=a(x-1a)(x-1).當0<a<1時,1a>1,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,1)及(1a,+)上是增加的,在區(qū)間(1,1a)上是減少的;當a=1時,1a=1,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,+)上是增加的;當a>1時,1a<1,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,1a)及(1,+)上是增加的,在區(qū)間(1a,1)上是減少的.11.【解析】(1)f(x)=ax2-3x+lnx,f(x)=2ax-3+1x,又f(1)=0,2a-2=0,a=1,f(x)=x2-3x+lnx,f(x)=2x-3+1x.令f(x)=0,即2x-3+1x=0,解得x=12或x=1.列表如下:x12(12,1)1(1,2)2f(x)-0+f(x)-54-ln2減-2增-2+ln2當x=1時,f(x)min=-2;f(2)-f(12)=-2+ln2+54+ln2=ln4-34>1-34>0,當x=2時,f(x)max=-2+ln2.(2)f(x)的定義域為(0,+),f(x)=2ax-3+1x=2ax2-3x+1x,令=9-8a.當a98時,0,f(x)0,函數(shù)f(x)在(0,+)上是增加的,當0<a<98時,>0,方程2ax2-3x+1=0有兩個不相等的正根x1,x2,不妨設x1<x2,則當x(0,x1)(x2,+)時,f(x)>0,當x(x1,x2)時,f(x)<0,這時,函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù).綜上,a的取值范圍是98,+).12.【思路點撥】(1)先判斷f(x)的增減性,再求極值點.(2)設出切點,表示出切線方程,利用直線過點(0,-1),求出切點即可得出切線方程.(3)先求出極值點,再根據(jù)該點是否在1,e上分類討論.【解析】(1)f(x)=lnx+1,x>0.而f(x)>0,即lnx+1>0,得x>1e.f(x)<0,即lnx+1<0,得0<x<1e,所以f(x)在(0,1e)上是減少的,在(1e,+)上是增加的.所以x=1e是函數(shù)f(x)的極小值點,極大值點不存在.(2)設切點坐標為(x0,y0),則y0=x0lnx0,切線的斜率為lnx0+1,所以切線l的方程為y-x0lnx0=(lnx0+1)(x-x0).又切線l過點(0,-1),所以有-1-x0lnx0=(lnx0+1)(0-x0).解得x0=1,y0=0.所以直線l的方程為y=x-1.(3)g(x)=xlnx-a(x-1),則g(x)=lnx+1-a.g(x)<0,即lnx+1-a<0,得0<x<ea-1,g(x)>0,得x>ea-1,所以g(x)在(0,ea-1)上是減少的,在(ea-1,+)上是增加的.當ea-11即a1時,g(x)在1,e上是增加的,所以g(x)在1,e上的最小值為g(1)=0.當1<ea-1<e,即1<a<2時,g(x)在1,ea-1)上是減少的,在(ea-1,e上是增加的.g(x)在1,e上的最小值為g(ea-1)=a-ea-1.當eea-1,即a2時,g(x)在1,e上是減少的,所以g(x)在1,e上的最小值為g(e)=e+a-ae.綜上,x1,e時,當a1時,g(x)的最小值為0;當1<a<2時,g(x)的最小值為a-ea-1;當a2時,g(x)的最小值為a+e-ae.【變式備選】設f(x)=-13x3+12x2+2ax.(1)若f(x)在(23,+)上存在遞增區(qū)間,求a的取值范圍.(2)當0<a<2時,f(x)在1,4上的最小值為-163,求f(x)在該區(qū)間上的最大值.【解析】(1)f(x)=-13x3+12x2+2ax,f(x)=-x2+x+2a,當x23,+)時,f(x)的最大值為f(23)=29+2a.函數(shù)f(x)在(23,+)上存在遞增區(qū)間,即導函數(shù)在(23,+)上存在函數(shù)值大于零成立,29+2a>0a>-19.(2)已知0<a<2,f(x)在1,4上取到最小值-163,而f(x)=-x2+x+2a的圖像開口向下,且對稱軸為x=12,f(1)=-1+1+2a=2a>0,f(4)=-16+4+2a=2a-12<0,則必有一點x01,4使得f(x0)=0,此時函數(shù)f(x)在1,x0上是增加的,在x0,4上是減少的,f(1)=-13+12+2a=16+2a>0,f(4)=-13×64+12×16+8a=-403+8a,-403+8a=-163,得a=1,此時,由f(x0)=-x02+x0+2=0得x0=2或-1(舍去),所以函數(shù)f(x)max=f(2)=103.