第一節(jié)第一節(jié)函數(shù)及其表示函數(shù)及其表示考綱傳真(教師用書獨(dú)具)1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念.2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖像法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用(函數(shù)分段不超過三段)(對應(yīng)學(xué)生用書第 8 頁)基礎(chǔ)知識填充1函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩集合A，B設(shè)A，B是兩個非空的數(shù)集設(shè)A，B是兩個非空的集合對應(yīng)關(guān)系f：AB如果按照某個對應(yīng)關(guān)系f，對于集合A中的任何一個數(shù)x，在集合B中都存在唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)集合A與B存在著對應(yīng)關(guān)系f，對于集合A中的每一個元素x，集合B中總有唯一的元素y與之對應(yīng)名稱把對應(yīng)關(guān)系f叫作定義在集合A上的函數(shù)稱這種對應(yīng)為從集合A到集合B的映射記法函數(shù)yf(x)，xA映射：f：AB2.函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域：數(shù)集A叫作函數(shù)的定義域；函數(shù)值的集合f(x)|xA叫作函數(shù)的值域(2)函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)為相等函數(shù)(4)函數(shù)的表示法：表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖像法和列表法3分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫作分段函數(shù)分段函數(shù)是一個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集知識拓展1函數(shù)與映射的本質(zhì)是兩個集合間的“多對一”和“一對一”關(guān)系2分段函數(shù)是高考必考內(nèi)容，?？疾?1)求最值；(2)求分段函數(shù)單調(diào)性；(3)分段函數(shù)解析式；(4)利用分段函數(shù)求值，解題的關(guān)鍵是分析用哪一段函數(shù)，一般需要討論基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)函數(shù)是特殊的映射()(2)函數(shù)y1 與yx0是同一個函數(shù)()(3)與x軸垂直的直線和一個函數(shù)的圖像至多有一個交點(diǎn)()(4)分段函數(shù)是兩個或多個函數(shù)()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)函數(shù)y 2x31x3的定義域為()A.32，B(，3)(3，)C.32，3(3，)D(3，)C C由題意知2x30，x30，解得x32且x3.3如圖 211 所示，所給圖像是函數(shù)圖像的有()圖 211A1 個B2 個C3 個D4 個B B(1)中，當(dāng)x0 時，每一個x的值對應(yīng)兩個不同的y值，因此(1)不是函數(shù)圖像；(2)中，當(dāng)xx0時，y的值有兩個，因此(2)不是函數(shù)圖像；(3)(4)中，每一個x的值對應(yīng)唯一的y值，因此(3)(4)是函數(shù)圖像，故選 B.4設(shè)函數(shù)f(x)x21，x1，2x，x1，則f(f(3)_.139f(3)23，f(f(3)2321139.5(20 xx全國卷)已知函數(shù)f(x)ax32x的圖像過點(diǎn)(1,4)，則a_.2f(x)ax32x的圖像過點(diǎn)(1,4)，4a(1)32(1)，解得a2.(對應(yīng)學(xué)生用書第 9 頁)求函數(shù)的定義域(1)(20 xx濟(jì)南一模)函數(shù)f(x)2x123x1的定義域為_(2)若函數(shù)yf(x)的定義域為0,2，則函數(shù)g(x)f2xx1的定義域是_(1)(1，)(2)0,1)(1)由題意得2x120，x10，解得x1，所以函數(shù)f(x)的定義域為(1，)(2)由 02x2，得 0 x1，又x10，即x1，所以 0 x1，即g(x)的定義域為0,1)規(guī)律方法函數(shù)定義域問題的類型及求解策略1已知函數(shù)解析式，構(gòu)造使解析式有意義的不等式組求解.2實際問題：由實際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式組求解.3抽象函數(shù)：若已知函數(shù)fx的定義域為a，b，其復(fù)合函數(shù)fgx的定義域由不等式agxb求出；若已知函數(shù)fgx的定義域為a，b，則fx的定義域為gx在xa，b時的值域.已知fx定義域為m，n，求fhx定義域，先求x值域a，b，令ahxb，解出x即可.跟蹤訓(xùn)練(1)函數(shù)f(x)3x21xlg(3x1)的定義域是()A.13，1B.13，C.13，13D.，13(2)已知函數(shù)f(2x)的定義域為1,1，則f(x)的定義域為_.【導(dǎo)學(xué)號：79140019】(1 1)A A(2 2)1 12 2，2 2(1)由題意可知1x0，3x10，解得x1，x13，13x1，故選 A.(2)f(2x)的定義域為1,1，122x2，即f(x)的定義域為12，2.求函數(shù)的解析式(1)已知fx1xx21x2，求f(x)的解析式；(2)已知f2x1lgx，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函數(shù)且f(0)2，f(x1)f(x)x1，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)2f1xx(x0)，求f(x)的解析式解(1)由于fx1xx21x2x1x22， 令tx1x， 當(dāng)x0 時，t2x1x2，當(dāng)且僅當(dāng)x1 時取等號；當(dāng)x0 時，tx1x2，當(dāng)且僅當(dāng)x1 時取等號，f(t)t22t(，22，)綜上所述f(x)的解析式是f(x)x22，x(，22，)(2)令2x1t，由于x0，t1 且x2t1，f(t)lg2t1，即f(x)lg2x1(x1)(3)設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)2，得c2，f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即 2axabx1，2a1，ab1，即a12，b32，f(x)12x232x2.(4)f(x)2f1xx，f1x2f(x)1x.聯(lián)立方程組fx2f1xx，f1x2fx1x，解得f(x)23xx3(x0)規(guī)律方法求函數(shù)解析式的常用方法1待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法.2換元法：已知復(fù)合函數(shù)fgx的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.3構(gòu)造法：已知關(guān)于fx與f1x或fx的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式，通過解方程組求出fx.跟蹤訓(xùn)練(1)已知f(x1)x2x，求f(x)的解析式；(2)設(shè)yf(x)是二次函數(shù)，方程f(x)0 有兩個相等實根，且f(x)2x2，求f(x)的解析式解(1)法一：(換元法)設(shè)x1t(t1)，則xt1，所以f(t)(t1)22(t1)t21(t1)，所以f(x)x21(x1)法二：(配湊法)f(x1)x2x(x1)21，又x11，所以f(x)x21(x1)(2)設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，則f(x)2axb2x2，所以a1，b2，f(x)x22xc.又因為方程f(x)0 有兩個相等的實根，所以44c0，c1，故f(x)x22x1.分段函數(shù)及其應(yīng)用角度 1求分段函數(shù)的函數(shù)值(20 xx全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)1log22x，x1，2x1，x1，則f(2)f(log212)()A3B6C9D12C C21，f(log212)2log21211226.f(2)f(log212)369.故選 C.角度 2已知分段函數(shù)的函數(shù)值求參數(shù)(20 xx成都二診)已知函數(shù)f(x)log2x，x1，x2m2，x1，若f(f(1)2，則實數(shù)m的值為()A1B1 或1C. 3D. 3或 3D Df(f(1)f(1m2)log2(1m2)2，m23，解得m 3，故選 D.角度 3解與分段函數(shù)有關(guān)的方程或不等式(20 xx全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)x1，x0，2x，x0，則滿足f(x)fx12 1 的x的取值范圍是_14，當(dāng)x0 時，原不等式為x1x121，解得x14，14x0.當(dāng) 01，顯然成立當(dāng)x12時，原不等式為 2x2x121，顯然成立綜上可知，x的取值范圍是14，.規(guī)律方法1.求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于定義域的哪一個子集，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)ffa的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.2.已知函數(shù)值或函數(shù)值范圍求自變量的值或范圍時， 應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解， 但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.易錯警示：當(dāng)分段函數(shù)自變量的范圍不確定時，應(yīng)分類討論.跟蹤訓(xùn)練(1)(20 xx山東高考)設(shè)f(x)x，0 x1，2x1，x1.若f(a)f(a1)，則f1a()A2B4C6D8(2)(20 xx北京西城區(qū)二模)函數(shù)f(x)2x，x0，log2x，x0，則f14 _；方程f(x)12的解是_(3)已知函數(shù)f(x)x22ax，x2，2x1，x2，若f(f(1)3a2，則a的取值范圍是_.【導(dǎo)學(xué)號：79140020】(1)C C(2)2 2或 1(3)(1,3)(1)若 0a1，由f(a)f(a1)得a2(a11)，a14，f1af(4)2(41)6.若a1，由f(a)f(a1)得 2(a1)2(a11)，無解綜上，f1a6.(2)f14 log2142；當(dāng)x0 時，由f(x)log2(x)12，解得x 2，當(dāng)x0 時，由f(x)2x12，解得x1.(3)由題知，f(1)213，f(f(1)f(3)326a.由f(f(1)3a2，得 96a3a2，即a22a30，解得1a3.