第六節(jié)雙 曲 線全盤鞏固1已知雙曲線C：1的焦距為10，點P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：選A因為雙曲線的焦距為10，所以c5.又因為P(2,1)在漸近線上，且漸近線方程為yx，所以1，即a2b.又因為c2a2b25b225，所以b25，a220.即雙曲線方程為1.2(20xx·福建高考)雙曲線x2y21的頂點到其漸近線的距離等于()A. B. C1 D.解析：選B雙曲線x2y21的頂點為(1,0)，(1,0)，漸近線方程為xy0和xy0，由對稱性不妨求點(1,0)到直線xy0的距離，其距離為.3已知雙曲線1的右焦點為(3,0)，則該雙曲線的離心率等于()A. B. C. D.解析：選C因為雙曲線1的右焦點為(3,0)，所以c3，又b25，所以a2c2b2954.即a2.所以雙曲線的離心率e.4(20xx·惠州模擬)已知雙曲線1與直線y2x有交點，則雙曲線離心率的取值范圍為()A(1，) B(1，C(，) D，)解析：選C雙曲線的一條漸近線方程為yx，則由題意得>2.e >.5已知雙曲線1(b>0)的左，右焦點分別是F1，F(xiàn)2，其一條漸近線方程為yx，點P(，y0)在雙曲線上則·()A12 B2 C0 D4解析：選C由漸近線方程為yx知雙曲線是等軸雙曲線，不妨設雙曲線方程是x2y22，于是F1，F(xiàn)2坐標分別是(2,0)和(2,0)，且P(，1)或P(，1)由雙曲線的對稱性，不妨取P(，1)，則(2，1)，(2，1)所以·(2，1)·(2，1)(2)·(2)10.6(20xx·杭州模擬)設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點，以F1F2為直徑的圓與雙曲線C在第二象限的交點為P，若雙曲線C的離心率為5，則cosPF2F1()A.B.C.D.解析：選C據(jù)題意可知PF1PF2，設|PF1|n，|PF2|m，又由雙曲線定義知mn2a；由勾股定理得m2n24c2；又由離心率e5，三式聯(lián)立解得m8a，故cosPF2F1.7(20xx·江蘇高考)雙曲線1的兩條漸近線的方程為_解析：因為雙曲線1的兩條漸近線方程為0，化簡得y±x.答案：y±x8(20xx·陜西高考)雙曲線1的離心率為，則m等于_解析：依題意知m>0，則e211，解得m9.答案：99(20xx·麗水模擬)已知雙曲線x2y21，點F1，F(xiàn)2為其兩個焦點，點P為雙曲線上一點，若PF1PF2，則|PF1|PF2|的值為_解析：不妨設點P在雙曲線的右支上且F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，因為PF1PF2，所以(2)2|PF1|2|PF2|2，又因為|PF1|PF2|2，所以(|PF1|PF2|)24，可得2|PF1|·|PF2|4，則(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|12，所以|PF1|PF2|2.答案：210已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，離心率為，且過點(4，)(1)求雙曲線的方程；(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：·0；(3)求F1MF2的面積解：(1)e，可設雙曲線方程為x2y2(0)過點P(4，)，1610，即6.雙曲線方程為x2y26.(2)證明：由(1)可知，雙曲線中ab，c2，F(xiàn)1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1·kMF2.點M(3，m)在雙曲線上，9m26，m23.故kMF1·kMF21，MF1MF2.·0.(3)F1MF2的底|F1F2|4，F(xiàn)1MF2的邊F1F2上的高h|m|，SF1MF2·|F1F2|·|m|6.11(20xx·湛江模擬)已知雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點為F(c,0)(1)若雙曲線的一條漸近線方程為yx且c2，求雙曲線的方程；(2)以原點O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為A，過A作圓的切線，斜率為，求雙曲線的離心率解：(1)雙曲線的漸近線為y±x，ab，c2a2b22a24，a2b22，雙曲線方程為1.(2)設點A的坐標為(x0，y0)，直線AO的斜率滿足·()1，x0y0，依題意，圓的方程為x2y2c2，將代入圓的方程得3yyc2，即y0c，x0c，點A的坐標為，代入雙曲線方程得1，即b2c2a2c2a2b2，又a2b2c2，將b2c2a2代入式，整理得c42a2c2a40，348240，(3e22)(e22)0，e>1，e，雙曲線的離心率為.12設雙曲線1的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為2.(1)求此雙曲線的漸近線l1，l2的方程；(2)若A，B分別為l1，l2上的點，且2|AB|5|F1F2|，求線段AB的中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線解：(1)e2，c24a2.c2a23，a1，c2.雙曲線方程為y21，漸近線方程為y±x.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點M(x，y)2|AB|5|F1F2|，|AB|F1F2|×2c10.10.又y1x1，y2x2,2xx1x2,2yy1y2，y1y2(x1x2)，y1y2(x1x2)， 10，3(2y)2(2x)2100，即1.則M的軌跡是中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為10，短軸長為的橢圓沖擊名校1已知P是雙曲線1(a>0，b>0)上的點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其焦點，雙曲線的離心率是，且·0，若PF1F2的面積為9，則ab的值為()A5 B6 C7 D8解析：選C由·0，得，設|m，|n，不妨設m>n，則m2n24c2，mn2a，mn9，解得b3，ab7.2過雙曲線1(a>0，b>0)的右頂點A作斜率為1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B，C，若A，B，C三點的橫坐標成等比數(shù)列，則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.解析：選C由題知A點坐標為(a,0)，過A且斜率為1的直線方程為yxa，由得C，由得B.A，B，C三點橫坐標成等比數(shù)列，即b3a，e .高頻滾動已知直線xky30所經(jīng)過的定點F恰好是橢圓C的一個焦點，且橢圓C上的點到點F的最大距離為8.(1)求橢圓C的標準方程；(2)已知圓O：x2y21，直線l：mxny1，試證：當點P(m，n)在橢圓C上運動時，直線l與圓O恒相交，并求直線l被圓O所截得的弦長L的取值范圍解：(1)直線xky30經(jīng)過定點F(3,0)，即點F(3,0)是橢圓C的一個焦點設橢圓C的方程為1(a>b>0)，因為橢圓C上的點到點F的最大距離為8，所以a38，即a5.所以b2523216.所以橢圓C的方程為1.(2)因為點P(m，n)在橢圓C上，所以1，即n216(0m225)所以原點到直線l：mxny1的距離d<1.所以直線l：mxny1與圓O：x2y21恒相交L24(r2d2)4.因為0m225，所以L.即直線l被圓O所截得的弦長L的取值范圍為.