第三節(jié)第三節(jié)圓的方程圓的方程考綱傳真1.掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程與一般方程.2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想1圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)標準方程(xa)2(yb)2r2(r0)圓心(a，b)，半徑 r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圓心D2，E2 ，半徑12D2E24F2.點與圓的位置關(guān)系點 M(x0，y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系：(1)若 M(x0，y0)在圓外，則(x0a)2(y0b)2r2.(2)若 M(x0，y0)在圓上，則(x0a)2(y0b)2r2.(3)若 M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0a)2(y0b)2r2.1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑()(2)方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圓心為(a，b)，半徑為 t 的一個圓()(3)方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圓的充要條件是 AC0，B0，D2E24AF0.()(4)若點 M(x0，y0)在圓 x2y2DxEyF0 外，則 x20y20Dx0Ey0F0.()解析由圓的定義及點與圓的位置關(guān)系，知(1)(3)(4)正確(2)中，當 t0 時，表示圓心為(a，b)，半徑為|t|的圓，不正確答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示圓，則 a 的取值范圍是()【導學號：57962378】Aa2 或 a23B23a0C2a0D2a23D由題意知 a24a24(2a2a1)0，解得2a23.3(20 xx全國卷)圓 x2y22x8y130 的圓心到直線 axy10 的距離為 1，則 a()A43B34C. 3D2A圓 x2y22x8y130，得圓心坐標為(1,4)，所以圓心到直線 axy10 的距離 d|a41|a211，解得 a43.4 (20 xx西安質(zhì)檢)若圓 C 的半徑為 1， 其圓心與點(1,0)關(guān)于直線 yx 對稱，則圓 C 的標準方程為_x2(y1)21兩圓關(guān)于直線對稱則圓心關(guān)于直線對稱，半徑相等，則圓C 的圓心為(0,1)，半徑為 1，標準方程為 x2(y1)21.5(20 xx全國卷)一個圓經(jīng)過橢圓x216y241 的三個頂點，且圓心在 x 軸的正半軸上，則該圓的標準方程為_x322y2254由題意知 a4， b2， 上、 下頂點的坐標分別為(0,2)， (0，2)，右頂點的坐標為(4,0)由圓心在 x 軸的正半軸上知圓過點(0,2)，(0，2)，(4,0)三點設(shè)圓的標準方程為(xm)2y2r2(0m0)，則m24r2，4m2r2，解得m32，r2254，所以圓的標準方程為x322y2254.求圓的方程(1)(20 xx全國卷)已知三點 A(1,0)，B(0， 3)，C(2， 3)，則ABC外接圓的圓心到原點的距離為()A.53B.213C.2 53D43(2)(20 xx天津高考)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上， 點M(0，5)在圓 C 上，且圓心到直線 2xy0 的距離為4 55，則圓 C 的方程為_(1)B(2)(x2)2y29(1)法一：在坐標系中畫出ABC(如圖)，利用兩點間的距離公式可得|AB|AC|BC|2(也可以借助圖形直接觀察得出)，所以ABC 為等邊三角形 設(shè) BC 的中點為 D， 點 E 為外心， 同時也是重心 所以|AE|23|AD|2 33，從而|OE| |OA|2|AE|2143213，故選 B.法二：設(shè)圓的一般方程為 x2y2DxEyF0，則1DF0，3 3EF0，72D 3EF0，解得D2，E4 33，F(xiàn)1.所以ABC 外接圓的圓心為1，2 33.因此圓心到原點的距離 d122 332213.(2)因為圓 C 的圓心在 x 軸的正半軸上，設(shè) C(a,0)，且 a0，所以圓心到直線 2xy0 的距離 d2a54 55，解得 a2，所以圓 C 的半徑 r|CM| 453，所以圓 C 的方程為(x2)2y29.規(guī)律方法1.直接法求圓的方程，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程2待定系數(shù)法求圓的方程：若已知條件與圓心(a，b)和半徑 r 有關(guān)，則設(shè)圓的標準方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于 a，b，r 的方程組，從而求出 a，b，r 的值；若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于 D，E，F(xiàn) 的方程組，進而求出 D，E，F(xiàn) 的值溫馨提醒：解答圓的方程問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運用圓的幾何性質(zhì)變式訓練 1(20 xx河南百校聯(lián)盟聯(lián)考)經(jīng)過點 A(5,2)，B(3，2)，且圓心在直線 2xy30 上的圓的方程為_.【導學號：57962379】x2y24x2y50(或(x2)2(y1)210)法一：圓過 A(5,2)，B(3，2)兩點，圓心一定在線段 AB 的垂直平分線上易知線段 AB 的垂直平分線方程為 y12(x4)設(shè)所求圓的圓心為 C(a，b)，則有2ab30，b12a4，解得 a2，且 b1.因此圓心坐標 C(2,1)，半徑 r|AC| 10.故所求圓的方程為(x2)2(y1)210.法二：設(shè)圓的方程為 x2y2DxEyF0(D2E24F0)，則2545D2EF0，943D2EF0，2D2 E230，解得 D4，E2，F(xiàn)5，所求圓的方程為 x2y24x2y50.與圓有關(guān)的最值問題已知 M(x，y)為圓 C：x2y24x14y450 上任意一點，且點 Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求y3x2的最大值和最小值解(1)由圓 C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，圓心 C 的坐標為(2,7)，半徑 r2 2.2 分又|QC| 2227324 2，|MQ|max4 22 26 2，|MQ|min4 22 22 2.5 分(2)可知y3x2表示直線 MQ 的斜率 k.6 分設(shè)直線 MQ 的方程為 y3k(x2)，即 kxy2k30.8 分由直線 MQ 與圓 C 有交點，所以|2k72k3|1k22 2，可得 2 3k2 3，y3x2的最大值為 2 3，最小值為 2 3.12 分遷移探究 1(變化結(jié)論)在本例的條件下，求 yx 的最大值和最小值解設(shè) yxb，則 xyb0.3 分當直線 yxb 與圓 C 相切時，截距 b 取到最值，|27b|12122 2，b9 或 b1.10 分因此 yx 的最大值為 9，最小值為 1.12 分遷移探究 2(變換條件結(jié)論)若本例中條件“點 Q(2,3)”改為“點 Q 是直線 3x4y10 上的動點”，其它條件不變，試求|MQ|的最小值解圓心 C(2,7)到直線 3x4y10 上動點 Q 的最小值為點 C 到直線3x4y10 的距離，|QC|mind|23741|32427.5 分又圓 C 的半徑 r2 2，|MQ|的最小值為 72 2.12 分規(guī)律方法1.處理與圓有關(guān)的最值問題，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解2某些與圓相關(guān)的最值可利用函數(shù)關(guān)系求最值根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標式子的函數(shù)關(guān)系式， 然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、函數(shù)的性質(zhì)、利用基本不等式求最值是比較常用的變式訓練 2設(shè) P 為直線 3x4y110 上的動點，過點 P 作圓 C：x2y22x2y10 的兩條切線，切點分別為 A，B，求四邊形 PACB 的面積的最小值解圓的標準方程為(x1)2(y1)21，2 分圓心為 C(1,1)，半徑為 r1.5 分根據(jù)對稱性可知，四邊形 PACB 的面積為2SAPC212|PA|r|PA| |PC|2r2.8 分要使四邊形 PACB 的面積最小，則只需|PC|最小，最小時為圓心到直線 l：3x4y110 的距離d|3411|32421052.10 分所以四邊形 PACB 面積的最小值為|PC|2minr2 41 3.12 分與圓有關(guān)的軌跡問題(20 xx全國卷)已知點 P(2,2)，圓 C：x2y28y0，過點 P 的動直線 l 與圓 C 交于 A，B 兩點，線段 AB 的中點為 M，O 為坐標原點(1)求 M 的軌跡方程；(2)當|OP|OM|時，求 l 的方程及POM 的面積解(1)圓 C 的方程可化為 x2(y4)216，所以圓心為 C(0,4)，半徑為 4.2 分設(shè) M(x，y)，則CM(x，y4)，MP(2x,2y)由題設(shè)知CMMP0，故 x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于點 P 在圓 C 的內(nèi)部，所以 M 的軌跡方程是(x1)2(y3)22.5 分(2)由(1)可知 M 的軌跡是以點 N(1,3)為圓心， 2為半徑的圓由于|OP|OM|，故 O 在線段 PM 的垂直平分線上又 P 在圓 N 上，從而 ONPM.7 分因為 ON 的斜率為 3，所以 l 的斜率為13，故 l 的方程為 y13x83.10 分又|OM|OP|2 2，O 到 l 的距離為4 105，|PM|4 105，所以POM 的面積為165.12 分規(guī)律方法求與圓有關(guān)的軌跡問題的四種方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解(2)定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)得出方程求解(4)代入法(相關(guān)點法)：找出要求的點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式求解變式訓練 3已知點 A(1,0)，點 B(2,0)，動點 C 滿足|AC|AB|，求點 C與點 P(1,4)所連線段的中點 M 的軌跡方程.【導學號：57962380】解由題意可知：動點 C 的軌跡是以(1,0)為圓心，3 為半徑長的圓，方程為(x1)2y29.3 分設(shè) M(x0，y0)，則由中點坐標公式可求得C(2x01,2y04)，6 分代入點 C 的軌跡方程得 4x204(y02)29，化簡得 x20(y02)294，10 分故點 M 的軌跡方程為 x2(y2)294.12 分思想與方法1確定一個圓的方程，需要三個獨立條件，“選形式、定參數(shù)”是求圓的方程的基本方法2解答圓的問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運用圓的幾何性質(zhì)，簡化運算易錯與防范1 二元二次方程 x2y2DxEyF0 表示圓時易忽視 D2E24F0 這一前提條件2求圓的方程需要三個獨立條件，所以不論是設(shè)哪一種圓的方程都要列出系數(shù)的三個獨立方程3求軌跡方程和求軌跡是有區(qū)別的，求軌跡方程得出方程即可，而求軌跡在得出方程后還要指明軌跡表示什么曲線