【導與練】（新課標）20xx屆高三數學一輪復習 第5篇 第3節(jié) 等比數列課時訓練 理【選題明細表】知識點、方法題號等比數列的判定及證明3、15等比數列的基本運算4、6、8、11等比數列的性質1、2、7、10等比、等差數列的綜合5、9、12等比數列與其他知識綜合5、13、14、16基礎過關一、選擇題1.公比為2的等比數列an的各項都是正數,且a3a11=16,則a5等于(A)(A)1(B)2(C)4(D)8解析:a3a11=a72=16,數列an的各項都是正數,所以a7=4,又a7=a5×22,所以a5=1.2.(20xx高考重慶卷)對任意等比數列an,下列說法一定正確的是(D)(A)a1,a3,a9成等比數列(B)a2,a3,a6成等比數列(C)a2,a4,a8成等比數列(D)a3,a6,a9成等比數列解析:由等比數列的定義知選D.3.已知數列an的前n項和Sn=3n+k(k為常數),那么下述結論正確的是(B)(A)k為任意實數時,an是等比數列(B)k=-1時,an是等比數列(C)k=0時,an是等比數列(D)an不可能是等比數列解析:Sn=3n+k(k為常數),a1=S1=3+k,n2時,an=Sn-Sn-1=3n+k-(3n-1+k)=2×3n-1,當k=-1時,a1=2滿足an=2×3n-1,an是等比數列,當k=0時,a1=3不滿足an=2×3n-1,an不是等比數列.4.已知等比數列an的公比q=2,前n項和為Sn.若S3=72,則S6等于(B)(A)312(B)632(C)63(D)1272解析:由S6-S3S3=q3,即S6-7272=8,得S6=632.5.已知an為等差數列,bn為等比數列,其公比q1且bi>0(i=1,2,),若a1=b1,a11=b11,則(A)(A)a6>b6(B)a6=b6(C)a6<b6(D)a6<b6或a6>b6解析:數列an是等差數列,數列bn是等比數列,a1=b1,a11=b11,a1+a11=b1+b11,又bi>0(i=1,2,)2a6=b1+b112b1b11=2b6,又q1,且bi>0(i=1,2,),b1b11,a6>b6.二、填空題6.已知等比數列an的公比為正數,且a2·a6=9a4,a2=1,則a1=. 解析:由a2·a6=9a4得a2(a2q4)=9a2q2,解得q2=9,所以q=3或q=-3(舍去),所以由a2=a1q,得a1=a2q=13.答案:137.(20xx高考廣東卷)若等比數列an的各項均為正數,且a10a11+a9a12=2e5,則ln a1+ln a2+ln a20=. 解析:ln a1+ln a2+ln a20=ln a1a2a20,而a1a20=a2a19=a9a12=a10a11=e5,所以ln a1a2a20=ln(e5)10=50.答案:508.(20xx高考遼寧卷)已知等比數列an是遞增數列,Sn是an的前n項和,若a1,a3是方程x2-5x+4=0的兩個根,則S6=. 解析:依題意a1+a3=5,a1a3=4,又數列an為遞增數列,解得a1=1,a3=4,q2=a3a1=4,q=2,S6=a1(1-q6)1-q=1-261-2=63.答案:639.(20xx高考安徽卷)數列an是等差數列,若a1+1,a3+3,a5+5構成公比為q的等比數列,則q=. 解析:設等差數列an的公差為d,由題意,(a3+3)2=(a1+1)(a5+5),即(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),化簡可解得,d=-1,所以公比q=a3+3a1+1=a1+2d+3a1+1=1.答案:110.等比數列an的首項a1=-1,前n項和為Sn,若S10S5=3132,則an的通項公式an=. 解析:S10S5=3132,S10-S5S5=-132,S5,S10-S5,S15-S10成等比數列,且公比為q5,q5=-132,q=-12,則an=-1×(-12)n-1=-(-12)n-1.答案:-(-12)n-1三、解答題11.(20xx高考四川卷)在等比數列an中,a2-a1=2,且2a2為3a1和a3的等差中項,求數列an的首項、公比及前n項和.解:設該數列的公比為q.由已知,可得a1q-a1=2,4a1q=3a1+a1q2,所以a1(q-1)=2,q2-4q+3=0,解得q=3或q=1.由于a1(q-1)=2,因此q=1不合題意,應舍去.故公比q=3,首項a1=1.所以數列an的前n項和Sn=3n-12.12.已知等比數列an的前n項和為Sn,若S1,2S2,3S3成等差數列,且S4=4027.(1)求數列an的通項公式;(2)求證Sn<32.(1)解:設等比數列an的公比為q.S1,2S2,3S3成等差數列4S2=S1+3S3,即4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),a2=3a3,q=a3a2=13.又S4=4027,即a1(1-q4)1-q=4027,解得a1=1,an=(13)n-1.(2)證明:由(1)得Sn=a1(1-qn)1-q=1-(13) n1-13=321-(13)n<32.能力提升13.已知定義在R上的函數f(x)=ax(0<a<1),且f(1)+f(-1)=52,若數列f(n)(nN*)的前n項和等于3132,則n等于(B)(A)4(B)5(C)6(D)7解析:由f(1)+f(-1)=52,得a+a-1=52,即a+1a=52,解得a=2(舍去)或a=12,f(n)=(12)n,則數列f(n)是首項為f(1)=12,公比q=12的等比數列,所以Sn=f(1)(1-qn)1-q=12×1-(12) n1-12=1-(12)n,由1-(12)n=3132得(12)n=132,解得n=5,故選B.14.(20xx山東棗莊一模)已知等比數列an中,a2=1,則其前3項的和S3的取值范圍是(D)(A)(-,-1(B)(-,0)(1,+)(C)3,+)(D)(-,-13,+)解析:設等比數列an的公比為q,則S3=a1+a2+a3=a2(1+q+1q)=1+q+1q,當q>0時,S3=1+q+1q1+2q·1q=3,當q<0時,S3=1-(-q-1q)1-2(-q)·(-1q)=-1.S3(-,-13,+).故選D.15.(20xx高考陜西卷)設Sn表示數列an的前n項和.(1)若an是等差數列,推導Sn的計算公式;(2)若a1=1,q0,且對所有正整數n,有Sn=1-qn1-q.判斷an是否為等比數列,并證明你的結論.解:(1)設an的公差為d,則Sn=a1+a2+an=a1+(a1+d)+a1+(n-1)d,又Sn=an+(an-d)+an-(n-1)d,2Sn=n(a1+an),Sn=n(a1+an)2.(2)當n=1時,S1=1.當n=2時,S2=1-q21-q=1+q,a1+a2=1+q,a2=q.當n=3時,S3=1-q31-q=1+q+q2,a1+a2+a3=1+q+q2,a3=q2;初步斷定數列an為等比數列.證明如下:Sn=1-qn1-q,an+1=Sn+1-Sn=1-qn+11-q-1-qn1-q=qn(1-q)1-q=qn.a1=1,q0,當n1時,有an+1an=qnqn-1=q,因此,an是首項為1且公比為q的等比數列.探究創(chuàng)新16.(20xx廣東十校聯考)如圖給出一個“三角形數陣”.已知每一列數成等差數列,從第三行起,每一行數成等比數列,而且每一行的公比都相等,記第i行第j列的數為aij(ij,i,jN*),則a53=,amn=(m3). 1412,1434,38,316解析:由題意可知第一列首項為14,公差d=12-14=14,從第三行起每一行的公比q=12,所以a51=14+4×14=54,a53=a51q2=54×(12)2=516.m3時,am1=14+(m-1)×14=m4,amn=m4×(12)n-1=m2n+1.答案:516m2n+1