1 1課時提升作業(yè)(二十七)一、選擇題1.有下列四個命題:(a·b)2=a2·b2;|a+b|>|a-b|;|a+b|2=(a+b)2;若ab,則a·b=|a|·|b|.其中真命題的個數(shù)是()(A)1(B)2(C)3(D)42.(20xx·遼寧高考)已知兩個非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|,則下面結論正確的是()(A)ab (B)ab(C)|a|=|b| (D)a+b=a-b3.(20xx·渭南模擬)設向量a=(cos 25°,sin25°),b=(sin 20°,cos 20°),若t是實數(shù),且u=a+tb,則|u|的最小值是()(A)2 (B)1 (C)22 (D)124.(20xx·南昌模擬)已知平面向量a=(3,1),b=(x,-6),設a與b的夾角的正切值等于-43,則x的值為()(A)263 (B)2(C)-2 (D)-2,2635.在ABC中,AC·AB|AB|=1,BC·BA|BA|=2,則AB邊的長度為()(A)1 (B)3 (C)5 (D)96.(20xx·重慶模擬)已知向量a,b滿足|a|=|b|=2, a·b=0,若向量c與a-b共線,則|a+c|的最小值為()(A)1(B)2(C)3(D)27.(20xx·營口模擬)設a,b是不共線的兩個向量,其夾角是,若函數(shù)f(x)=(xa+b)·(a-xb)(xR)在(0,+)上有最大值,則()(A)| a|<|b|,且是鈍角(B)| a|<|b|,且是銳角(C)| a|>|b|,且是鈍角(D)| a|>|b|,且是銳角 8.已知O是ABC內部一點,OA+OB+OC=0,AB·AC=23,且BAC=30°,則AOB的面積為()(A)2 (B)1 (C)12 (D)139.已知a,b,c為ABC的三個內角A,B,C的對邊,向量m=(3,-1),n=(cosA,sinA).若mn,且acosB+bcosA=csinC,則角A,B的大小分別為()(A)6,3(B)23,6(C)3,6(D)3,310.(能力挑戰(zhàn)題)如圖,已知點A(1,1)和單位圓上半部分上的動點B.且OAOB,則向量OB的坐標為()(A)(-12,12)(B)(-22,22)(C)(-13,13)(D)(-32,32)二、填空題11.(20xx·黃山模擬)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=52,則|b|=.12.如圖,半圓的直徑|AB|=6,O為圓心,C為半圓上不同于A,B的任意一點,若P為半徑OC上的動點,則(PA+PB)·PC的最小值是.13.(20xx·杭州模擬)以下命題:若|a·b|=|a|·|b|,則ab;a=(-1,1)在b=(3,4)方向上的投影為15;若ABC中,a=5,b=8,c=7,則BC·CA=20;若非零向量a,b滿足|a+b|=|b|,則|2b|>|a+2b|.其中所有真命題的序號是.14.(能力挑戰(zhàn)題)給定兩個長度為1的平面向量OA和OB,它們的夾角為90°.如圖所示,點C在以O為圓心的圓弧AB上運動,若OC=xOA+yOB,其中x,yR,則xy的范圍是.三、解答題15.(20xx·晉中模擬)已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),AB·AD=5,=10.(1)求D點的坐標.(2)若D點在第二象限,用AB,AD表示AC.(3)設AE=(t,2),若3AB+AC與AE垂直,求AE的坐標. 答案解析1.【解析】選A.設a,b夾角為,(a·b)2=|a|2·|b|2·cos2|a|2·|b|2=a2·b2;|a+b|與|a-b|大小不確定;正確;ab,當a,b同向時有a·b=|a|·|b|;當a,b反向時有a·b=-|a|·|b|.故不正確.2.【思路點撥】將所給等式兩邊平方,找到兩個向量的關系.【解析】選B.|a+b|=|a-b|a+b|2=|a-b|2a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2a·b=0ab.【變式備選】已知非零向量a,b滿足向量a+b與向量a-b的夾角為2,那么下列結論中一定成立的是()(A)a=b (B)|a|=|b|(C)ab (D)ab【解析】選B.由條件得(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,故可得|a|=|b|.3.【解析】選C.|u|2=(a+tb)2=a2+2ta·b+t2b2=1+2t(cos 25°sin 20°+sin 25°cos 20°)+t2=t2+2t+1=(t+22)2+1212,|u|22,故選C.4.【解析】選C.a=(3,1),b=(x,-6),設a與b的夾角等于,a·b=3x-6=10x2+36cos,cos=3x-610x2+36.tan=-43,cos=-35.3x-610x2+36=-35,整理得3x2-20x-52=0.解得x1=-2,x2=263.經(jīng)檢驗x2=263是增根,x1=-2滿足要求.x=-2. 5.【思路點撥】根據(jù)數(shù)量積的定義計算,并結合解三角形的知識得到結果.【解析】選B.過點C作AB的垂線,垂足為D.由條件得AC·AB|AB|=|AC|AB|cosA|AB|=|AC|cosA=|AD|=1,同理|BD|=2.故|AB|=|AD|+|DB|=3.6.【解析】選B.由a·b=0知ab,又|a|=|b|=2,所以a與a - b所成角為4.若| a +c|最小,則c與a - b共線反向,從而a與c的夾角為34.(a + c)2= a 2+ c 2+2|a|c|·cos34= c 2-22| c |+4=(| c |-2)2+22,|a+c|2,即| a +c|的最小值為2.7.【解析】選D.f(x)=- a·b x2+(a2- b 2)x+a·b,若函數(shù)f(x)在(0,+)上有最大值,則可知函數(shù)為二次函數(shù),且圖像的開口向下,且對稱軸在y軸右側,即-a·b<0,a2-b22a·b>0,所以a, b的夾角為銳角,且|a|>| b |.8.【解析】選D.由OA+OB+OC=0得O為ABC的重心,SAOB=13SABC.又AB·AC=|AB|AC|cos30°=23,得|AB|AC|=4,SABC=12|AB|AC|sin30°=1.SAOB=13.9.【解析】選C.由mn可得m·n=0,即3cosA-sinA=0,所以A=3.又acosB+bcosA=csinC知c=csinC,則sinC=1,所以C=2,由B=23-C可得B=6.10.【解析】選B.依題意設B(cos,sin),0.則OA=(1,1),OB=(cos,sin).因為OAOB,所以OA·OB=0,即cos+sin=0,解得=34,所以OB=(-22,22).【方法技巧】解題時引入恰當?shù)膮?shù)是解題的關鍵,進而可利用三角函數(shù)的定義求得點B的坐標,可將問題轉化為向量的坐標運算問題來解決.11.【解析】50=|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=5+20+|b|2,|b|=5.答案:512.【思路點撥】設|PO|=x(0x3),運用向量的數(shù)量積轉化為函數(shù)知識求解.【解析】設|PO|=x,則|PC|=3-x(0x3),則(PA+PB)·PC=2PO·PC=2·x·(3-x)·cos=2x(x-3)=2(x-32)2-92.0x3,當x=32時,(PA+PB)·PC有最小值-92. 答案:-9213.【解析】設a,b的夾角為,中,由|a·b|=|a|b|cos|=|a|b|,知cos=±1,故=0或=,所以ab,故正確;中a在b方向上的投影為|a|·cos=|a|·=15,故正確;中,由余弦定理得cosC=52+82-722×5×8=12,故BC·CA=-CB·CA=-5×8×12=-20,故錯誤.中,由|a+b|=|b|知|b|+|a+b|=|b|+|b|,|2b|=|b|+|a+b|b+a+b|=|a+2b|,故錯誤.答案:14.【解析】由OC=xOA+yOB,得=x2+y2+2xyOA·OB.又|OC|=|OA|=|OB|=1,OA·OB=0,1=x2+y22xy,得xy12,而點C在以O為圓心的圓弧AB上運動,得x,y0,1,于是0xy12.答案:0,1215.【解析】(1)設D(x,y),AB=(1,2),AD=(x+1,y).由題得x+2y=4,(x+1)2+y2=10,x=-2,y=3或x=2,y=1.D點的坐標為(-2,3)或(2,1).(2)D點在第二象限,D(-2,3).AD=(-1,3).AC=(-2,1),設AC=mAB+nAD, 則(-2,1)=m(1,2)+n(-1,3),-2=m-n,1=2m+3n,m=-1,n=1,AC=-AB+AD.(3)3AB+AC=3(1,2)+(-2,1)=(1,7),AE=(t,2),3AB+AC與AE垂直,(3AB+AC)·AE=0,t+14=0,t=-14,AE=(-14,2).【變式備選】在平面直角坐標系中,已知向量a=(-1,2),又點A(8,0),B(n,t),C(ksin,t)(02).(1)若ABa,且|AB|=5|OA|(O為坐標原點),求向量OB.(2)若向量AC與向量a共線,當k>4,且tsin取最大值4時,求OA·OC.【解析】(1)可得AB=(n-8,t),ABa,AB·a=(n-8,t)·(-1,2)=0,得n=2t+8,則AB=(2t,t).又|AB|=5|OA|,|OA|=8.(2t)2+t2=5×64,解得t=±8,當t=8時,n=24;當t=-8時,n=-8.OB=(24,8)或OB=(-8,-8).(2)向量AC與向量a共線,t=-2ksin+16,tsin=(-2ksin+16)sin=-2k(sin-4k)2+32k.k>4,0<4k<1,故當sin=4k時,tsin取最大值32k,有32k=4,得k=8.這時,sin=12,k=8,tsin=4,得t=8,則OC=(4,8),OA·OC=(8,0)·(4,8)=32.