1 1課時規(guī)范練43橢圓一、選擇題1.橢圓的焦點坐標(biāo)為(-5,0)和(5,0),橢圓上一點與兩焦點的距離和是26,則橢圓的方程為()A.=1B.=1C.=1D.=1答案:A解析:由題意知a=13,c=5,b2=a2-c2=144.又橢圓的焦點在x軸上,橢圓方程為=1.2.設(shè)F1,F2是橢圓E:=1(a>b>0)的左、右焦點,P為直線x=上一點,F2PF1是底角為30°的等腰三角形,則E的離心率為()A.B.C.D.答案:C解析:設(shè)直線x=與x軸交于點M,則PF2M=60°,在RtPF2M中,PF2=F1F2=2c,F2M=-c,故cos 60°=,解得,故離心率e=.3.已知F1,F2是橢圓=1的兩焦點,過點F2的直線交橢圓于A,B兩點.在AF1B中,若有兩邊之和是10,則第三邊的長度為()A.6B.5C.4D.3答案:A解析:根據(jù)橢圓定義,知AF1B的周長為4a=16,故所求的第三邊的長度為16-10=6.4.已知圓(x+2)2+y2=36的圓心為M,設(shè)A為圓上任一點,N(2,0),線段AN的垂直平分線交MA于點P,則動點P的軌跡是()A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線答案:B解析:點P在線段AN的垂直平分線上,故|PA|=|PN|.又AM是圓的半徑,|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由橢圓定義知,動點P的軌跡是橢圓.5.設(shè)橢圓=1和雙曲線-x2=1的公共焦點分別為F1,F2,P為這兩條曲線的一個交點,則cosF1PF2的值為()A.B.C.D.-答案:B解析:由題意可知m-2=3+1,解得m=6.由橢圓與雙曲線的對稱性,不妨設(shè)點P為第一象限內(nèi)的點,F1(0,-2),F2(0,2).由題意得|PF1|+|PF2|=2,|PF1|-|PF2|=2,|F1F2|=4,解得|PF1|=,|PF2|=.由余弦定理可得cosF1PF2=.6.(20xx浙江高考)如圖,F1,F2是橢圓C1:+y2=1與雙曲線C2的公共焦點,A,B分別是C1,C2在第二、四象限的公共點.若四邊形AF1BF2為矩形,則C2的離心率是()A.B.C.D.來源:答案:D解析:橢圓C1中,|AF1|+|AF2|=2a=4,|F1F2|=2c=2.又四邊形AF1BF2為矩形,F1AF2=90°,+|AF2|2=|F1F2|2,|AF1|=2-,|AF2|=2+,在雙曲線C2中,2c=2,2a=|AF2|-|AF1|=2,故e=,故選D.二、填空題7.F1,F2是橢圓=1的左、右兩焦點,P為橢圓的一個頂點,若PF1F2是等邊三角形,則a2=. 答案:12解析:PF1F2是等邊三角形,2c=a.又b=3,a2=12.8.已知橢圓的中心在原點,焦點在y軸上,若其離心率為,焦距為8,則該橢圓的方程是. 答案:=19.已知F1為橢圓C:+y2=1的左焦點,直線l:y=x-1與橢圓C交于A,B兩點,那么|F1A|+|F1B|的值為. 答案:解析:設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),來源:則由消去y整理得3x2-4x=0,解得x1=0,x2=,易得點A(0,-1),B.又點F1(-1,0),因此|F1A|+|F1B|=.10.已知動點P(x,y)在橢圓=1上,若點A坐標(biāo)為(3,0),|=1,且=0,則|的最小值是. 答案:解析:·=0,.|2=|2-|2=|2-1.橢圓右頂點到右焦點A的距離最小,故|min=2,|min=.11.橢圓=1(a為定值,且a>)的左焦點為F,直線x=m與橢圓相交于點A,B,FAB的周長的最大值是12,則該橢圓的離心率是. 答案:解析:如圖所示,設(shè)橢圓右焦點為F1,AB與x軸交于點H,則|AF|=2a-|AF1|,ABF的周長為2|AF|+2|AH|=2(2a-|AF1|+|AH|),AF1H為直角三角形,|AF1|>|AH|,僅當(dāng)|AF1|=|AH|,即F1與H重合時,AFB的周長最大,即最大周長為2(|AF|+|AF1|)=4a=12,a=3.而b=,c=2,離心率e=.來源:三、解答題12.如圖所示,橢圓=1(a>b>0)的離心率e=,左焦點為F,A,B,C為其三個頂點,直線CF與AB交于D點,求tanBDC的值.解:由e=.由圖知tanDBC=tanABO=,tanDCB=tanFCO=.tanBDC=-tan(DBC+DCB)=-=-3.13.已知橢圓C的中心在原點,一個焦點為F(-2,0),且長軸長與短軸長的比是2.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)點M(m,0)在橢圓C的長軸上,點P是橢圓上任意一點.當(dāng)|最小時,點P恰好落在橢圓的右頂點,求實數(shù)m的取值范圍.解:(1)設(shè)橢圓C的方程為=1(a>b>0).由題意,得解得a2=16,b2=12.所以橢圓C的方程為=1.(2)設(shè)P(x,y)為橢圓上的動點,由于橢圓方程為=1,故-4x4.因為=(x-m,y),所以|2=(x-m)2+y2=(x-m)2+12·x2-2mx+m2+12=(x-4m)2+12-3m2.因為當(dāng)|最小時,點P恰好落在橢圓的右頂點,即當(dāng)x=4時,|2取得最小值.而x-4,4,故有4m4,解得m1.又點M在橢圓的長軸上,所以-4m4.故實數(shù)m的取值范圍是1,4.14.已知橢圓C:=1(a>b>0)的左焦點F及點A(0,b),原點O到直線FA的距離為b.(1)求橢圓C的離心率e;(2)若點F關(guān)于直線l:2x+y=0的對稱點P在圓O:x2+y2=4上,求橢圓C的方程及點P的坐標(biāo).解:(1)由點F(-ae,0),點A(0,b),及b=a得直線FA的方程為=1,即x-ey+ae=0.原點O到直線FA的距離b=ae,·a=ea.解得e=.(2)(方法一)設(shè)橢圓C的左焦點F關(guān)于直線l:2x+y=0的對稱點為P(x0,y0),則有解得x0=a,y0=a.P在圓x2+y2=4上,=4.a2=8,b2=(1-e2)a2=4.故橢圓C的方程為=1,點P的坐標(biāo)為.(方法二)F關(guān)于直線l的對稱點P在圓O上,又直線l:2x+y=0經(jīng)過圓O:x2+y2=4的圓心O(0,0),F也在圓O上.從而+02=4,a2=8,b2=(1-e2)a2=4.故橢圓C的方程為=1.F(-2,0)與P(x0,y0)關(guān)于直線l對稱,解得x0=,y0=.故點P的坐標(biāo)為.15.(20xx山東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C的中心在原點O,焦點在x軸上,短軸長為2,離心率為.(1)求橢圓C的方程;(2)A,B為橢圓C上滿足AOB的面積為的任意兩點,E為線段AB的中點,射線OE交橢圓C于點P.設(shè)=t,求實數(shù)t的值.解:(1)設(shè)橢圓C的方程為=1(a>b>0),由題意知解得a=,b=1.因此橢圓C的方程為+y2=1.(2)當(dāng)A,B兩點關(guān)于x軸對稱時,設(shè)直線AB的方程為x=m,由題意-<m<0或0<m<.將x=m代入橢圓方程+y2=1,得|y|=.所以SAOB=|m|.解得m2=或m2=.又=tt()=t(2m,0)=(mt,0),因為P為橢圓C上一點,所以=1.由得t2=4或t2=.又因為t>0,所以t=2或t=.當(dāng)A,B兩點關(guān)于x軸不對稱時,設(shè)直線AB的方程為y=kx+h.將其代入橢圓的方程+y2=1,得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由判別式>0可得1+2k2>h2,此時x1+x2=-,x1x2=,來源:y1+y2=k(x1+x2)+2h=,所以|AB|=2.因為點O到直線AB的距離d=,所以SAOB=|AB|d=×2=|h|.又SAOB=,所以|h|=.令n=1+2k2,代入整理得3n2-16h2n+16h4=0,解得n=4h2或n=h2,即1+2k2=4h2或1+2k2=h2.又=tt()=t(x1+x2,y1+y2)=,因為P為橢圓C上一點,所以t2=1,即t2=1.將代入得t2=4或t2=,又知t>0,故t=2或t=.經(jīng)檢驗,適合題意.綜上所得t=2或t=.來源:四、選做題1.中心為(0,0),一個焦點為F(0,5)的橢圓,截直線y=3x-2所得弦中點的橫坐標(biāo)為,則該橢圓方程是()A.=1B.=1C.=1D.=1答案:C解析:c=5,設(shè)橢圓方程為=1,聯(lián)立方程得(10a2-450)x2-12(a2-50)x+4(a2-50)-a2(a2-50)=0,由韋達(dá)定理:x1+x2=1,a2=75,所以橢圓方程為=1.2.如圖,已知過橢圓=1(a>b>0)的左頂點A(-a,0)作直線l交y軸于點P,交橢圓于點Q,若AOP是等腰三角形,且=2,則橢圓的離心率為. 答案:解析:由于AOP為等腰三角形,且AOP=90°,故有AO=OP=a,則點P的坐標(biāo)為(0,a),設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x,y),=(x,y)-(0,a)=(x,y-a),=(-a,0)-(x,y)=(-a-x,-y),=2,則有解得即點Q的坐標(biāo)為,將點Q的坐標(biāo)代入橢圓的方程得··=1,解得a2=5b2,即a2=5(a2-c2),e=.3.已知橢圓=1(a>b>0),點P在橢圓上.(1)求橢圓的離心率;(2)設(shè)A為橢圓的左頂點,O為坐標(biāo)原點.若點Q在橢圓上且滿足|AQ|=|AO|,求直線OQ的斜率的值.解:(1)因為點P在橢圓上,故=1,可得.于是e2=1-,所以橢圓的離心率e=.(2)設(shè)直線OQ的斜率為k,則其方程為y=kx,設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x0,y0),由條件得消去y0并整理得.由|AQ|=|AO|,A(-a,0)及y0=kx0,得(x0+a)2+k2=a2.整理得(1+k2)+2ax0=0,而x00,故x0=-,代入,整理得(1+k2)2=4k2·+4,由(1)知,故(1+k2)2=k2+4,即5k4-22k2-15=0,可得k2=5.所以直線OQ的斜率k=±.