1 1第七節(jié)拋物線A組基礎(chǔ)題組1.拋物線y=4ax2(a0)的焦點坐標(biāo)是()A.(0,a)B.(a,0)C.0,116aD.116a,02.(20xx課標(biāo)全國,5,5分)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點,曲線y=kx(k>0)與C交于點P,PFx軸,則k=()A.12B.1C.32D.23.(20xx山西高三考前質(zhì)檢)已知拋物線C1:x2=2py(p>0)的準(zhǔn)線與拋物線C2:x2=-2py(p>0)交于A,B兩點,C1的焦點為F,若FAB的面積等于1,則C1的方程是()A.x2=2yB.x2=2yC.x2=yD.x2=22y4.已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點且斜率為-1的直線交拋物線于A,B兩點,若線段AB的中點的橫坐標(biāo)為3,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()A.x=1B.x=2C.x=-1D.x=-25.已知P為拋物線y=12x2上的動點,點P在x軸上的射影為點M,點A的坐標(biāo)為6,172,則|PM|+|PA|的最小值是()A.8B.192C.10D.2126.(20xx陜西,14,5分)若拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2-y2=1的一個焦點,則p=. 7.已知點P在拋物線y2=4x上,且點P到y(tǒng)軸的距離與其到焦點的距離之比為12,則點P到x軸的距離為. 8.如圖是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在l時,拱頂離水面2米,水面寬4米.水位下降1米后,水面寬米. 9.如圖所示,已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l經(jīng)過點F且與拋物線C相交于A、B兩點.(1)若線段AB的中點在直線y=2上,求直線l的方程;(2)若線段|AB|=20,求直線l的方程.10.(20xx陜西商洛月考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,點A(4,m)在拋物線上,且|AF|=5.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)是否存在直線l,使l過點(0,1),并與拋物線交于B,C兩點,且滿足·=0?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.B組提升題組11.已知拋物線C:y2=8x的焦點為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點,Q是直線PF與C的一個交點.若=4,則|QF|=()A.72B.3C.52D.212.過拋物線x2=4y的焦點F作直線AB,CD與拋物線交于A,B,C,D四點,且ABCD,則·+·的最大值等于()A.-4B.-16C.4D.-813.設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l過F且與C交于A,B兩點.若|AF|=3|BF|,則l的方程為()A.y=x-1或y=-x+1B.y=33(x-1)或y=-33(x-1)C.y=3(x-1)或y=-3(x-1)D.y=22(x-1)或y=-22(x-1)14.(20xx天津,14,5分)設(shè)拋物線x=2pt2,y=2pt(t為參數(shù),p>0)的焦點為F,準(zhǔn)線為l.過拋物線上一點A作l的垂線,垂足為B.設(shè)C72p,0,AF與BC相交于點E.若|CF|=2|AF|,且ACE的面積為32,則p的值為. 15.(20xx廣東深圳一模)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F,且傾斜角為的直線與拋物線交于A,B兩點,若弦AB的垂直平分線經(jīng)過點(0,2),則p等于. 16.已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點,斜率為22的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)兩點,且|AB|=9.(1)求該拋物線的方程;(2)O為坐標(biāo)原點,C為拋物線上一點,若=+,求的值.答案全解全析A組基礎(chǔ)題組1.C將y=4ax2(a0)化為標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=14ay(a0),所以焦點坐標(biāo)為0,116a,所以選C.2.D由題意得點P的坐標(biāo)為(1,2).把點P的坐標(biāo)代入y=kx(k>0)得k=1×2=2,故選D.3.A由題意得F0,p2,不妨設(shè)Ap,-p2,B-p,-p2,SFAB=12·2p·p=1,則p=1,即拋物線C1的方程是x2=2y,故選A.4.C由題可知焦點為p2,0,直線AB的方程為y=-x-p2,與拋物線方程聯(lián)立得y=-x-p2,y2=2px消去y,得4x2-12px+p2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=3p.線段AB的中點的橫坐標(biāo)為3,3p2=3,p=2,拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1.5.B依題意可知焦點為F0,12,準(zhǔn)線方程為y=-12,延長PM交準(zhǔn)線于點H(圖略).則|PF|=|PH|,|PM|=|PF|-12,|PM|+|PA|=|PF|+|PA|-12.因為|PF|+|PA|FA|,又|FA|=62+172-122=10.所以|PM|+|PA|10-12=192,故選B.6.答案22解析拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=-p2(p>0),故直線x=-p2過雙曲線x2-y2=1的左焦點(-2,0),從而-p2=-2,解得p=22.7.答案2解析設(shè)點P的坐標(biāo)為(xP,yP).拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1,根據(jù)已知條件及拋物線的定義,可知xPxP-(-1)=12xP=1,yP2=4,|yP|=2.則點P到x軸的距離為2.8.答案26解析建立坐標(biāo)系如圖所示.則可設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0).點(2,-2)在拋物線上,p=1,即拋物線方程為x2=-2y.當(dāng)y=-3時,x=±6.水位下降1米后,水面寬26米.9.解析(1)由已知得拋物線的焦點為F(1,0).因為線段AB的中點在直線y=2上,所以直線l的斜率存在,設(shè)直線l的斜率為k,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點為M(x0,y0),則x0=x1+x22,y0=y1+y22.由y12=4x1,y22=4x2,得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),所以2y0k=4.又y0=2,所以k=1,故直線l的方程是y=x-1.(2)設(shè)直線l的方程為x=my+1,與拋物線方程聯(lián)立得x=my+1,y2=4x,消去x,整理得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,=16(m2+1)>0.|AB|=m2+1|y1-y2|=m2+1·(y1+y2)2-4y1y2=m2+1·=4(m2+1).所以4(m2+1)=20,解得m=±2,所以直線l的方程是x=±2y+1,即x±2y-1=0.10.解析(1)點A(4,m)在拋物線上,且|AF|=5,4+p2=5,p=2,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.(2)存在.理由:由題意可設(shè)直線l的方程為x=k(y-1)(k0),代入拋物線方程,整理得y2-4ky+4k=0,則=16k2-16k>0k<0或k>1,設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則y1+y2=4k,y1y2=4k,由·=0,即x1x2+y1y2=0,得(k2+1)y1y2-k2(y1+y2)+k2=0,則有(k2+1)·4k-k2·4k+k2=0,解得k=-4或k=0(舍去),直線l存在,其方程為x+4y-4=0.B組提升題組11.B=4,點Q在線段PF上,且在兩端點之間,過Q作QMl,垂足為M,由拋物線定義知|QF|=|QM|,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線l與x軸的交點為N,則|FN|=4,又易知PQMPFN,則|QM|FN|=|PQ|PF|,即|QM|4=34.|QM|=3,即|QF|=3.故選B.12.B依題意可得,·=-(|·|).因為|=yA+1,|=yB+1,所以·=-(yAyB+yA+yB+1).設(shè)直線AB的方程為y=kx+1(k0),聯(lián)立x2=4y,可得x2-4kx-4=0,所以xA+xB=4k,xAxB=-4.所以yAyB=1,yA+yB=4k2+2.所以·=-(4k2+4).同理,·=-4k2+4.所以·+·=-4k2+4k2+8-16.當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時等號成立.13.C由題意知直線l不垂直于x軸.當(dāng)直線l的傾斜角<時,如圖,過A作AA1垂直準(zhǔn)線于A1,過B作BB1垂直準(zhǔn)線于B1.設(shè)直線AB與拋物線的準(zhǔn)線x=-1交于點C.由拋物線的定義可設(shè)|BF|=|BB1|=t,則|AF|=|AA1|=3t.作BB2垂直AA1于B2,易知AB2BBB1C,|BC|AB|=|BB1|AB2|,則有|BC|4t=12,|BC|=2t,B1CB=,直線l的傾斜角=.當(dāng)傾斜角>時,由對稱性可知=23.直線l的傾斜角=或23.又F(1,0),直線l的方程為y=3(x-1)或y=-3(x-1).故選C.14.答案6解析由已知得拋物線的方程為y2=2px(p>0),則|FC|=3p,|AF|=|AB|=32p,A(p,2p)(不妨設(shè)A在第一象限).易證EFCEAB,所以|EF|AE|=|FC|AB|=|FC|AF|=2,所以|AE|AF|=13,所以SACE=13SAFC=13×32p×2p=22p2=32,所以p=6.15.答案45解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點M(x0,y0),則y12=2px1,y22=2px2,兩式相減,整理得(y1+y2)·y1-y2x1-x2=2p,即2y0×1=2p,所以y0=p,又AB的方程為y=x-p2,所以x0=32p,即M32p,p,代入AB的中垂線y=-x+2,可得p=45.16.解析(1)直線AB的方程是y=22x-p2,與y2=2px聯(lián)立,整理得4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=5p4.由拋物線定義得|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4,從而拋物線的方程是y2=8x.(2)將p=4代入4x2-5px+p2=0得x2-5x+4=0,從而x1=1,x2=4,y1=-22,y2=42,從而A(1,-22),B(4,42).設(shè)=(x3,y3),則(x3,y3)=(1,-22)+(4,42)=(4+1,42-22),又y32=8x3,所以22(2-1)2=8(4+1),即(2-1)2=4+1,解得=0或=2.