第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法考綱傳真(教師用書獨具)1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)(對應(yīng)學(xué)生用書第79頁)基礎(chǔ)知識填充1數(shù)列的概念(1)數(shù)列的定義：按照一定次序排列的一列數(shù)叫作數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫作這個數(shù)列的項(2)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N(或它的有限子集)為定義域的函數(shù)anf(n)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值(3)函數(shù)有三種表示示，它們分別是列表法、圖像法和通項公式法2數(shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項數(shù)分類有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限按項與項間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an1an其中nN遞減數(shù)列an1an常數(shù)列an1an按其他標準分類有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an|M擺動數(shù)列從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列3.數(shù)列的兩種常用的表示方法(1)通項公式：如果數(shù)列an的第n項an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個式子anf(n)來表示，那么這個式子叫作這個數(shù)列的通項公式，數(shù)列的通項公式就是相應(yīng)的函數(shù)解析式(2)遞推公式：如果已知數(shù)列an的第1項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫作這個數(shù)列的遞推公式知識拓展1若數(shù)列an的前n項和為Sn，通項公式為an，則an2在數(shù)列an中，項an最大，則若an最小，則3數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時都表示同一個數(shù)列()(2)一個數(shù)列中的數(shù)是不可以重復(fù)的()(3)所有數(shù)列的第n項都能使用公式表達()(4)根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出的數(shù)列的通項公式可能不止一個()(5)如果數(shù)列an的前n項和為Sn，則對任意nN，都有an1Sn1Sn.()答案(1)×(2)×(3)×(4)(5)2已知數(shù)列an的通項公式為ann28n15，則3()A不是數(shù)列an中的項B只是數(shù)列an中的第2項C只是數(shù)列an中的第6項D是數(shù)列an中的第2項或第6項D令an3，即n28n153，解得n2或6，故3是數(shù)列an中的第2項或第6項3設(shè)數(shù)列an的前n項和Snn2，則a8的值為()A15 B16C49D64A當(dāng)n8時，a8S8S7827215.4在數(shù)列an中，a11，an1(n2)，則a5等于()ABCDDa212，a31，a413，a51.5(教材改編)數(shù)列1，的一個通項公式an是_由已知得，數(shù)列可寫成，故通項為.(對應(yīng)學(xué)生用書第80頁)由數(shù)列的前幾項歸納數(shù)列的通項公式寫出下面各數(shù)列的一個通項公式：(1)3,5,7,9，；(2)，；(3)，2，8，；(4)5,55,555,5 555，.解(1)各項減去1后為正偶數(shù)，所以an2n1.(2)這個數(shù)列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，所以它的一個通項公式是an(1)n×，nN.(3)數(shù)列的各項，有的是分數(shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項都統(tǒng)一成分數(shù)再觀察即，分子為項數(shù)的平方，從而可得數(shù)列的一個通項公式為an.(4)將原數(shù)列改寫為×9，×99，×999，易知數(shù)列9,99,999，的通項為10n1，故所求的數(shù)列的一個通項公式為an(10n1) 規(guī)律方法1.求數(shù)列通項時，要抓住以下幾個特征：(1)分式中分子、分母的特征.(2)相鄰項的變化特征.(3)拆項后變化的部分和不變的部分的特征.(4)各項符號特征等，并對此進行歸納、化歸、聯(lián)想.2.若關(guān)系不明顯時，應(yīng)將部分項作適當(dāng)?shù)淖冃?，統(tǒng)一成相同的形式，讓規(guī)律凸顯出來.對于正負符號變化，可用(1)n或(1)n1來調(diào)整，可代入驗證歸納的正確性.跟蹤訓(xùn)練(1)已知nN，給出4個表達式：anan；an；an.其中能作為數(shù)列：0,1,0,1,0,1,0,1，的通項公式的是()ABCD(2)數(shù)列an的前4項是，1，則這個數(shù)列的一個通項公式是an_.(1)A(2)(1)檢驗知都是所給數(shù)列的通項公式(2)數(shù)列an的前4項可變形為，故an.由an與Sn的關(guān)系求通項an已知下面數(shù)列an的前n項和Sn，求an的通項公式：(1)Sn2n23n；(2)Sn3nb.解(1)a1S1231，當(dāng)n2時，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也適合此等式，an4n5.(2)a1S13b，當(dāng)n2時，anSnSn1(3nb)(3n1b)2·3n1.當(dāng)b1時，a1適合此等式當(dāng)b1時，a1不適合此等式當(dāng)b1時，an2·3n1；當(dāng)b1時，an規(guī)律方法已知Sn求an的三個步驟(1)先利用a1S1求出a1.(2)用n1替換Sn中的n得出Sn1，利用anSnSn1(n2)便可求出當(dāng)n2時an的表達式.(3)看a1是否符合n2時an的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應(yīng)寫成分段函數(shù)的形式.易錯警示：利用anSnSn1求通項時，應(yīng)注意n2這一前提條件，易忽視驗證n1致誤.跟蹤訓(xùn)練(1)(20xx·石家莊質(zhì)檢(二)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，若Sn2an4(nN)，則an() 【導(dǎo)學(xué)號：79140166】A2n1B2nC2n1D2n2(2)(20xx·全國卷)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項和，且a11，an1SnSn1，則Sn_.(1)A(2)(1)由Sn2an4可得Sn12an14(n2)，兩式相減可得an2an2an1(n2)，即an2an1(n2)又a12a14，a14，數(shù)列an是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，則an4×2n12n1，故選A(2)an1Sn1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.Sn0，1，即1.又1，是首項為1，公差為1的等差數(shù)列1(n1)×(1)n，Sn.由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式分別求出滿足下列條件的數(shù)列的通項公式(1)a12，an1an3n2(nN)；(2)a11，anan1(n2，nN)；(3)a11，an13an2(nN)解(1)an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)當(dāng)n1時，a1×(3×11)2符合公式，ann2.(2)當(dāng)n2，nN時，ana1××××1××××××n，當(dāng)n1時，也符合上式，該數(shù)列的通項公式為ann.(3)an13an2，an113(an1)，又a11，a112，故數(shù)列an1是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，an12·3n1，因此an2·3n11.規(guī)律方法由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式的常用方法(1)已知a1，且anan1f(n)，可用“累加法”求an.(2)已知a1(a10)，且f(n)，可用“累乘法”求an.(3)已知a1，且an1qanb，則an1kq(ank)(其中k可由待定系數(shù)法確定)，可轉(zhuǎn)化為ank為等比數(shù)列.易錯警示：本題(1)，(2)中常見的錯誤是忽視驗證a1是否適合所求式.跟蹤訓(xùn)練(1)在數(shù)列an中，a12，an1an，求an. 【導(dǎo)學(xué)號：79140167】(2)在數(shù)列an中，a11，an12nan，求an.解(1)an(anan1)(an1an2)(a2a1)a123.(2)由于2n，故21，22，2n1，將這n1個等式疊乘，得212(n1)2，故an2.