大題沖關(guān)集訓(xùn)(二)1.已知函數(shù)f(x)=4cos x·sin(x+4)(>0)的最小正周期為.(1)求的值;(2)討論f(x)在區(qū)間0,2上的單調(diào)性.解:(1)f(x)=4cos xsin xcos 4+cos xsin 4=4cos x22sin x+22cos x=22sin xcos x+22cos2 x=2sin 2x+2(cos 2x+1)=2sin 2x+2cos 2x+2=2sin(2x+4)+2,因?yàn)閒(x)的最小正周期為且>0,故22=,則=1.(2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+4)+2.若0x2,則42x+454.當(dāng)42x+42,即0x8時(shí),f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)2<2x+454,即8<x2時(shí),f(x)單調(diào)遞減.綜上可知,f(x)在區(qū)間0,8上單調(diào)遞增,在區(qū)間(8,2上單調(diào)遞減.2.(20xx高考遼寧卷)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a>c.已知BA·BC=2,cos B=13,b=3,求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.解:(1)由BA·BC=2,得c·acos B=2,又cos B=13,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.解ac=6,a2+c2=13,得a=2,c=3或a=3,c=2.因?yàn)閍>c,所以a=3,c=2.(2)在ABC中,sin B=1-cos2B=1-(13) 2=223,由正弦定理,得sin C=cbsin B=23×223=429.因?yàn)閍=b>c,所以C為銳角,因此cos C=1-sin2C=1-(429) 2=79.于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=13×79+223×429=2327.3.(20xx資陽(yáng)二模)已知f(x)=sin(2x+6)+cos(2x-3).(1)求f(x)的最大值及取得最大值時(shí)x的值;(2)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若f(C)=1,c=23,sin A=2sin B,求ABC的面積.解:(1)f(x)=sin(2x+6)+cos(2x-3)=32sin 2x+12cos 2x+12cos 2x+32sin 2x=3sin 2x+cos 2x=2sin(2x+6).當(dāng)2x+6=2k+2,kZ,即x=k+6,kZ時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值2.(2)由f(C)=2sin(2C+6)=1,得sin(2C+6)=12,6<2C+6<2+6,2C+6=56,解得C=3.因?yàn)閟in A=2sin B,根據(jù)正弦定理,得a=2b,由余弦定理,有c2=a2+b2-2abcos C,則(23)2=4b2+b2-2×2b2cos 3=3b2,解得b=2,a=4,故ABC的面積SABC=12absin C=12×4×2×sin 3=23.4.(20xx上饒市二模)設(shè)aR函數(shù)f(x)=cos x(asin x-cos x)+cos2(2+x)滿足f(-3)=f(0).(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)設(shè)銳角ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,且a2+c2-b2a2+b2-c2=c2a-c,求f(A)的取值范圍.解:(1)f(x)=cos x(asin x-cos x)+cos2(2+x)=a2sin 2x-cos 2x,由f(-3)=f(0)得-3a4+12=-1,a=23,f(x)=3sin 2x-cos 2x=2sin(2x-6),由2k+22x-62k+32得k+3xk+56,kZ,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為k+3,k+56.(2)a2+c2-b2a2+b2-c2=c2a-c,由余弦定理得2accosB2abcosC=ccosBbcosC=c2a-c,即2acos B-ccos B=bcos C,由正弦定理得2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C,2sin Acos B=sin(B+C)=sin A,cos B=12,B=3,ABC為銳角三角形,6<A<2,6<2A-6<56,f(A)=2sin(2A-6)的取值范圍為(1,2.5.(20xx貴陽(yáng)模擬)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,B=3.(1)若b2=ac,求角A,C的大小.(2)求sin A+sin C的取值范圍.解:(1)由已知B=3,在ABC中,根據(jù)余弦定理,得b2=a2+c2-2accos 3=a2+c2-ac,又已知b2=ac,所以a2+c2-ac=ac,即(a-c)2=0,所以a=c,所以A=C,而A+C=-3=23,所以A=C=3.(2)由已知得sin A+sin C=sin A+sin(23-A)=32sin A+32cos A=3（32sin A+12cos A）=3sin（A+6）,因?yàn)锳（0,23）,所以6<A+6<56,所以sin（A+6）(12,1,所以3sin (A+6)(32,3,即sin A+sin C的取值范圍為(32,3.6. 函數(shù)f(x)=6cos2x2+3sin x-3(>0)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示,A為圖象的最高點(diǎn),B、C為圖象與x軸的交點(diǎn),且ABC為正三角形.(1)求的值及函數(shù)f(x)的值域;(2)若f(x0)=835,且x0(-103,23),求f(x0+1)的值.解:(1)f(x)=6cos2x2+3sin x-3=3cos x+3sin x=23sin(x+3).由題意知正三角形ABC的高為23,則BC=4,所以函數(shù)f(x)的周期T=4×2=8,即2=8,解得=4.所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?23,23.(2)因?yàn)閒(x0)=835,由(1)有f(x0)=23sin(x04+3)=835,即sin(x04+3)=45,由x0(-103,23),得x04+3(-2,2).即cos(x04+3)=1-(45) 2=35,故f(x0+1)=23sin(x04+4+3)=23sin(x04+3)+4=23sin(x04+3)cos4+cos(x04+3)sin4=23(45×22+35×22)=765.7.(20xx昆明模擬)已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a,b,c成等差數(shù)列,且2cos 2B-8cos B+5=0,求角B的大小,并判斷ABC的形狀.解:因?yàn)?cos 2B-8cos B+5=0,所以2(2cos2B-1)-8cos B+5=0.所以4cos2B-8cos B+3=0,即(2cos B-1)(2cos B-3)=0.解得cos B=12或cos B=32(舍去).因?yàn)?<B<,所以B=3.因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列,所以a+c=2b.所以cos B=a2+c2-b22ac=a2+c2-(a+c2) 22ac=12,化簡(jiǎn)得a2+c2-2ac=0,解得a=c.所以ABC是等邊三角形.8.(20xx福州模擬)已知函數(shù)f(x)=2cos x2(3cos x2-sin x2),在ABC中,有f(A)=3+1.(1)若a2-c2=b2-mbc,求實(shí)數(shù)m的值;(2)若a=1,求ABC面積的最大值.解:(1)f(x)=2cos x2(3cos x2-sin x2)=23cos2x2-2sin x2cos x2=3+3cos x-sin x=3+2sin（3-x）,由f(A)=3+1,可得3+2sin（3-A）=3+1,所以sin（3-A）=12.又A(0,),所以3-A（-23,3）,所以3-A=6,即A=6.由a2-c2=b2-mbc及余弦定理,可得m2=b2+c2-a22bc=cos A=32,所以m=3.(2)由(1)知cos A=32,則sin A=12,又b2+c2-a22bc=cos A=32,所以b2+c2-a2=3bc2bc-a2,即bc(2+3)a2=2+3,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立,所以SABC=12cbsin A2+34,即ABC面積的最大值為2+34.