1 1二、中檔題專練 (一)120xx·長春監(jiān)測已知函數(shù)f(x)2sinxcosx2cos2x.(1)求函數(shù)yf(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)已知ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中a7，若銳角A滿足f，且sinBsinC，求ABC的面積解(1)f(x)2sinxcosx2cos2xsin2xcos2x2sin，因此f(x)的最小正周期為T.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為2k2x2k(kZ)，即x(kZ)(2)由f2sin2sinA，又A為銳角，所以A.由正弦定理可得2R，sinBsinC，則bc×13，由余弦定理可知，cosA，可求得bc40，故SABCbcsinA10.220xx·開封一模如圖1，在直角梯形ABCD中，ADC90°，CDAB，ADCDAB2，將ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到幾何體DABC，如圖2所示(1)求證：AD平面BCD；(2)求三棱錐CABD的高解(1)證明：平面ADC平面ABC，且ACBC，BC平面ACD，即ADBC，又ADCD，AD平面BCD.(2)由(1)得ADBD，SADB2，三棱錐BACD的高BC2，SACD2，×2h×2×2，可解得h.320xx·河南質(zhì)檢某園林基地培育了一種新觀賞植物，經(jīng)過一年的生長發(fā)育，技術(shù)人員從中抽取了部分植株的高度(單位：厘米)作為樣本(樣本容量為n)進行統(tǒng)計，按照50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本高度的莖葉圖(圖中僅列出了高度在50,60)，90,100的數(shù)據(jù))(1)求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x、y的值；(2)在選取的樣本中，從高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中隨機抽取2株，求所抽取的2株中至少有一株高度在90,100內(nèi)的概率解(1)由題意可知，樣本容量n50，y0.004，x0.1000.0040.0100.0160.0400.030.(2)由題意可知，高度在80,90)內(nèi)的株數(shù)為5，記這5株分別為a1，a2，a3，a4，a5，高度在90,100內(nèi)的株數(shù)為2，記這2株分別為b1，b2.抽取2株的所有情況有21種，分別為：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，a5)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，(b1，b2)其中2株的高度都不在90,100內(nèi)的情況有10種，分別為：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)所抽取的2株中至少有一株高度在90,100內(nèi)的概率P1.(二)120xx·云南統(tǒng)檢設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，對任意正整數(shù)n,3an2Sn2.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求證：Sn2Sn<S.解(1)對任意正整數(shù)n,3an2Sn2，3an12Sn12，3an13an2Sn12Sn0，即3an13an2(Sn1Sn)0，3an13an2an10，解得an13an.當(dāng)n1時，3a12S12，即a12，an2×3n1.數(shù)列an的通項公式為an2×3n1.(2)證明：由(1)可得Sn3n1，Sn13n11，Sn23n21，Sn2SnS4×3n<0，Sn2Sn<S.220xx·山西聯(lián)考某地隨著經(jīng)濟的發(fā)展，居民收入逐年增長，下表是該地一建設(shè)銀行連續(xù)五年的儲蓄存款(年底余額)，如下表1：年份x20xx20xx20xx20xx20xx儲蓄存款y(千億元)567810為了研究計算的方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進行了處理，tx20xx，zy5得到下表2：時間代號t12345z01235(1)求z關(guān)于t的線性回歸方程；(2)通過(1)中的方程，求出y關(guān)于x的回歸方程；(3)用所求回歸方程預(yù)測到年底，該地儲蓄存款額可達多少？附：對于線性回歸方程x，其中，解(1)3，2.2，tizi45，t55，1.2，2.23×1.21.4，z1.2t1.4.(2)將tx20xx，zy5，代入z1.2t1.4，得y51.2(x20xx)1.4，即y1.2x2408.4.(3)y1.2×20202408.415.6，預(yù)測到年底，該地儲蓄存款額可達15.6千億元3. 20xx·貴州七校聯(lián)考如圖，幾何體EFABCD中，CDEF為邊長為2的正方形，ABCD為直角梯形，ABCD，ADDC，AD2，AB4，ADF90°.(1)求證：ACFB；(2)求幾何體EFABCD的體積解(1)證明：由題意得，ADDC，ADDF，且DCDFD，AD平面CDEF，ADFC.四邊形CDEF為正方形，DCFC，DCADD，F(xiàn)C平面ABCD，F(xiàn)CAC.又四邊形ABCD為直角梯形，ABCD，ADDC，AD2，AB4，AC2，BC2，則有AC2BC2AB2，ACBC，又BCFCC，AC平面FCB，ACFB.(2)連接EC，過B作CD的垂線，垂足為N，易知BN平面CDEF，且BN2.VEFABCDVEABCDVBECFS梯形ABCD·DESEFC·BN，幾何體EFABCD的體積為.(三)120xx·重慶測試設(shè)數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且a1,22，a2,24，an,22n，成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)記Sn為數(shù)列an的前n項和，若Sk30(2k1)，求正整數(shù)k的最小值解(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則q222，又由題意q>0，故q2，從而an22n1，即數(shù)列an的通項公式為an22n1.(2)由(1)知a12，數(shù)列an是以22為公比的等比數(shù)列，故Sn(22n1)因此不等式Sk30(2k1)可化為(22k1)30(2k1)，即(2k1)(2k1)30(2k1)，因為2k1>0，所以2k46，即klog246.又5<log246<6，所以正整數(shù)k的最小值為6.2某青年教師專項課題進行“學(xué)生數(shù)學(xué)成績與物理成績的關(guān)系”的課題研究，對于高二年級800名學(xué)生上學(xué)期期末數(shù)學(xué)和物理成績，按優(yōu)秀和不優(yōu)秀分類得結(jié)果：數(shù)學(xué)和物理都優(yōu)秀的有60人，數(shù)學(xué)優(yōu)秀但物理不優(yōu)秀的有140人，物理優(yōu)秀但數(shù)學(xué)不優(yōu)秀的有100人(1)能否在犯錯概率不超過0.001的前提下認(rèn)為該校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績有關(guān)系？(2)4名成員隨機分兩組，每組2人，一組負責(zé)收集成績，另一組負責(zé)數(shù)據(jù)處理，求學(xué)生甲分到負責(zé)收集成績組且學(xué)生乙分到負責(zé)數(shù)據(jù)處理組的概率附：K2，nabcdP(K2k0)0.0100.0050.001k06.6357.87910.828解(1)由題意可得列聯(lián)表：物理優(yōu)秀 物理不優(yōu)秀總計數(shù)學(xué)優(yōu)秀60140200數(shù)學(xué)不優(yōu)秀100500600總計160640800因為K216.667>10.828，所以能在犯錯概率不超過0.001的前提下認(rèn)為該校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績有關(guān)(2)設(shè)其他學(xué)生為丙和丁，4人分組的情況如下表：小組123456收集成績甲乙甲丙甲丁乙丙乙丁丙丁數(shù)據(jù)處理丙丁乙丁乙丙甲丁甲丙甲乙分組的情況總共有6種，學(xué)生甲負責(zé)收集成績且學(xué)生乙負責(zé)數(shù)據(jù)處理占2種，所以學(xué)生甲負責(zé)收集成績且學(xué)生乙負責(zé)數(shù)據(jù)處理的概率P.320xx·廣州模擬在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA13，BC2，D是BC的中點，F(xiàn)是C1C上一點(1)當(dāng)CF2時，證明：B1F平面ADF；(2)若FDB1D，求三棱錐B1ADF的體積解(1)證明：因為ABAC，D是BC的中點，所以ADBC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，因為B1B底面ABC，AD底面ABC，所以ADB1B.因為BCB1BB，所以AD平面B1BCC1.因為B1F平面B1BCC1，所以ADB1F.在矩形B1BCC1中，因為C1FCD1，B1C1CF2，所以RtDCFRtFC1B1，所以CFDC1B1F，所以B1FD90°.(或通過計算FDB1F，B1D，得到B1FD為直角三角形)所以B1FFD.因為ADFDD，所以B1F平面ADF.(2)由(1)可得AD平面B1DF，AD2，因為D是BC的中點，所以CD1.在RtB1BD中，BDCD1，BB13，所以B1D.因為FDB1D，所以RtCDFRtBB1D，所以，所以DF×，所以VB1ADFSB1DF·AD××××2.(四)120xx·貴州八校聯(lián)考在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m(ab，sinAsinC)，向量n(c，sinAsinB)，且mn.(1)求角B的大小；(2)設(shè)BC中點為D，且AD，求a2c的最大值及此時ABC的面積解(1)因為mn，故有(ab)(sinAsinB)c(sinAsinC)0由正弦定理可得(ab)(ab)c(ac)0，即a2c2b2ac，由余弦定理可知cosB，因為B(0，)，所以B.(2)設(shè)BAD，則在BAD中，由B可知，由正弦定理及AD有2；所以BD2sin，AB2sincossin，所以a2BD4sin，cABcossin，從而a2c2cos6sin4sin，由可知，所以當(dāng)，即時，a2c的最大值為4；此時a2，c，所以SacsinB.2如圖，已知AF平面ABCD，四邊形ABEF為矩形，四邊形ABCD為直角梯形，DAB90°，ABCD，ADAFCD2，AB4.(1)求證：AC平面BCE；(2)求三棱錐EBCF的體積解(1)證明：過點C作CMAB，垂足為M，因為ADDC，所以四邊形ADCM為矩形，所以AMMB2，又AD2，AB4，所以AC2，CM2，BC2，所以AC2BC2AB2，所以ACBC，因為AF平面ABCD，AFBE，所以BE平面ABCD，所以BEAC.又BE平面BCE，BC平面BCE，且BEBCB，所以AC平面BCE.(2)因為AF平面ABCD，所以AFCM，又CMAB，AF平面ABEF，AB平面ABEF，AFABA，所以CM平面ABEF.VEBCFVCBEF××BE×EF×CM×2×4×2.3電影功夫熊貓3預(yù)計在1月29日上映某地電影院為了了解當(dāng)?shù)赜懊詫ζ眱r的看法，進行了一次調(diào)研，得到了票價x(單位：元)與渴望觀影人數(shù)y(單位：萬人)的結(jié)果如下表：x(單位：元)30405060y(單位：萬人)4.5432.5(1)若y與x具有較強的相關(guān)關(guān)系，試分析y與x之間是正相關(guān)還是負相關(guān)；(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；(3)根據(jù)(2)中求出的線性回歸方程，預(yù)測票價定為多少元時，能獲得最大票房收入?yún)⒖脊剑海?解(1)由表中數(shù)據(jù)易知，y隨x的增大而減小，故y與x之間是負相關(guān)(2)由表中數(shù)據(jù)可得45，3.5，xiyi4 35，x42500，則0.07，3.50.07×456.65，所以，所求線性回歸方程為0.07x6.65.(3)根據(jù)(2)中的線性回歸方程，若票價為x元，則渴望觀影人數(shù)為(0.07x6.65)萬人，可預(yù)測票房收入為zx(0.07x6.65)0.07x26.65x，易得，當(dāng)x47.5時，z取得最大值，即票價定為47.5元時，能獲得最大票房收入