【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）20xx屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8篇 第3節(jié) 橢圓課時訓(xùn)練 理【選題明細表】知識點、方法題號橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1、2、3、4、7、8、11、13橢圓的幾何性質(zhì)5、6、12、14、15、17直線與橢圓的位置關(guān)系9、10、12、16基礎(chǔ)過關(guān)一、選擇題1.已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍,則橢圓的離心率等于(D)(A)13(B)33(C)12(D)32解析:由題意得ba=12,e=ca=1-(12) 2=32.2.已知橢圓的焦點為F1(-1,0)和F2(1,0),P是橢圓上的一點,且|F1F2|是|PF1| 與|PF2|的等差中項,則該橢圓的方程為(C)(A)x216+y29=1(B)x216+y212=1(C)x24+y23=1(D)x23+y24=1解析:由題意知c=1,|F1F2|=|PF1|+|PF2|2,即a=2c=2,b2=a2-c2=3,故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1.3.(20xx廣東四校聯(lián)考)已知橢圓的方程為2x2+3y2=m(m>0),則此橢圓的離心率為(B)(A)13(B)33(C)22(D)12解析:由題意得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2m2+y2m3=1,a2=m2,b2=m3,c2=a2-b2=m6,e2=c2a2=13,e=33.4.P是橢圓x25+y24=1上的一點,F1和F2是焦點,若F1PF2=30°,則F1PF2的面積等于(B)(A)1633 (B)4(2-3)(C)16(2+3)(D)16解析:由題意知c=1;|PF1|+|PF2|=25,|F1F2|=2,在F1PF2中有:|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 30°=|F1F2|2,(|PF1|+|PF2|)2-(2+3)|PF1|·|PF2|=4,|PF1|·|PF2|=16(2-3),F1PF2的面積等于12|PF1|·|PF2|sin 30°=4(2-3).5.(20xx杭州市第一次統(tǒng)測)若P是以F1、F2為焦點的橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一點,且PF1·PF2=0,tan PF1F2=12,則此橢圓的離心率為(A)(A)53(B)23(C)13(D)12解析:PF1·PF2=0,PF1PF2,在RtPF1F2中,設(shè)|PF2|=1,則|PF1|=2,|F1F2|=5,2a=|PF1|+|PF2|=3,2c=5,故此橢圓的離心率e=2c2a=53.6.設(shè)F1、F2為橢圓的兩個焦點,以F2為圓心作圓F2,已知圓F2經(jīng)過橢圓的中心,且與橢圓的一個交點為M,若直線MF1恰與圓F2相切,則該橢圓的離心率e為(A)(A)3-1(B)2-3(C)22(D)32解析:易知圓F2的半徑為c,由題意知RtMF1F2中|MF2|=c,|MF1|=2a-c,|F1F2|=2c且MF1MF2,所以(2a-c)2+c2=4c2,(ca)2+2(ca)-2=0,ca=3-1.即e=3-1.故選A.7.(20xx四川廣安一模)若點O和點F分別為橢圓x24+y23=1的中心和左焦點,點P為橢圓上的任意一點,則OP·FP的最大值為(C)(A)2(B)3(C)6(D)8解析:由橢圓x24+y23=1可得點F(-1,0),點O(0,0),設(shè)P(x,y),-2x2,則OP·FP=(x,y)·(x+1,y)=x2+x+y2=x2+x+3(1-x24)=14x2+x+3=14(x+2)2+2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時,OP·FP取得最大值6.8.過點A(3,-2)且與橢圓x29+y24=1有相同焦點的橢圓的方程為(A)(A)x215+y210=1(B)x225+y220=1(C)x210+y215=1(D)x220+y215=1解析:由題意得c2=9-4=5,又已知橢圓的焦點在x軸上,故所求橢圓方程可設(shè)為x2+5+y2=1(>0),代入點A的坐標(biāo)得9+5+4=1,解得=10或=-2(舍去).故所求橢圓的方程為x215+y210=1.故選A.二、填空題9.(20xx江西省師大附中、臨川一中聯(lián)考)已知直線x-2y+2=0過橢圓x2a2+y2b2=1(a>0,b>0,a>b)的左焦點F1和一個頂點B,則該橢圓的離心率e=. 解析:由x-2y+2=0得y=12x+1,令y=0,得x=-2,F1(-2,0),令x=0,得y=1,B(0,1),c=2,b=1.a=b2+c2=5,e=ca=255.答案:25510.(20xx安徽安慶模擬)已知斜率為-12的直線l交橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)于A、B兩點,若點P(2,1)是AB的中點,則C的離心率等于. 解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,兩式相減得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,又因為AB的中點是(2,1),4(x1-x2)a2+2(y1-y2)b2=0,kAB=y1-y2x1-x2=-2b2a2=-12,b2a2=14,e=1-b2a2=32.答案:3211.(20xx高考上海卷)設(shè)AB是橢圓的長軸,點C在上,且CBA=4.若AB=4,BC=2,則的兩個焦點之間的距離為. 解析:如圖所示,以AB的中點O為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的坐標(biāo)系.設(shè)D在AB上,且CDAB,AB=4,BC=2,CBA=4CD=1,DB=1,C(1,1).2a=4,a=2,把C(1,1)代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得1a2+1b2=1,1b2=1-1a2=34,b2=43,c2=83c=263,2c=436.答案:436三、解答題12.(20xx高考新課標(biāo)全國卷)設(shè)F1,F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,M是C上一點且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個交點為N.(1)若直線MN的斜率為34,求C的離心率;(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.解:(1)根據(jù)c=a2-b2及題設(shè)知M(c,b2a),2b2=3ac.將b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得ca=12,ca=-2(舍去).故C的離心率為12.(2)由題意知,原點O為F1F2的中點,MF2y軸,所以直線MF1與y軸的交點D(0,2)是線段MF1的中點,故b2a=4,即b2=4a.由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.設(shè)N(x1,y1),由題意知y1<0,則2(-c-x1)=c,-2y1=2,即x1=-32c,y1=-1.代入C的方程,得9c24a2+1b2=1.將及c=a2-b2代入得9(a2-4a)4a2+14a=1,解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=27.13.已知橢圓x2+y2b2=1(0<b<1)的左焦點為F,左、右頂點分別為A、C,上頂點為B,過F、B、C三點作圓P,其中圓心P的坐標(biāo)為(m,n).(1)若FC是圓P的直徑,求橢圓的離心率;(2)若圓P的圓心在直線x+y=0上,求橢圓的方程.解:(1)由橢圓的方程知a=1,點B(0,b),C(1,0).設(shè)F的坐標(biāo)為(-c,0)(c>0),FC是圓P的直徑,FBBC,kBC=-b,kBF=bc,-b·bc=-1,b2=c=1-c2,c2+c-1=0,解得c=5-12,橢圓的離心率e=ca=5-12.(2)圓P過F、B、C三點,圓心P既在FC的垂直平分線上,也在BC的垂直平分線上,FC的垂直平分線方程為x=1-c2,BC的中點為12,b2,kBC=-b,BC的垂直平分線方程為y-b2=1bx-12,由得x=1-c2,y=b2-c2b,即m=1-c2,n=b2-c2b.P(m,n)在直線x+y=0上,1-c2+b2-c2b=0(1+b)(b-c)=0.1+b>0,b=c.由b2=1-c2得b2=12,橢圓的方程為x2+y212=1.能力提升14.(20xx北京市海淀區(qū)期末)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點分別為F1,F2,若橢圓C上恰好有6個不同的點P,使得F1F2P為等腰三角形,則橢圓C的離心率的取值范圍是(D)(A)(13,23)(B)(12,1)(C)(23,1)(D)(13,12)(12,1)解析:當(dāng)點P位于橢圓的兩個短軸端點時,F1F2P為等腰三角形,此時有2個.若點P不在短軸的端點時,要使F1F2P為等腰三角形,則有PF1=F1F2=2c或 PF2=F1F2=2c.不妨設(shè)PF1=F1F2=2c.此時PF2=2a-2c.所以有PF1+F1F2>PF2,即2c+2c>2a-2c,所以3c>a,即ca>13,又當(dāng)點P不在短軸上,所以PF1BF1,即2ca,所以ca12.所以橢圓的離心率滿足13<e<1且e12,所以選D.15.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),M、N是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點,P是橢圓上任意一點,且直線PM、PN的斜率分別為k1,k2,若|k1k2|=14,則橢圓的離心率e=. 解析:設(shè)P(x,y),M(x0,y0),N(-x0,-y0),則k1=y-y0x-x0,k2=y+y0x+x0,由題意有|k1k2|=|y-y0x-x0·y+y0x+x0|=|y2-y02x2-x02|=14,P、M、N在橢圓上,x2a2+y2b2=1,x02a2+y02b2=1,兩式相減得x2-x02a2+y2-y02b2=0,即y2-y02x2-x02=-b2a2,b2a2=14,即a2-c2a2=14,解得e=ca=32.答案:3216.(20xx高考安徽卷)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距為4,且過點P(2,3).(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)Q(x0,y0)(x0y00)為橢圓C上一點,過點Q作x軸的垂線,垂足為E.取點A(0,22),連接AE,過點A作AE的垂線交x軸于點D.點G是點D關(guān)于y軸的對稱點,作直線QG,問這樣作出的直線QG是否與橢圓C一定有唯一的公共點?并說明理由.解:(1)因為橢圓過點P(2,3)2a2+3b2=1且a2=b2+c2 a2=8,b2=4,c2=4橢圓C的方程是x28+y24=1.(2)一定有唯一的公共點.理由:由題意知,點E坐標(biāo)為(x0,0).設(shè)D(xD,0),則AE=(x0,-22),AD=(xD,-22).再由ADAE知,AE·AD=0,即xDx0+8=0.由于x0y00,故xD=-8x0.因為點G是點D關(guān)于y軸的對稱點,所以點G(8x0,0).故直線QG的斜率kQG=y0x0-8x0=x0y0x02-8.又因為點Q(x0,y0)在橢圓C上,所以x02+2y02=8.從而kQG=-x02y0.故直線QG的方程為y=-x02y0(x-8x0).將代入橢圓C的方程,化簡,得(x02+2y02)x2-16x0x+64-16y02=0.再將代入,化簡得x2-2x0x+x02=0.解得x=x0,則y=y0,即直線QG與橢圓C一定有唯一的公共點.探究創(chuàng)新17.如圖,B(-c,0),C(c,0),AHBC,垂足為H,且BH=3HC.又AD=-4DB,且A、D同在B、C為焦點的橢圓上,求橢圓的離心率.解:設(shè)以B、C為焦點的橢圓為x2a2+y2b2=1,焦距為c.再設(shè)點A、D的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則|BC|=2c,且B、C的坐標(biāo)分別為(-c,0),(c,0),由BH=3HC可得,x1=c2,又AD=-4DB得AD=4BD由向量的坐標(biāo)運算得:(x2-x1,y2-y1)=4(x2+c,y2)因此,x2-x1=4(x2+c),y2-y1=4y2,又x1=c2所以,x2=-3c2,y2=-y13得A(c2,y1),D(-3c2,-y13)代入橢圓方程得:e24+y12b2=1,9e24+y129b2=1以整體代入法解得e=105.