1 1第3節(jié)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用課時訓練 練題感 提知能【選題明細表】知識點、方法題號向量的數(shù)量積2、4、10長度及夾角、垂直問題1、3、7、9、12、15平面向量的應用5、6、8、13、16與向量有關的新情境問題11、14A組一、選擇題1.(高考大綱全國卷)已知向量m=(+1,1),n=(+2,2),若(m+n)(m-n),則等于(B)(A)-4(B)-3(C)-2(D)-1解析:m+n=(2+3,3),m-n=(-1,-1),由題意知(m+n)·(m-n)=0,即-(2+3)-3=0,因此=-3.故選B.2.(高考湖北卷)已知點A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),則向量AB在CD方向上的投影為(A)(A)322(B)3152(C)-322(D)-3152解析:AB=(2,1),CD=(5,5),設AB,CD的夾角為,則AB在CD方向上的投影為|AB|cos =AB·CD|CD|=1552=322.故選A.3.若向量a、b滿足|a|=|b|=2,a與b的夾角為60°,則|a+b|等于(B)(A)22+3(B)23(C)4 (D)12解析:|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a|b|cos 60°=4+4+2×2×2×12=12,|a+b|=23.故選B.4.(20xx廣東高三綜合測試)對于任意向量a、b、c,下列命題中正確的是(D)(A)|a·b|=|a|b| (B)|a+b|=|a|+|b|(C)(a·b)c=a(b·c)(D)a·a=|a|2解析:a·a=|a|·|a|cos 0°=|a|2.故選D.5.(20xx潮州市高三期末質(zhì)檢)平面四邊形ABCD中,AB+CD=0,(AB-AD)·AC=0,則四邊形ABCD是(B)(A)矩形(B)菱形(C)正方形(D)梯形解析:由AB+CD=0,得AB=-CD=DC,故平面四邊形ABCD是平行四邊形,又(AB-AD)·AC=0,故DB·AC=0,所以DBAC,即對角線互相垂直,所以四邊形ABCD是菱形.6.(20xx浙江金麗衢十二校聯(lián)考)在ABC中,AB=(cos 18°,cos 72°),BC=(2cos 63°,2cos 27°),則角B等于(B)(A)4(B)34(C)3(D)23解析:AB·BC=2cos 18°cos 63°+2cos 72°cos 27°=2sin 27°cos 18°+2cos 27°sin 18°=2sin(27°+18°)=2sin 45°=2.而|AB|=1,|BC|=2,cos B=-AB·BC|AB|BC|=-22,又B(0,),故B=34.故選B.7.(20xx河北唐山一模)已知向量a,b滿足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,則a與b的夾角為(C)(A)4(B)6(C)3(D)2解析:設a與b的夾角為,由|a|=1,|b|=2,得(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=1+1×2×cos -2×4=-6,解得cos =12.再由0可得=3.故選C.二、填空題8.一質(zhì)點受到平面上的三個力F1、F2、F3(單位:牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài).已知F1、F2成60°角,且F1、F2的大小分別為2和4,則F3的大小為. 解析:由題意知F3=-(F1+F2),|F3|=|F1+F2|,|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1|F2|cos 60°=28,|F3|=27.答案:279.(20xx佛山質(zhì)檢(二)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,(a-b)a,向量a與b的夾角為. 解析:(a-b)a,(a-b)·a=a2-a·b=0,a·b=1,設a與b夾角則cos =11×2=22,又0,所以=4.答案:410.(20xx廣東六校聯(lián)考)如圖所示,等邊ABC中,AB=2AD=4AE=4,則BE·CD=. 解析:BE=BA+AE=-AB+14AC,CD=CA+AD=-AC+12AB,BE·CD=(-AB+14AC)·(-AC+12AB)=98AB·AC-12AB2-14AC2=98×4×4cos A-12×42-14×42=9-8-4=-3.答案:-311.(20xx清遠市調(diào)研)定義:對于向量a,b的運算a×b的結(jié)果是一個向量,它的方向與a,b都平行的平面垂直,a×b的長度(即模)為|a×b|=|a|·|b|sin ,其中為a與b的夾角,若a=(1,2),b=(2,1),計算|a×ba·b|=. 解析:由已知可得cos =a·b|a|·|b|=45,故sin =35,據(jù)已知定義可得|a×ba·b|=5×5×354=34.答案:34三、解答題12.已知a=(1,2),b=(-2,n)(n>1),a與b的夾角是45°.(1)求b;(2)若c與b同向,且a與c-a垂直,求c.解:(1)a·b=2n-2,|a|=5,|b|=n2+4,cos 45°=a·b|a|b|=2n-25·n2+4=22,3n2-16n-12=0(n>1).n=6或n=-23(舍).b=(-2,6).(2)由(1)知,a·b=10,|a|2=5.又c與b同向,可設c=b(>0).(c-a)·a=0,b·a-|a|2=0.=|a|2b·a=510=12.c=12b=(-1,3).13.設a=(1+cos x,1+sin x),b=(1,0),c=(1,2).(1)求證:(a-b)(a-c);(2)求|a|的最大值,并求此時x的值.(1)證明:由已知得a-b=(cos x,1+sin x),a-c=(cos x,sin x-1),則(a-b)·(a-c)=(cos x,1+sin x)·(cos x,sin x-1)=cos2x+sin2x-1=0.故(a-b)(a-c).(2)解:|a|=(1+cosx)2+(1+sinx)2=3+2(sinx+cosx)=3+22sinx+43+22=2+1.當sinx+4=1,即x=4+2k(kZ)時,|a|有最大值2+1.B組14.(20xx肇慶中小學質(zhì)量評估檢測)定義空間兩個向量的一種運算ab=|a|·|b|sin <a,b>,則關于空間向量上述運算的以下結(jié)論中,ab=ba;(ab)=(a)b;(a+b)c=(ac)+(bc);若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=|x1y2-x2y1|.恒成立的個數(shù)是(B)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:顯然恒成立;(ab)=|a|·|b|sin<a,b>,(a)b=|a|·|b|sin<a,b>,當<0時,(ab)=(a)b不成立.當a,b,c不共面時,(a+b)c=(ac)+(bc)不成立,例如取a,b,c為兩兩垂直的單位向量,易知(a+b)c=2,(ac)+(bc)=2.由ab=|a|·|b|·sin <a,b>,a·b=|a|·|b|cos <a,b>,可知(ab)2+(a·b)2=|a|2·|b|2,(ab)2=|a|2·|b|2-(a·b)2=(x12+y12)(x22+y22)-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2,故ab=|x1y2-x2y1|恒成立,故恒成立的個數(shù)是2.故選B.15.(高考天津卷)在平行四邊形ABCD中,AD=1,BAD=60°,E為CD的中點.若AC·BE=1,則AB的長為. 解析:如圖AC·BE=(AB+BC)·(BC+CE)=(AB+BC)·(BC-12AB)=AB·BC-12AB·AB+BC·BC-12AB·BC=12|AB|BC|×12-12|AB|2+1=1.得|AB|=12|BC|=12,則AB的長為12.答案:1216.(高考陜西卷)已知向量a=(cos x,-12),b=(3sin x,cos 2x),xR,設函數(shù)f(x)=a·b.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在0,2上的最大值和最小值.解:f(x)=(cos x,-12)·(3sin x,cos 2x)=3cos xsin x-12cos 2x=32sin 2x-12cos 2x=cos6sin 2x-sin6cos 2x=sin2x-6.(1)f(x)的最小正周期為T=2=22=,即函數(shù)f(x)的最小正周期為.(2)0x2,-62x-656.由正弦函數(shù)的性質(zhì),知當2x-6=2,即x=3時,f(x)取得最大值1.當2x-6=-6,即x=0時,f(x)取得最小值-12,因此,f(x)在0,2上的最大值是1,最小值是-12.