1 1課時規(guī)范練59幾何概型一、選擇題1.一數(shù)學(xué)興趣小組利用幾何概型的相關(guān)知識做實(shí)驗(yàn)計算圓周率,他們向一個邊長為1米的正方形區(qū)域均勻撒豆,測得正方形區(qū)域有豆5 120顆,正方形的內(nèi)切圓區(qū)域有豆4 009顆,則他們所測得的圓周率為(保留三位有效數(shù)字)()A.3.13B.3.14C.3.15D.3.16答案:A解析:根據(jù)幾何概型的定義有,得3.13.2.在長為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)M,并以線段AM為邊作正方形,則這個正方形的面積介于36 cm2與81 cm2之間的概率為()A.B.C.D.答案:A解析:面積為36 cm2時,邊長AM=6 cm;面積為81 cm2時,邊長AM=9 cm.P=.3.在面積為S的ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P,則PBC的面積大于的概率是()A.B.C.D.答案:C解析:如圖,在AB邊上取點(diǎn)P',來源:使,則P只能在AP'上(不包括P'點(diǎn))運(yùn)動,則所求概率為.4.若在區(qū)間-5,5內(nèi)任取一個實(shí)數(shù)a,則使直線x+y+a=0與圓(x-1)2+(y+2)2=2有公共點(diǎn)的概率為()A.B.C.D.答案:B解析:若直線與圓有公共點(diǎn),則圓心到直線的距離d=,解得-1a3.又a-5,5,故所求概率為.5.如圖,在圓心角為直角的扇形OAB中,分別以O(shè)A,OB為直徑作兩個半圓.在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是()A.B.C.1-D.答案:C來源:數(shù)理化網(wǎng)解析:設(shè)OA=OB=2R,連接AB,如圖所示,由對稱性可得,陰影的面積就等于直角扇形拱形的面積,S陰影=(2R)2-×(2R)2=(-2)R2,S扇=R2,故所求的概率是=1-.6.一只蜜蜂在一個棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行,若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1,稱其為“安全飛行”,則蜜蜂“安全飛行”的概率為()A.B.C.D.答案:C解析:由已知條件可知,蜜蜂只能在一個棱長為1的小正方體內(nèi)飛行,結(jié)合幾何概型可得蜜蜂“安全飛行”的概率為P=.二、填空題7.在區(qū)間-1,2上隨機(jī)取一個數(shù)x,則x0,1的概率為. 答案:解析:-1,2的區(qū)間長度為3,0,1的區(qū)間長度為1,根據(jù)幾何概型知所求概率為.8.在區(qū)域M=內(nèi)隨機(jī)撒一把黃豆,落在區(qū)域N=內(nèi)的概率是. 答案:解析:畫出區(qū)域M,N,如圖,區(qū)域M為矩形OABC,區(qū)域N為圖中陰影部分.S陰影=×4×2=4,故所求概率P=.9.點(diǎn)A為周長等于3的圓周上的一個定點(diǎn),若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B,則劣弧的長度小于1的概率為. 來源:數(shù)理化網(wǎng)來源:數(shù)理化網(wǎng)答案:解析:圓周上使弧的長度為1的點(diǎn)M有兩個,設(shè)為M1,M2,則過A的圓弧的長度為2,B點(diǎn)落在優(yōu)弧上就能使劣弧的長度小于1,所以劣弧的長度小于1的概率為.10.在ABC中,B=60°,C=45°,ADBC,AD=,自點(diǎn)A在BAC內(nèi)任作一條射線AM交BC于點(diǎn)M,則“BM<1”的概率是. 答案:解析:當(dāng)BM=1時,點(diǎn)M與點(diǎn)D重合,即“事件BM<1”要發(fā)生,則射線AM所在區(qū)域?yàn)锽AD內(nèi)部任一位置,易得BAC=75°,BAD=30°,故所求概率為P=.11.在區(qū)間-,內(nèi)隨機(jī)取兩個數(shù)分別記為a,b,則使得函數(shù)f(x)=x2+2ax-b2+有零點(diǎn)的概率為. 解:a,b使得函數(shù)f(x)=x2+2ax-b2+有零點(diǎn),0.a2+b2,試驗(yàn)發(fā)生時包含的所有事件是=(a,b)|-a,-b.S=(2)2=42,而滿足條件的事件是(a,b)|a2+b2,S=42-2=32,由幾何概型公式得到P=.三、解答題12.在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)x,求cos x的值介于0到之間的概率.解:如圖,在上任取x,0<cos x<的x的取值范圍是x.記“cos x的值介于0到之間”為事件A,則P(A)=.13.甲打靶射擊,有4發(fā)子彈,其中有一發(fā)是空彈.(1)求空彈出現(xiàn)在第一槍的概率;(2)求空彈出現(xiàn)在前三槍的概率;(3)如果把空彈換成實(shí)彈,甲前三槍在靶上留下三個分別相距3,4,5的彈孔P,Q,R,第四槍瞄準(zhǔn)了三角形PQR射擊,第四個彈孔落在三角形PQR內(nèi),求第四個彈孔與前三個彈孔的距離都超過1的概率(忽略彈孔大小).來源:解:設(shè)四發(fā)子彈編號為0(空彈),1,2,3,(1)設(shè)第一槍出現(xiàn)“空彈”的事件為A,第一槍有4個基本事件,則P(A)=.(2)法一:前三槍出現(xiàn)“空彈”的事件為B,則第四槍出現(xiàn)“空彈”的事件為,那么P()=P(A),P(B)=1-P()=1-P(A)=1-.法二:前三槍共有4個基本事件0,1,2,0,1,3,0,2,3,1,2,3,滿足條件的有三個,則P(B)=.(3)RtPQR的面積為6,分別以P,Q,R為圓心、1為半徑的三個扇形的面積和為,設(shè)第四個彈孔與前三個彈孔的距離都超過1的事件為C,P(C)=1-.14.已知函數(shù)f(x)=ax+b,x-1,1,a,bR,且是常數(shù).(1)若a是從-2,-1,0,1,2五個數(shù)中任取的一個數(shù),b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù),求函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)的概率;(2)若a是從區(qū)間-2,2中任取的一個數(shù),b是從區(qū)間0,2中任取的一個數(shù),求函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)的概率.解:(1)函數(shù)f(x)=ax+b,x-1,1為奇函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)x-1,1,f(-x)=-f(x),即b=0,基本事件共15個:(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),其中第一個數(shù)表示a的取值,第二個數(shù)表示b的取值.設(shè)事件A為“函數(shù)f(x)=ax+b,x-1,1為奇函數(shù)”,包含的基本事件有5個:(-2,0),(-1,0),(0,0),(1,0),(2,0),事件A發(fā)生的概率為P(A)=.(2)設(shè)事件B為“函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)”,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?a,b)|-2a2,0b2,區(qū)域面積為4×2=8.構(gòu)成事件B的區(qū)域?yàn)?a,b)|a=b=0(a,b)|-2a2,0b2,a0且(a+b)(b-a)<0,即(a,b)|a=b=0(a,b)|-2a2,0b2,a0且-1<<1,區(qū)域面積為×4×2=4,事件B發(fā)生的概率為P(B)=.15.一只螞蟻在邊長分別為5,6,的三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行,試求其恰在離三個頂點(diǎn)距離都大于1的地方的概率.解:由題意,畫出示意圖(如圖所示).在ABC中,由余弦定理,得cos B=.于是sin B=.所以SABC=×5×6×=9.又圖中陰影部分的面積為ABC的面積減去半徑為1的半圓的面積,即為S陰影=9-,所以螞蟻恰在離三個頂點(diǎn)距離都大于1的地方的概率為P=1-.四、選做題1.如圖,三行三列的方陣中有九個數(shù)aij(i=1,2,3;j=1,2,3),從中任取三個數(shù),則至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率是()A.B.C.D.答案:D解析:從九個數(shù)中任取三個數(shù)的不同取法共有=84(種),因?yàn)槿〕龅娜齻€數(shù)分別位于不同的行與列的取法共有··=6,所以至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率為1-.2.在長度為3的線段上隨機(jī)分成兩段,則其中一段的長度大于2的概率為. 答案:解析:在長度為3的線段上隨機(jī)分成兩段,所以設(shè)其中一段長度為x,則0<x<3;而其中一段的長度大于2,則所以,解得2<x<3或0<x<1,所以概率為P=.3.已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)=ax2-4bx+1.(1)設(shè)集合P=1,2,3和Q=-1,1,2,3,4,分別從集合P和Q中隨機(jī)取一數(shù)作為a和b,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間1,+)上是增函數(shù)的概率;(2)設(shè)點(diǎn)(a,b)是區(qū)域內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn),求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間1,+)上是增函數(shù)的概率.解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax2-4bx+1的圖象的對稱軸為x=,要使f(x)=ax2-4bx+1在區(qū)間1,+)上為增函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)a>0且1,即2ba.若a=1,則b=-1;若a=2,則b=-1,1;若a=3,則b=-1,1.所以事件包含基本事件的個數(shù)是1+2+2=5,即所求事件的概率為.(2)由(1),知當(dāng)且僅當(dāng)2ba且a>0時,函數(shù)f(x)=ax2-4bx+1在區(qū)間1,+)上為增函數(shù),依條件,可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)?由得交點(diǎn)坐標(biāo)為,所以所求事件的概率為P=.