1 1課時(shí)提升作業(yè)(四十七)一、選擇題1.在下列條件中,使M與A,B,C一定共面的是()(A)OM=2OA-OB-OC(B)OM=15OA+13OB+12OC(C)MA+MB+MC=0(D)OM+OA+OB+OC=02.若向量c垂直于不共線的向量a和b,d=a+b(,R,且0),則()(A)cd(B)cd(C)c不平行于d,c也不垂直于d(D)以上三種情況均有可能3.若a,b是兩個(gè)非零向量,且a2·b=b2·a,則向量a,b的關(guān)系是()(A)a=b(B)a,b共線但不一定相等(C)a,b不共線(D)a,b為任意非零向量4.如圖,已知空間四邊形的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于a,點(diǎn)E,F,G分別為AB,AD,DC的中點(diǎn),則a2等于()(A)2BA·AC(B)2AD·BD(C)2FG·CA(D)2EF·CB5.(20xx·福州模擬)如圖,在底面為平行四邊形的四棱柱ABCD - A1B1C1D1中,M是AC與BD的交點(diǎn),若AB=a,A1D1=b,A1A=c,則下列向量中與B1M相等的向量是()(A)-12a+12b+c(B)12a+12b+c(C)12a-12b+c(D)-12a-12b+c6.(20xx·六安模擬)已知空間四邊形ABCD中,O是空間中任意一點(diǎn),OA=a,OB=b,OC=c,點(diǎn)M在OA上,且OM=2MA,N為BC中點(diǎn),則MN=()(A)12a-23b+12c(B)-23a+12b+12c(C)12a+12b-12c(D)23a+23b-12c7.設(shè)A,B,C,D是空間不共面的四個(gè)點(diǎn),且滿足AB·AC=0,AD·AC=0,AD·AB=0,則BCD的形狀是()(A)鈍角三角形(B)直角三角形(C)銳角三角形(D)無(wú)法確定8.正方體ABCD -A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)M在AC1上且AM=12MC1,N為B1B的中點(diǎn),則|MN|為()(A)216(B)66(C)156(D)1539.(20xx·武漢模擬)平面與平面的夾角為60°,A,B是l上的兩點(diǎn),AC,BD分別在半平面,內(nèi),ACl,BDl,且AB=AC=a,BD=2a,則CD的長(zhǎng)為()(A)2a(B)5a(C)a(D)3a10.(能力挑戰(zhàn)題)已知ABCD為四面體,O為BCD內(nèi)一點(diǎn)(如圖),則AO=13(AB+AC+AD)是O為BCD的重心的()(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分又不必要條件二、填空題11.在空間四邊形ABCD中,AB·CD+BC·AD+CA·BD=.12.(20xx·焦作模擬)已知空間四邊形ABCD的對(duì)角線為AC,BD,設(shè)G是CD的中點(diǎn),則AB+12(BD+BC)等于.13.已知G是ABC的重心,O是空間與G不重合的任一點(diǎn),若OA+OB+OC=OG,則=.14.(20xx·長(zhǎng)沙模擬)空間四邊形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,OAC=45°,OAB=60°,則OA與BC的夾角的余弦值等于.三、解答題15.正方體ABCD -A1B1C1D1中,M,N分別為正方形ABCD和AA1B1B的中心.(1)求證:AC1平面A1BD.(2)求D1M與CN夾角的余弦值.答案解析1.【解析】選C.MA+MB+MC=0,即MA=-(MB+MC),所以M與A,B,C共面.2.【解析】選B.由題意,c垂直于由a,b確定的平面.d=a+b,d與a,b共面.cd.3.【解析】選B.a2·b=b2·a,即|a|2·b=|b|2·a,b=·a,a與b共線,但不一定相等.4.【解析】選B.2AD·BD=2·a·a·cos60°=a2.5.【解析】選A.B1M=B1B+BM=A1A+12BD=c+12(AD-AB)=c+12(b-a)=-12a+12b+c.6.【解析】選B.不妨設(shè)O點(diǎn)與D點(diǎn)重合, 則MN=MA+AB+BN=13OA+(OB-OA)+12(OC-OB)=-23OA+12OB+12OC=-23a+12b+12c.7.【思路點(diǎn)撥】通過BC·BD,DB·DC,CB·CD的符號(hào)判斷BCD各內(nèi)角的大小,進(jìn)而確定出三角形的形狀.【解析】選C.BC·BD=(AC-AB)·(AD-AB)=AC·AD-AC·AB-AB·AD+=>0,同理DB·DC>0,CB·CD>0.故BCD為銳角三角形.8.【解析】選A.如圖,設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c,則a·b=b·c=c·a=0.由條件知MN=MA+AB+BN=-13(a+b+c)+a+12c=23a-13b+16c,=2136=712,|MN|=216.9.【解析】選A.ACl,BDl,<AC,BD>=60°,且AC·BA=0,AB·BD=0,又CD=CA+AB+BD,|CD|=(CA+AB+BD)2=a2+a2+(2a)2+2a·2acos120°=2a.10.【解析】選C.若O是BCD的重心,則AO=AB+BO=AB+23×12(BD+BC)=AB+13(BD+BC)=AB+13(AD-AB+AC-AB)=13(AB+AC+AD),若AO=13(AB+AC+AD),則AO-AB+AO-AC+AO-AD=0,即BO+CO+DO=0.設(shè)BC的中點(diǎn)為P,則-2OP+DO=0,DO=-2PO,即O為BCD的重心.11.【解析】設(shè)AB=b,AC=c,AD=d,則CD=d-c,BD=d-b,BC=c-b.原式=b·(d-c)+d·(c-b)-c·(d-b)=0.答案:012.【解析】因?yàn)镚是CD的中點(diǎn),BG=12(BD+BC),AB+12(BD+BC)=AB+BG=AG.答案:AG13.【解析】因?yàn)镺A+AG=OG,OB+BG=OG,OC+CG=OG,且AG+BG+CG=0,所以O(shè)A+OB+OC=3OG.答案:314.【解析】由題意知AO·BC=AO·(AC-AB)=AO·AC-AO·AB=8×4×cos45°-8×6×cos60°=162-24.cos<AO,BC>=AO·BC|AO|BC|=162-248×5=22-35.OA與BC的夾角的余弦值為3-225.答案:3-225【誤區(qū)警示】本題常誤認(rèn)為<AO,BC>即為OA與BC的夾角.15.【解析】設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c,正方體棱長(zhǎng)為1,(1)AC1·BD=(a+b+c)·(b-a)=a·b-a2+b2-b·a+c·b-c·a=0-1+1-0+0-0=0,AC1BD.同理AC1·A1B=0,AC1A1B,AC1平面A1BD.(2)D1M=D1D+DM=-c+12(a-b),CN=CB+BN=-b+12(c-a),|D1M|2=-c+12(a-b)2=c2+(-c)(a-b)+14(a-b)2=1-0+0+14×(1-0+1)=32,|D1M|=62,同理|CN|=62.又D1M·CN=-c+12(a-b)·-b+12(c-a)=0+12×(-1+0)-12×(0-1)+14×(0-1-0+0)=-14,cos<D1M,CN>=-1462·62=-16.【方法技巧】用向量法解題的常見類型及常用方法1.常見類型利用向量可解決空間中的平行、垂直、長(zhǎng)度、夾角等問題.2.常用的解題方法(1)基向量法先選擇一組基向量,把其他向量都用基向量表示,然后根據(jù)向量的運(yùn)算解題.(2)坐標(biāo)法根據(jù)條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,并求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題即可.