第八節(jié)解三角形實際應(yīng)用舉例考綱傳真(教師用書獨具)能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題(對應(yīng)學(xué)生用書第64頁)基礎(chǔ)知識填充1仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角(如圖3­8­1(1)(1)(2)圖3­8­12方位角和方向角(1)方位角：從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為(如圖3­8­1(2)(2)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30°等3坡度坡面與水平面所成二面角的正切值基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系為180°.()(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為.()(3)方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點與目標點之間的位置關(guān)系()(4)方位角大小的范圍是0,2)，方向角大小的范圍一般是.()答案(1)×(2)×(3)(4)2(教材改編)海面上有A，B，C三個燈塔，AB10 n mile，從A望C和B成60°視角，從B望C和A成75°視角，則BC等于()A10 n mileB n mileC5 n mileD5 n mileD如圖，在ABC中，AB10，A60°，B75°，C45°，BC5.3若點A在點C的北偏東30°，點B在點C的南偏東60°，且ACBC，則點A在點B的()A北偏東15°B北偏西15°C北偏東10°D北偏西10°B如圖所示，ACB90°，又ACBC，CBA45°，而30°，90°45°30°15°，點A在點B的北偏西15°.4如圖3­8­2，已知A，B兩點分別在河的兩岸，某測量者在點A所在的河岸邊另選定一點C，測得AC50 m，ACB45°，CAB105°，則A，B兩點的距離為()圖3­8­2A50 mB25 mC25 mD50 mD因為ACB45°，CAB105°，所以B30°.由正弦定理可知，即，解得AB50 m5輪船A和輪船B在中午12時同時離開海港C，兩船航行方向的夾角為120°，兩船的航行速度分別為25 n mile/h,15 n mile/h，則下午2時兩船之間的距離是_ n mile.70設(shè)兩船之間的距離為d，則d25023022×50×30×cos 120°4 900，所以d70，即兩船相距70 n mile.(對應(yīng)學(xué)生用書第64頁)測量距離問題如圖3­8­3，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67°，30°，此時氣球的高是46 m，則河流的寬度BC約等于_m(用四舍五入法將結(jié)果精確到個位參考數(shù)據(jù)：sin 67°0.92，cos 67°0.39，sin 37°0.60，cos 37°0.80，1.73) 【導(dǎo)學(xué)號：79140136】圖3­8­360如圖所示，過A作ADCB且交CB的延長線于D在RtADC中，由AD46 m，ACB30°得AC92 m.在ABC中，BAC67°30°37°，ABC180°67°113°，AC92 m，由正弦定理，得，即，解得BC60(m) 規(guī)律方法求解距離問題的一般步驟(1)畫出示意圖，將實際問題轉(zhuǎn)化成三角形問題；(2)明確所求的距離在哪個三角形中，有幾個已知元素；(3)使用正弦定理、余弦定理解三角形(對于解答題，應(yīng)作答).跟蹤訓(xùn)練如圖3­8­4所示，要測量一水塘兩側(cè)A，B兩點間的距離，其方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅，用經(jīng)緯儀測出角，再分別測出AC，BC的長b，a，則可求出A，B兩點間的距離，即AB.若測得CA400 m，CB600 m，ACB60°，試計算AB的長圖3­8­4解在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22AC·BCcosACB，AB2400260022×400×600cos 60°280 000，AB200(m)，即A，B兩點間的距離為200 m.測量高度問題如圖3­8­5，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600 m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD_m.圖3­8­5100由題意，在ABC中，BAC30°，ABC180°75°105°，故ACB45°.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBC·tan 30°300×100(m)規(guī)律方法解決高度問題的注意事項(1)在測量高度時，要準確理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角.(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯.(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.跟蹤訓(xùn)練如圖3­8­6，從某電視塔CO的正東方向的A處，測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，在電視塔的南偏西60°的B處測得塔頂?shù)难鼋菫?5°，AB間的距離為35米，則這個電視塔的高度為_米圖3­8­65如圖，可知CAO60°，AOB150°，OBC45°，AB35米設(shè)OCx米，則OAx米，OBx米在ABO中，由余弦定理，得AB2OA2OB22OA·OB·cos AOB，即352x2x2·cos 150°，整理得x5，所以此電視塔的高度是5米測量角度問題某漁船在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45°，距離A為10海里的C處，并測得漁船正沿方位角為105°的方向，以10海里/時的速度向小島B靠攏，我海軍艦艇立即以10海里/時的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁船所需的時間解如圖所示，設(shè)所需時間為t小時，則AB10t，CB10t，在ABC中，根據(jù)余弦定理，則有AB2AC2BC22AC·BC·cos 120°，可得(10t)2102(10t)22×10×10tcos 120°.整理得2t2t10，解得t1或t(舍去)，艦艇需1小時靠近漁船，此時AB10，BC10.在ABC中，由正弦定理得，sinCAB.CAB30°.所以艦艇航向為北偏東75°.規(guī)律方法解決測量角度問題的注意事項(1)應(yīng)明確方位角或方向角的含義.(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步.(3)將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形的問題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用.跟蹤訓(xùn)練如圖3­8­7，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援，求cos 的值. 【導(dǎo)學(xué)號：79140137】圖3­8­7解在ABC中，AB40，AC20，BAC120°，由余弦定理得，BC2AB2AC22AB·AC·cos 120°2 800BC20.由正弦定理，得sinACB·sinBAC.由BAC120°，知ACB為銳角，則cosACB.由ACB30°，得cos cos(ACB30°)cosACB cos 30°sinACB sin 30°.