1 1第三章 導(dǎo)數(shù)第2節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題型37 利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值與最值1（20xx湖北文10）.已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）. A B C D1. 分析 由已知得有兩個正實數(shù)根，即的圖象與軸有兩 個交點，從而得的取值范圍. 解析 ，依題意有兩個正實數(shù)根.設(shè)，函數(shù)有兩個零點，顯然當(dāng)時不合題意，必有；，令，得，于是在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，即，所以.故選B.2 (20xx福建文12）設(shè)函數(shù)的定義域為，的極大值點，以下結(jié) 論一定正確的是（ ）.A B是 的極小值點 C是 的極小值點 D是 的極小值點 2.分析 不妨取函數(shù)，則，易判斷為的極大值點，但顯然不是最大值，故排除A.解析 因為，易知，為的極大值點，故排除B；又，易知，為的極大值點，故排除C；因為的圖象與的圖象關(guān)于原點對稱，由函數(shù)圖象的對稱性可得應(yīng)為函數(shù)的極小值點.故D正確.3. (20xx安徽文20）設(shè)函數(shù)，其中，區(qū)間.（1）求的長度（注：區(qū)間的長度定義為）； （2）給定常數(shù)，當(dāng)時，求長度的最小值.3.解 同理科卷17題.4.（20xx江西文21）設(shè)函數(shù) 為常數(shù)且.(1)當(dāng)時，求； (2)若滿足但，則稱為的二階周期點，證明函數(shù)有且僅有兩個二階周期點，并求二階周期點，；(3)對于（2）中，設(shè)，記的面積為，求在區(qū)間上的最大值和最小值.4.分析 （1）根據(jù)自變量的取值求出相應(yīng)的函數(shù)值；（2）根據(jù)自變量的取值和二階周期點的定義解方程求出題目中的二階周期點；（3）根據(jù)（2）的結(jié)果用參數(shù)表示出三角形的面積，通過導(dǎo)數(shù)求最值的方法得出最值.解析 （1）當(dāng)時，.（2）當(dāng)時，由，解得2，因為，故不是的二階周期點；當(dāng)時，由解得.因為，故為的二階周期點；當(dāng)時，由解得.因為，故不是的二階周期點；當(dāng)時，由解得.因為，故為的二階周期點.因此，函數(shù)有且僅有兩個二階周期點，.（3）由（2）得，則，因為，有，所以（或令，因為則在區(qū)間上的最小值為，故對于任意，.）則在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上的最小值為，最大值為.5. （20xx江蘇20）設(shè)函數(shù)，其中為實數(shù).（1）若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值范圍；（2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論.5.分析（1）通過在上恒成立，在有解求得的取值范圍；（2）由在上恒成立得出的取值范圍，然后對進(jìn)行討論，研究的零點.解析 解：（1）令，考慮到的定義域為，故，進(jìn)而解得，即在上是單調(diào)減函數(shù).同理，在上是單調(diào)增函數(shù).由于在上是單調(diào)減增函數(shù)，故，從而，即.令，得.當(dāng)時，；當(dāng)時，.又在上有最小值.所以，即.綜上可知，.（2）當(dāng)時，必為單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時，令，解得，即.因為在上是單調(diào)增函數(shù)，類似（1）有，即.結(jié)合上述兩種情況，得.當(dāng)時，由以及，得存在唯一的零點；當(dāng)時，由于，且函數(shù)在上的圖象連續(xù)，所以在上存在零點.另外，當(dāng)時，故在上是單調(diào)增函數(shù)，所以只有一個零點.當(dāng)時，令，解得.當(dāng)時，；當(dāng)時，所以，是的最大值點，且最大值為.a.當(dāng)，即時，有一個零點.b.當(dāng)，即時，有兩個零點.實際上，對于，由于.，且函數(shù)在上的圖象連續(xù)，所以在上存在零點.另外，當(dāng)時，故在上是單調(diào)增函數(shù)，所以在上只有一個零點.下面考慮在上的情況.先證.為此，我們要證明：當(dāng)時，.設(shè)，則，再設(shè)，則.當(dāng)時，所以在上是單調(diào)增函數(shù).當(dāng)時，從而在上是單調(diào)增函數(shù)，進(jìn)而當(dāng)時，即當(dāng)時，.當(dāng)，即時，.又，且函數(shù)在上的圖象連續(xù)，所以在上存在零點.又當(dāng)時，故在上是單調(diào)減函數(shù)，所以在上只有一個零點.綜合可知，當(dāng)或時，的零點個數(shù)為，當(dāng)時，的零點個數(shù)為.6. (20xx浙江文21）已知，函數(shù).（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若，求在閉區(qū)間上的最小值.6.分析 （1）切點處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率，求導(dǎo)后算出斜率，寫出切線方程即可.（2）要確定 的最小值，因為的最值是由其單調(diào)性決定的，所以要先利用導(dǎo)數(shù)確定的單調(diào)性，再確定極值和區(qū)間端點的函數(shù)值.由于所給區(qū)間中含有絕對值，因此要分類討論.解析 （1）當(dāng)時，所以.又因為，所以切線方程為，即.（2）記為 在閉區(qū)間上的最小值. .令，得.當(dāng)時，單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增比較和的大小可得當(dāng)時，單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增得.綜上所述，在閉區(qū)間上的最小值為7.（20xx重慶文19（1）已知函數(shù)在處取得極值.確定的值；7. 解析 求導(dǎo)得，因為在處取得極值，所以，即，解得經(jīng)檢驗，是的極大值點.8.（20xx安徽文21（2）已知函數(shù).若，求在內(nèi)的極值.8. 分析 由（1）可知在內(nèi)的極大值為，且在內(nèi)無極小值.解析 因為，由（1）可知在內(nèi)的極大值為，在內(nèi)無極小值.故在內(nèi)極大值為，無極小值.9.（20xx北京文19（1）設(shè)函數(shù).求的單調(diào)區(qū)間和極值；9. 解析 函數(shù)的定義域為，令，得，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，函數(shù)取得極小值.10.（20xx湖南文21（1）函數(shù)，記為的從小到大的第個極值點.證明：數(shù)列是等比數(shù)列；10. 解析 令，由，得，即， 而對于，當(dāng)時，若，即，則；若，即，則.因此，在區(qū)間與上，的符號總相反，于是當(dāng)時，取得極值，所以，此時，易知，而是常數(shù)，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.11.（20xx新課標(biāo)2卷文21(2)）已知函數(shù).當(dāng)有最大值，且最大值大于時，求的取值范圍.11. 分析 由(1)知當(dāng)時，在上無最大值；當(dāng)時，最大值為，因此，故.令，則在上是增函數(shù). 當(dāng)時，；當(dāng)時，.因此的取值范圍是.解析 由(1)知，當(dāng)時，在上無最大值；當(dāng)時，在處取得最大值，最大值為.因此等價于.令，則在上單調(diào)遞增，又.于是，當(dāng)時，；當(dāng)時，.因此，的取值范圍是.評注 高考中對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查，主要體現(xiàn)用導(dǎo)數(shù)的工具性來解決函數(shù)性質(zhì)問題，函數(shù)的性質(zhì)是函數(shù)的終極內(nèi)容，學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)以后用導(dǎo)數(shù)這一工具可使求解更直接簡單，特別要注意函數(shù)的定義域和對參數(shù)進(jìn)行討論.12.（20xx山東文20 (3)）設(shè)函數(shù)，. 已知曲線在點處的切線與直線平行.設(shè)函數(shù)（表示中的較小值），求的最大值.12.解析 由（2）知，方程在內(nèi)存在唯一的根，且時，時，所以.當(dāng)時，若，；若，由，可知.故.當(dāng)時，由，可得時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減；故.又，所以函數(shù)的最大值為.13.已知是函數(shù)的極小值點，則（ ）.A. B. C. D.13.D 解析 令得，或易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故極小值為，由已知得.故選D14.（20xx山東文20）設(shè)，.（1）令，求的單調(diào)區(qū)間；（2）已知在處取得極大值，求實數(shù)的取值范圍.14. 解析 （1）由，可得，則，當(dāng)時，時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，時，函數(shù)單調(diào)遞增；時，函數(shù)單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. （2）由（1）知，.當(dāng)時， 單調(diào)遞增.所以當(dāng)時，單調(diào)遞減.當(dāng)時，單調(diào)遞增.所以在處取得極小值，不合題意.當(dāng)時，由（1）知在內(nèi)單調(diào)遞增，可得當(dāng)時，時，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，不合題意.當(dāng)時，即時，在內(nèi)單調(diào)遞增，在 內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時， 單調(diào)遞減，不合題意.當(dāng)時，即 ，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，合題意.綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.15.（20xx天津文20）設(shè)函數(shù)，其中.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在極值點，且，其中，求證：；（3）設(shè)，函數(shù)，求證：在區(qū)間上的最大值不小于.15.解析 （1）由，可得，下面分兩種情況討論：當(dāng)時，有恒成立，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，令，解得或.當(dāng)變化時，的變化情況如表所示.0極大值極小值所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）證明：因為存在極值點，所以由（1）知且.由題意得，即，所以.又，且，由題意及（1）知，存在唯一實數(shù)滿足，且，因此，所以.（3）證明：設(shè)在區(qū)間上的最大值為，表示，兩數(shù)的最大值，下面分三種情況討論：當(dāng)時，由知在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此，所以 當(dāng)時，由（1）和（2） 知，所以在區(qū)間上的取值范圍為，所以. 當(dāng)時，由（1）和（2）知，所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此.綜上所述，當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值不小于.16.（20xx北京文20）已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.16.解析 .（1），則曲線在點處的切線方程為.（2）.因為，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，且，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，.17.（20xx山東文20）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值.解析 （1）由題意，.（1）當(dāng)時，所以，因此，曲線在點處的切線方程是，即.（2）因為，所以.令，則 ，所以在上單調(diào)遞增.因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.所以，當(dāng)時，取到極大值，極大值是，當(dāng)時，取到極小值，極小值是.當(dāng)時，.當(dāng)時，單調(diào)遞增.所以，在上單調(diào)遞增，無極大值也無極小值.當(dāng)時，.當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.所以，當(dāng)時，取到極大值，極大值是；當(dāng)時，取到極小值，極小值是.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是.18.（20xx浙江20） 已知函數(shù).（1）求的導(dǎo)函數(shù)；（2）求在區(qū)間上的取值范圍.18.解析 （1）因為 ，所以.（2）由，解得或.當(dāng)變化時，的變化情況如下表所示.1000又，所以在區(qū)間上的取值范圍是.19.（20xx江蘇20）已知函數(shù)有極值，且導(dǎo)函數(shù)的極值點是的零點（極值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值）.（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（2）證明：；（3）若，這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于，求的取值范圍19.解析 （1）由，得，當(dāng)時，有極小值為因為的極值點是的零點，所以，又，故當(dāng)時，恒成立，即單調(diào)遞增，所以此時不存在極值，不合題意因此，即，所以有兩個相異的實根，.列表如下x+00+極大值極小值故的極值點是，從而.所以關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，定義域為（2）解法一：由（1）知，即證明，即，因為，所以問題等價于，不妨設(shè)，則，不妨設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，且，從而，即得證因此解法二（考試院提供）：由（1）知，設(shè)，則當(dāng)時，從而在上單調(diào)遞增因為，所以，故，即，因此（3）由（1）設(shè)的兩個實根為，且設(shè)，且有，因此而的情況如下表所示：極大值極小值所以的極值點是，從而記，所有極值之和為，因為的極值為，所以，處理方法一：因為，于是在上單調(diào)遞減因為，由，故處理方法二：所以，整理得（必然可以猜測零點），因此因此的取值范圍為評注 此題第（2）問考查的是數(shù)值大小的比較，常見的有作差法、作商法、兩邊平方比較法，此題采用作商（考試院解法二）化簡函數(shù)達(dá)到簡化效果，可見對于壓軸問題，方法的選擇是非常關(guān)鍵的第（3）問實際考查的是函數(shù)零點的應(yīng)用，下面提供此前我們做過的兩個類似習(xí)題供參考案例1：已知函數(shù)，若函數(shù)存在極值，且所有極值之和小于，則實數(shù)的取值范圍是 解析 因為，設(shè)，當(dāng)時，恒成立，所以單調(diào)遞減，故不存在極值；所以，設(shè)的兩根為（不妨設(shè)），從而，因此同號，所以問題等價于在上有兩個不相等的實數(shù)根，因此，從而所以的所有極值之和為，因此，解得，又，所以實數(shù)的取值范圍是另外，如果熟悉三次函數(shù)對稱中心，此題還可以作如下考慮：即，令，則，所以該三次函數(shù)的對稱中心為因此有這里可以采用假算的思想，即寫出簡單過程，省去中間過于復(fù)雜的運算過程，直接寫出結(jié)果即可，這需要平時積累一些有價值的素材案例2：（徐州15-16高二下學(xué)期期末文20）已知函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若存在實數(shù)，且，使得，求證：解析 （1）若，則，所以切線斜率為，又，所以在點處的切線方程為（2），當(dāng)時，恒成立，所以的單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時，令，得或，所以的單調(diào)增區(qū)間為和，同理的單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時，令，得所以的單調(diào)增區(qū)間為，同理的單調(diào)減區(qū)間為（3）由題意可知，是方程的兩根，則，所以令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，即題型38 利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的圖像1.（20xx浙江7）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)的圖像可能是（ ）.1.解析 導(dǎo)數(shù)大于零，原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)小于零，原函數(shù)單調(diào)遞減，對照導(dǎo)函數(shù)圖像和原函數(shù)圖像.故選D題型39 恒成立與存在性問題1. (20xx遼寧文21）（1）證明：當(dāng)時，；（2）若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.1.分析 利用構(gòu)造法，分別判斷與，與的大小關(guān)系；利用比較法或構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)求解范圍.解析 （1）證明：記，則，當(dāng)時，在上是增函數(shù)；當(dāng)時，在上是減函數(shù).又，所以當(dāng)時，即.記，則當(dāng)時，所以在上是減函數(shù)，則,即綜上，.（2）解法一：因為當(dāng)時，所以，當(dāng)時，不等式對恒成立下面證明，當(dāng)時，不等式對不恒成立.因為當(dāng)時，,所以存在滿足，即當(dāng)時，不等式對不恒成立.綜上，實數(shù)的取值范圍是解法二：記，則.記，則.當(dāng)時，因此于是在上是減函數(shù)，因此，當(dāng)時，故當(dāng)時，從而在上是減函數(shù)，所以，即當(dāng)時，不等式對恒成立.下面證明，當(dāng)時，不等式對不恒成立.當(dāng)時，所以當(dāng)時，因此在上是增函數(shù)，故；當(dāng)時，又，故存在使，則當(dāng)時，所以在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時，所以當(dāng)時，不等式，對不恒成立.綜上，實數(shù)的取值范圍是.2.（20xx福建文22）（本小題滿分12分）已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸交于點，曲線在點處的切線斜率為.（1）求的值及函數(shù)的極值；（2）求證：當(dāng)時，（3）求證：對任意給定的正數(shù)c，總存在，使得當(dāng)時，恒有3. （20xx廣東文21）(本小題滿分14分) 已知函數(shù).（1） 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2） 當(dāng)時，試討論是否存在，使得.4.（20xx江蘇23）（本小題滿分10 分）已知函數(shù)，設(shè)為的導(dǎo)數(shù)，（1）求的值；（2）求證：對任意的，等式都成立5.（20xx遼寧文21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)，.求證：（1）存在唯一，使；（2）存在唯一，使，且對（1）中的，有.6.（20xx天津文19）（本小題滿分14分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若對于任意的，都存在，使得，求的取值范圍.7. （20xx浙江文21）函數(shù)，若在上的最小值記為.（1）求；（2）求證：當(dāng)時，恒有.8.（20xx陜西文21）（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù).（1） 當(dāng)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求的極小值；（2） 討論函數(shù)零點的個數(shù)；（3）若對任意，恒成立，求m的取值范圍.9.（20xx福建文12）“對任意，”是“”的（ ）.A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件9. 解析 當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)，.則，故在上單調(diào)遞減，故，則；當(dāng)時，不等式等價于，構(gòu)造函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞減，故，則.綜上所述，“對任意，”是“”的必要不充分條件.故選B.10.（20xx福建文22（3）已知函數(shù)確定實數(shù)的所有可能取值，使得存在，當(dāng)時，恒有10. 分析 由（2）知，當(dāng)時，不存在滿足題意；當(dāng)時，對于，有，則，從而不存在滿足題意；當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的形狀，只要存在，當(dāng)時，即可解析 由（2）知，當(dāng)時，不存在滿足題意；當(dāng)時，對于，有，則，從而不存在滿足題意.當(dāng)時，令，則有由得，解得（舍），當(dāng)時，故在上單調(diào)遞增從而當(dāng)時，即.綜上，的取值范圍是11.（20xx湖南文21（2）函數(shù)，記為的從小到大的第個極值點.若對一切恒成立，求的取值范圍.11. 解析 對一切恒成立，即恒成立，亦即恒成立（）， 設(shè)，則，令得，當(dāng)時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；因為，且當(dāng)時，所以，因此恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，故實數(shù)的取值范圍是.12.（20xx四川文21（2）已知函數(shù)，其中.求證：存在，使得恒成立，并且在區(qū)間內(nèi)有唯一解.12. 解析 由，解得，令.則，所以存在，使得.令，其中.由，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.故，即.當(dāng)時，有，再由（1）可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時，所以；當(dāng)時，所以.又當(dāng)時，故時，.綜上所述，存在，使得恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解.13.（20xx全國甲文20）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（2）若當(dāng)時，求的取值范圍.13. 解析 （1）當(dāng)時，因此，所以曲線在點處的切線方程為，即，得.（2）解法一：從必要條件做起.因為，對于，又，則，得.當(dāng)時，又，因此在上單調(diào)遞增，所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，證畢.綜上所述，的取值范圍是.解法二（目標(biāo)前提法）：若對于，顯然不等式恒成立的前提條件是，在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，即對恒成立，得.設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以.再證當(dāng)時，不等式不恒成立.因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.又，令，則，使得，函數(shù)在上單調(diào)遞減.又，所以對于，與題意中對于，不恒成立，故舍去.綜上所述，的取值范圍是.解法三：直接從最值的角度轉(zhuǎn)化.本題對于，則只須對于，.因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.又.若，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，滿足題意.若，即，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，不滿足題意.綜上所述，的取值范圍是.14.（20xx四川文21）設(shè)函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）求證：當(dāng)時，； （3）確定的所有可能取值，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立.14.解析 （1）函數(shù)的定義域為，.當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞減.當(dāng)時，由，得當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.（2）要證明當(dāng)時，即，等價于證明當(dāng)時，.構(gòu)造輔助函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，因此，當(dāng)時，即，即.（3）依題意，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則對于，.又，則對于，恒有，因此不滿足題意.令，且.因為對于，恒成立.又，所以，設(shè).且，因此在區(qū)間上單調(diào)遞增.又因為，所以當(dāng)時，恒成立，即恒成立.綜上所述，的取值范圍為.15.（20xx全國1文21）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍.15.解析 （1）.當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，恒成立，令，則，故，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，恒成立，令，則，即，所以，所以在上單調(diào)遞增，同理在上單調(diào)遞減（2）當(dāng)時，恒成立，符合題意；當(dāng)時，故，即；當(dāng)時，從而，故，所以綜上所述，的取值范圍為16.（20xx全國2文21）設(shè)函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，求的取值范圍.16.解析 （1）.令，得，解得，.所以當(dāng)時，當(dāng)或時，所以在區(qū)間，上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).（2）因為時，所以.所以，令，則，即時，而，所以，所以，.再令，當(dāng)時，恒成立. 所以在上是增函數(shù)，恒有，從而是增函數(shù)，在上恒成立，故即為所求.17.（20xx天津文19）設(shè)，.已知函數(shù)，.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）已知函數(shù)和的圖像在公共點處有相同的切線.（i）求證：在處的導(dǎo)數(shù)等于0；（ii）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍.17.解析 （1）由.可得，令，解得或.由，得.當(dāng)變化時，的變化情況如下表所示.所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）（i）因為，由題意知，所以，解得.所以，在處的導(dǎo)數(shù)等于0.（ii）因為，由，可得.又因為，故為的極大值點，由（1）知.另一方面，由于，故.由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，在上恒成立，從而在上恒成立.由，得，.令，所以.令，解得（舍去）或.所以當(dāng)時，當(dāng)，時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因為，故的值域為.所以的取值范圍是.歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”http:/sj.fjjy.org