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新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第九章 :第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二突破熱點題型

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新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第九章 :第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二突破熱點題型

新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第三節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(二) 考點一 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題   [例1] (2013·重慶高考)某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度).設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米,高為h米,體積為V立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān),側(cè)面的建造成本為100元/平方米,底面的建造成本為160元/平方米,該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率). (1)將V表示成r的函數(shù)V(r),并求該函數(shù)的定義域; (2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性,并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大.[來源:] [自主解答] (1)因為蓄水池側(cè)面的總成本為100×2πrh=200πrh元,底面的總成本為160πr2元,所以蓄水池的總成本為(200πrh+160πr2)元.又根據(jù)題意得200πrh+160πr2= 12 000π,所以h=(300-4r2),從而V(r)=πr2h=(300r-4r3).由h>0,且r>0可得0<r<5,故函數(shù)V(r)的定義域為(0,5). (2)因V(r)=(300r-4r3),所以V′(r)=(300-12r2).令V′(r)=0,解得r1=5, r2=-5(因為r2=-5不在定義域內(nèi),舍去).當(dāng)r∈(0,5)時,V′(r)>0,故V(r)在(0,5)上為增函數(shù); 當(dāng)r∈(5,5)時,V′(r)<0,故V(r)在(5,5)上為減函數(shù).由此可知,V(r)在r=5處取得最大值,此時h=8,即當(dāng)r=5,h=8時,該蓄水池的體積最大. 【方法規(guī)律】 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的方法 求實際問題中的最大值或最小值時,一般是先設(shè)自變量、因變量,建立函數(shù)關(guān)系式,并確定其定義域,然后利用求函數(shù)最值的方法求解,注意結(jié)果應(yīng)與實際情況相結(jié)合. 某工廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品最多不超過40件,產(chǎn)品的正品率P與日產(chǎn)量x(x∈N*)件之間的關(guān)系為P=,每生產(chǎn)一件正品盈利4 000元,每出現(xiàn)一件次品虧損2 000元.(注:正品率=產(chǎn)品中的正品件數(shù)÷產(chǎn)品總件數(shù)×100%) (1)將日利潤y(元)表示成日產(chǎn)量x(件)的函數(shù); (2)該廠的日產(chǎn)量為多少件時,日利潤最大?并求出日利潤的最大值. 解:(1)∵y=4 000··x-2 000··x=3 600x-x3, ∴所求的函數(shù)關(guān)系式是y=-x3+3 600x(x∈N*,1≤x≤40). (2)由(1)知y′=3 600-4x2.令y′=0,解得x=30.∴當(dāng)1≤x<30時,y′>0;當(dāng)30<x≤40時,y′<0,∴函數(shù)y=-x3+3 600x(x∈N*,1≤x≤40)在(1,30)上是單調(diào)遞增函數(shù),在(30,40)上是單調(diào)遞減函數(shù).∴當(dāng)x=30時,函數(shù)y=-x3+3 600x(x∈N*,1≤x≤40)取得最大值,最大值為-×303+3 600×30=72 000(元).∴該廠的日產(chǎn)量為30件時,日利潤最大,最大值為72 000元. 考點二 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點或方程的根   [例2] 已知函數(shù)f(x)=(ax2+x-1)ex,其中e是自然對數(shù)的底數(shù),a∈R. (1)若a=1,求曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線方程; (2)若a<0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (3)若a=-1,函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=x3+x2+m的圖象有3個不同的交點,求實數(shù)m的取值范圍. [自主解答] (1)a=1時,f(x)=(x2+x-1)ex, 所以f′(x)=(2x+1)ex+(x2+x-1)ex=(x2+3x)ex, 所以曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為k=f′(1)=4e.又因為f(1)=e, 所以所求切線方程為y-e=4e(x-1), 即4ex-y-3e=0. (2)f′(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x-1)ex=[ax2+(2a+1)x]ex, ①若-<a<0,當(dāng)x<0或x>-時,f′(x)<0; 當(dāng)0<x<-時,f′(x)>0. 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0],; 單調(diào)遞增區(qū)間為. ②若a=-,則f′(x)=-x2ex≤0,所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,+∞). ③若a<-,當(dāng)x<-或x>0時,f′(x)<0; 當(dāng)-<x<0時,f′(x)>0. 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,[0,+∞); 單調(diào)遞增區(qū)間為. (3)a=-1時,f(x)=(-x2+x-1)ex, 由(2)知,f(x)=(-x2+x-1)ex在(-∞,-1]上單調(diào)遞減,在[-1,0]上單調(diào)遞增,在[0,+∞)上單調(diào)遞減. 所以f(x)在x=-1處取得極小值f(-1)=-,在x=0處取得極大值f(0)=-1. 由g(x)=x3+x2+m,得g′(x)=x2+x. 當(dāng)x<-1或x>0時,g′(x)>0;當(dāng)-1<x<0時,g′(x)<0. 所以g(x)在(-∞,-1]上單調(diào)遞增,在[-1,0]上單調(diào)遞減,在[0,+∞)上單調(diào)遞增. 故g(x)在x=-1處取得極大值g(-1)=+m,在x=0處取得極小值g(0)=m. 因為函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)的圖象有3個不同的交點, 所以即 所以--<m<-1. 故實數(shù)m的取值范圍是. 【互動探究】 保持本例條件不變,試確定m的取值范圍,使函數(shù)g(x)分別有3個零點和2個零點. 解:由例題可知,g(x)的極大值為g(-1)=+m,極小值g(0)=m. 當(dāng)g(x)有3個零點時,需即解得-<m<0.故函數(shù)g(x)有3個零點時,m的取值范圍是. 當(dāng)g(x)有2個零點時,需g(-1)=0或g(0)=0,即m=-或m=0.      【方法規(guī)律】 利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的方法 研究方程根的情況,可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等,根據(jù)題目要求,畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律,標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置,通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題,可以使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn). 已知函數(shù)f(x)=ax(a∈R),g(x)=ln x-1. (1)若函數(shù)h(x)=g(x)+1-f(x)-2x存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍; (2)當(dāng)a>0時,試討論這兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù). 解:(1)h(x)=ln x-x2-2x(x>0),則h′(x)=-ax-2.若使h(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,則h′(x)=-ax-2<0在(0,+∞)上有解.而當(dāng)x>0時,h′(x)=-ax-2<0?ax>-2?a>-,問題轉(zhuǎn)化為a>-在(0,+∞)上有解,故a大于函數(shù)t=-在(0,+∞)上的最小值. 又t=-=2-1,故t在(0,+∞)上的最小值為-1,所以a>-1,故a的取值范圍為(-1,+∞). (2)令F(x)=f(x)-g(x)=ax-ln x+1(a>0,x>0). 函數(shù)f(x)=ax與g(x)=ln x-1的圖象的交點個數(shù)即為函數(shù)F(x)的零點個數(shù).F′(x)=a-(x>0).令F′(x)=a-=0,解得x=.隨著x的變化,F(xiàn)′(x),F(xiàn)(x)的變化情況如下表: x F′(x) - 0 + F(x) ↘ 極(最)小值 ↗ ①當(dāng)F=2+ln a>0,即a>e-2時,F(xiàn)(x)恒大于0; ②當(dāng)F=2+ln a=0,即a=e-2時,函數(shù)F(x)有且僅有一個零點; ③當(dāng)F=2+ln a<0,即0<a<e-2時,顯然>1.又F(1)=a+1>0,所以F(1)·F<0.又F(x)在內(nèi)單調(diào)遞減,所以F(x)在內(nèi)有且僅有一個零點; 當(dāng)x>時,F(xiàn)(x)=ln +1.由指數(shù)函數(shù)y=(ea)x(ea>1)與冪函數(shù)y=x增長速度的快慢知,存在x0>,使得>1.從而F(x0)=ln+1>ln 1+1=1>0.因而F(x0)·F<0.又F(x)在內(nèi)單調(diào)遞增,F(xiàn)(x)在上的圖象是連續(xù)不斷的曲線,所以F(x)在內(nèi)有且僅有一個零點.因此,當(dāng)0<a<e-2時F(x)有且僅有兩個零點. 綜上,當(dāng)a>e-2時,f(x)與g(x)的圖象無交點;當(dāng)a=e-2時,f(x)與g(x)的圖象有且僅有一個交點;當(dāng)0<a<e-2時,f(x)與g(x)的圖象有且僅有兩個交點. 高頻考點 考點三 導(dǎo)數(shù)在研究不等式中的應(yīng)用  [來源:] 1.導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用問題是每年高考的必考內(nèi)容,且以解答題的形式考查,難度較大,屬中高檔題. 2.高考對導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用的考查主要有以下兩個命題角度: (1)證明不等式; (2)解決不等式的恒成立問題. [例3] (2013·遼寧高考)(1)證明:當(dāng)x∈[0,1]時,x≤sin x≤x; (2)若不等式ax+x2++2(x+2)cos x≤4對x∈[0,1]恒成立,求實數(shù)a的取值范圍. [自主解答] (1)證明:記F(x)=sin x-x, 則F′(x)=cos x-. 當(dāng)x∈時,F(xiàn)′(x)>0,F(xiàn)(x)在上是增函數(shù);[來源:] 當(dāng)x∈時,F(xiàn)′(x)<0,F(xiàn)(x)在上是減函數(shù). 又F(0)=0,F(xiàn)(1)>0,所以當(dāng)x∈[0,1]時,F(xiàn)(x)≥0,即sin x≥x. 記H(x)=sin x-x, 則當(dāng)x∈(0,1)時,H′(x)=cos x-1<0,[來源:] 所以,H(x)在[0,1]上是減函數(shù), 則H(x)≤H(0)=0,即sin x≤x. 綜上,x≤sin x≤x,x∈[0,1]. (2)因為當(dāng)x∈[0,1]時, ax+x2++2(x+2)cos x-4 =(a+2)x+x2+-4(x+2)sin2 ≤(a+2)x+x2+-4(x+2)2 =(a+2)x, 所以,當(dāng)a≤-2時, 不等式ax+x2++2(x+2)cos x≤4對x∈[0,1]恒成立. 下面證明,當(dāng)a>-2時, 不等式ax+x2++2(x+2)cos x≤4對x∈[0,1]不恒成立. 因為當(dāng)x∈[0,1]時, ax+x2++2(x+2)cos x-4 =(a+2)x+x2+-4(x+2)sin2 ≥(a+2)x+x2+-4(x+2)2 =(a+2)x-x2- ≥(a+2)x-x2 =-x. 所以存在x0∈(0,1)滿足ax0+x++2(x0+2)cos x0-4>0, 即當(dāng)a>-2時,[來源:] 不等式ax+x2++2(x+2)cos x-4≤0對x∈[0,1]不恒成立. 綜上,實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-2]. 導(dǎo)數(shù)在不等式問題中的應(yīng)用問題的常見類型及解題策略 (1)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.①證明f(x)<g(x),x∈(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),如果F′(x)<0,則F(x)在(a,b)上是減函數(shù),同時若F(a)≤0,由減函數(shù)的定義可知,x∈(a,b)時,有F(x)<0,即證明了f(x)<g(x). ②證明f(x)>g(x),x∈(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),如果F′(x)>0,則F(x)在(a,b)上是增函數(shù),同時若F(a)≥0,由增函數(shù)的定義可知,x∈(a,b)時,有F(x)>0,即證明了f(x)>g(x). (2)利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問題.利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題,首先要構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;也可分離變量,構(gòu)造函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題. (2013·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線y=4x+2. (1)求a,b,c,d的值; (2)若x≥-2時,f(x)≤kg(x),求k的取值范圍. 解:(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4.而f′(x)=2x+a,g′(x)=ex(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.從而a=4,b=2,c=2,d=2. (2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1).設(shè)函數(shù)F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,則F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由題設(shè)可得F(0)≥0,即k≥1. 令F′(x)=0,得x1=-ln k,x2=-2. (ⅰ)若1≤k<e2,則-2<x1≤0,從而當(dāng)x∈(-2,x1)時,F(xiàn)′(x)<0;當(dāng)x∈(x1,+∞)時,F(xiàn)′(x)>0,即F(x)在(-2,x1)上單調(diào)遞減,在(x1,+∞)上單調(diào)遞增,故F(x)在[-2, +∞)的最小值為F(x1).而F(x1)=2x1+2-x-4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故當(dāng)x≥-2時,F(xiàn)(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立. (ⅱ)若k=e2,則F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2).從而當(dāng)x>-2時,F(xiàn)′(x)>0,即F(x)在 (-2,+∞)上單調(diào)遞增.而F(-2)=0,故當(dāng)x≥-2時,F(xiàn)(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立. (ⅲ)若k>e2,則F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.從而當(dāng)x≥-2時,f(x)≤kg(x)不可能恒成立. 綜上,k的取值范圍是[1,e2]. ————————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 1個構(gòu)造——構(gòu)造函數(shù)解決問題  把所求問題通過構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為可用導(dǎo)數(shù)解決的問題,這是用導(dǎo)數(shù)解決問題時常用的方法. 2個轉(zhuǎn)化——不等式問題中的兩個轉(zhuǎn)化 (1)利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題可將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題,要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. (2)將不等式的證明、方程根的個數(shù)的判定轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值問題處理. 3個注意點——利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題應(yīng)注意的三點 (1)既要注意將問題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系式表示,還要注意確定函數(shù)關(guān)系式中自變量的取值范圍. (2)一定要注意求得函數(shù)結(jié)果的實際意義,不符合實際的值應(yīng)舍去. (3)如果目標(biāo)函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個極值點,那么根據(jù)實際意義該極值點就是最值點.

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