【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）20xx屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2篇 第9節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用課時(shí)訓(xùn)練 理【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)用函數(shù)(圖象)刻畫實(shí)際問(wèn)題中兩變量的變化過(guò)程1、2、3、6一次函數(shù)、二次函數(shù)模型9、10函數(shù)y=x+ax(a>0)模型4、12指數(shù)函數(shù)模型5、7、8分段函數(shù)模型11、13、14、15、16基礎(chǔ)過(guò)關(guān)一、選擇題1.(20xx蘭州模擬)如圖,下面的四個(gè)容器高度都相同,將水從容器頂部一個(gè)孔中以相同的速度注入其中,注滿為止.用下面對(duì)應(yīng)的圖象表示該容器中水面的高度h和時(shí)間t之間的關(guān)系,其中不正確的有(A)(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)解析:將水從容器頂部一個(gè)孔中以相同的速度注入其中,容器中水面的高度h和時(shí)間t之間的關(guān)系可以從高度隨時(shí)間的變化率上反映出來(lái),圖應(yīng)該是勻速的,故下面的圖象不正確,中的變化率是越來(lái)越慢的,正確;中的變化規(guī)律是逐漸變慢再變快,正確;中的變化規(guī)律是逐漸變快再變慢,也正確,故只有是錯(cuò)誤的.2.若一根蠟燭長(zhǎng)20 cm,點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5 cm,則燃燒剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為(B)解析:根據(jù)題意得解析式為h=20-5t(0t4),其圖象為B.3.(20xx福州模擬)在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中,運(yùn)用計(jì)算器采集到如下一組數(shù)據(jù):x-2.0-1.001.02.03.0y0.240.5112.023.988.02則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系與下列函數(shù)最接近的(其中a,b為待定系數(shù))是(B)(A)y=a+bx(B)y=a+bx(C)y=ax2+b(D)y=a+bx解析:由x=0時(shí),y=1,排除D;由f(-1.0)f(1.0),排除C;由函數(shù)值增長(zhǎng)速度不同,排除A.4.已知某矩形廣場(chǎng)的面積為4萬(wàn)平方米,則其周長(zhǎng)至少為(A)(A)800米(B)900米(C)1000米(D)1200米解析:設(shè)這個(gè)廣場(chǎng)的長(zhǎng)為x米,則寬為40000x米,所以其周長(zhǎng)為l=2(x+40000x)800,當(dāng)且僅當(dāng)x=200時(shí)取等號(hào).5.將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中,t分鐘后甲桶中剩余的水符合指數(shù)衰減曲線y=aent.假設(shè)過(guò)5分鐘后甲桶和乙桶的水量相等,若再過(guò)m分鐘甲桶中的水只有a8,則m的值為(D)(A)7(B)8(C)9(D)10解析:根據(jù)題意12=e5n,令18a=aent,即18=ent,因?yàn)?2=e5n,故18=e15n,比較知t=15,m=15-5=10.6.如圖,有一直角墻角,兩邊的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng),在P處有一棵樹與兩墻的距離分別是am(0<a<12),4 m,不考慮樹的粗細(xì),現(xiàn)在用16 m長(zhǎng)的籬笆,借助墻角圍成一個(gè)矩形的花圃ABCD.設(shè)此矩形花圃的面積為S m2,S的最大值為f(a),若將這棵樹圍在花圃內(nèi),則函數(shù)u=f(a)的圖象大致是(C)解析:設(shè)CD=x,則S=x(16-x)(4<x<16-a),Smax=f(a)=64,0<a8,a(16-a),8<a<12.故選C.二、填空題7.某工廠采用高科技改革,在兩年內(nèi)產(chǎn)值的月增長(zhǎng)率都是a,則這兩年內(nèi)第二年某月的產(chǎn)值比第一年相應(yīng)月產(chǎn)值的增長(zhǎng)率為. 解析:不妨設(shè)第一年8月份的產(chǎn)值為b,則9月份的產(chǎn)值為b(1+a),10月份的產(chǎn)值為b(1+a)2,依次類推,第二年8月份的產(chǎn)值是b(1+a)12.又由增長(zhǎng)率的概念知,這兩年內(nèi)的第二年某月的產(chǎn)值比第一年相應(yīng)月產(chǎn)值的增長(zhǎng)率為b(1+a)12-bb=(1+a)12-1.答案:(1+a)12-18.(20xx沈陽(yáng)模擬)一個(gè)容器裝有細(xì)沙a cm3,細(xì)沙從容器底部一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出,t min后剩余的細(xì)沙量為y=ae-bt(cm3),經(jīng)過(guò)8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子,則再經(jīng)過(guò)min,容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一. 解析:依題意有a·e-b×8=12a,b=ln28,y=a·e-ln28·t若容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一,則有a·e-ln28·t=18a.解得t=24,所以再經(jīng)過(guò)的時(shí)間為24-8=16 min.答案:169.國(guó)家規(guī)定個(gè)人稿費(fèi)納稅辦法為:不超過(guò)800元的不納稅;超過(guò)800元而不超過(guò)4000元的按超過(guò)800元部分的14%納稅;超過(guò)4000元的按全稿酬的11%納稅.某人出版了一書共納稅420元,這個(gè)人的稿費(fèi)為元. 解析:420<4000×11%,所以稿費(fèi)范圍是(800,4000,所以(x-800)×14%=420,解得x=3800.答案:380010.某商家一月份至五月份累計(jì)銷售額達(dá)3860萬(wàn)元,預(yù)測(cè)六月份銷售額為500萬(wàn)元,七月份銷售額比六月份遞增x%,八月份銷售額比七月份遞增x%,九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等.若一月份至十月份銷售總額至少達(dá)7000萬(wàn)元,則x的最小值是. 解析:七月份的銷售額為500(1+x%),八月份的銷售額為500(1+x%)2,則一月份到十月份的銷售總額是3860+500+2500(1+x%)+500(1+x%)2,根據(jù)題意有3860+500+2500(1+x%)+500(1+x%)27000,即25(1+x%)+25(1+x%)266,令t=1+x%,則25t2+25t-660,解得t65或t-115(舍去),故1+x%65,解得x20.故x的最小值為20.答案:20三、解答題11.(20xx珠海模擬)某校學(xué)生社團(tuán)心理學(xué)研究小組在對(duì)學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中,發(fā)現(xiàn)其注意力指數(shù)p與聽課時(shí)間t之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線.當(dāng)t(0,14時(shí),曲線是二次函數(shù)圖象的一部分,當(dāng)t14,40時(shí),曲線是函數(shù)y=loga(t-5)+83(a>0且a1)圖象的一部分.根據(jù)專家研究,當(dāng)注意力指數(shù)p大于等于80時(shí)聽課效果最佳.(1)試求p=f(t)的函數(shù)關(guān)系式.(2)老師在什么時(shí)段內(nèi)安排核心內(nèi)容能使得學(xué)生聽課效果最佳?請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)t(0,14時(shí),設(shè)p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),將(14,81)代入得c=-14,t(0,14時(shí),p=f(t)=-14(t-12)2+82;t14,40時(shí),將(14,81)代入y=loga(t-5)+83,得a=13,所以p=f(t)=-14(t-12)2+82,t(0,14,log13(t-5)+83,t(14,40.(2)t(0,14時(shí),由-14(t-12)2+8280,解得12-22t12+22,所以t12-22,14,t(14,40時(shí),由log13(t-5)+8380,解得5<t32,所以t(14,32,綜上t12-22,32,即老師在t12-22,32時(shí)段內(nèi)安排核心內(nèi)容能使得學(xué)生聽課效果最佳.12.某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品,其生產(chǎn)的總成本y(萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y=x25-48x+8000,已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸.(1)求年產(chǎn)量為多少噸時(shí),生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低,并求最低成本;(2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬(wàn)元,那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí),可以獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)是多少?解:(1)每噸平均成本為yx(萬(wàn)元).則yx=x5+8000x-482x5·8000x-48=32,當(dāng)且僅當(dāng)x5=8000x,即x=200時(shí)取等號(hào).年產(chǎn)量為200噸時(shí),每噸平均成本最低為32萬(wàn)元.(2)設(shè)年獲得總利潤(rùn)為R(x)萬(wàn)元,則R(x)=40x-y=40x-x25+48x-8000=-x25+88x-8000=-15(x-220)2+1680(0x210).R(x)在0,210上是增函數(shù),x=210時(shí),R(x)有最大值為-15(210-220)2+1680=1660.年產(chǎn)量為210噸時(shí),可獲得最大利潤(rùn)1660萬(wàn)元.能力提升13.某種新藥服用x小時(shí)后血液中的殘留量為y毫克,如圖所示為函數(shù)y=f(x)的圖象,當(dāng)血液中藥物殘留量不小于240毫克時(shí),治療有效.設(shè)某人上午8:00第一次服藥,為保證療效,則第二次服藥最遲的時(shí)間應(yīng)為(C) (A)上午10:00(B)中午12:00(C)下午4:00(D)下午6:00解析:當(dāng)x0,4時(shí),設(shè)y=k1x,把(4,320)代入,得k1=80,y=80x.當(dāng)x4,20時(shí),設(shè)y=k2x+b.把(4,320),(20,0)代入得4k2+b=320,20k2+b=0.解得k2=-20,b=400.y=400-20x.y=f(x)=80x,0x4,400-20x,4<x20.由y240,得0x4,80x240或4<x20,400-20x240.解得3x4或4<x8,3x8.故第二次服藥最遲應(yīng)在當(dāng)日下午4:00.故選C.14.某商品在最近100天內(nèi)的單價(jià)f(t)與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是f(t)=t4+22,0t<40,tN,-t2+52,40t100,tN,日銷售量g(t)與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是g(t)=-t3+1093(0t100,tN).則這種商品的日銷售額的最大值為. 解析:由已知銷售價(jià)f(t)=t4+22,0t<40,tN,-t2+52,40t100,tN,銷售量g(t)=-t3+1093(0t100,tN).日銷售額為s(t)=f(t)g(t),當(dāng)0t<40時(shí),s(t)=(t4+22)(-13t+1093)=-112t2+7t4+23983此函數(shù)的對(duì)稱軸為x=212,又tN,最大值為s(10)=s(11)=16172=808.5;當(dāng)40t100時(shí),s(t)=(-t2+52)(-13t+1093)=16t2-213t6+56683,此時(shí)函數(shù)的對(duì)稱軸為x=2132>100,最大值為s(40)=736.綜上,這種商品日銷售額s(t)的最大值為808.5.答案:808.515.設(shè)某旅游景點(diǎn)每天的固定成本為500元,門票每張為30元,變動(dòng)成本與購(gòu)票進(jìn)入旅游景點(diǎn)的人數(shù)的算術(shù)平方根成正比.一天購(gòu)票人數(shù)為25時(shí),該旅游景點(diǎn)收支平衡;一天購(gòu)票人數(shù)超過(guò)100時(shí),該旅游景點(diǎn)需另交保險(xiǎn)費(fèi)200元.設(shè)每天的購(gòu)票人數(shù)為x,盈利額為y元.(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系;(2)該旅游景點(diǎn)希望在人數(shù)達(dá)到20人時(shí)就不出現(xiàn)虧損,若用提高門票價(jià)格的措施,則每張門票至少要多少元(取整數(shù))?(參考數(shù)據(jù): 21.41,31.73,52.24)解:(1)根據(jù)題意,當(dāng)購(gòu)票人數(shù)不多于100時(shí),可設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系為y=30x-500-kx(k為常數(shù),kR且k0).人數(shù)為25時(shí),該旅游景點(diǎn)收支平衡,30×25-500-k25=0,解得k=50.y=30x-50x-500(xN*,x100),30x-50x-700(xN*,x>100).(2)設(shè)每張門票價(jià)格提高為m元,根據(jù)題意,得m×20-5020-5000,m25+5536.2,故每張門票最少要37元.探究創(chuàng)新16.某地近年來(lái)持續(xù)干旱,為倡導(dǎo)節(jié)約用水,該地采用了“階梯水價(jià)”計(jì)費(fèi)方法,具體方法:每戶每月用水量不超過(guò)4噸的每噸2元;超過(guò)4噸而不超過(guò)6噸的,超出4噸的部分每噸4元;超過(guò)6噸的,超出6噸的部分每噸6元.(1)寫出每戶每月用水量x(噸)與支付費(fèi)用y(元)的函數(shù)關(guān)系;(2)該地一家庭記錄了去年12個(gè)月的月用水量(xN*)如表:月用水量x(噸)34567頻數(shù)13332請(qǐng)你計(jì)算該家庭去年支付水費(fèi)的月平均費(fèi)用(精確到1元);(3)今年干旱形勢(shì)仍然嚴(yán)峻,該地政府號(hào)召市民節(jié)約用水,如果每個(gè)月水費(fèi)不超過(guò)12元的家庭稱為“節(jié)約用水家庭”,隨機(jī)抽取了該地100戶的月用水量作出如下統(tǒng)計(jì)表:月用水量x(噸)1234567頻數(shù)10201616151310據(jù)此估計(jì)該地“節(jié)約用水家庭”的比例.解:(1)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=2x,0x4,4x-8,4<x6,6x-20,x>6.(2)由(1)知:當(dāng)x=3時(shí),y=6;當(dāng)x=4時(shí),y=8;當(dāng)x=5時(shí),y=12;當(dāng)x=6時(shí),y=16;當(dāng)x=7時(shí),y=22.所以該家庭去年支付水費(fèi)的月平均費(fèi)用為112(6×1+8×3+12×3+16×3+22×2)13(元).(3)由(1)和題意知:當(dāng)y12時(shí),x5,所以“節(jié)約用水家庭”的頻率為77100=77%,據(jù)此估計(jì)該地“節(jié)約用水家庭”的比例為77%.