2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第九章 計(jì)數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布 9-6 幾何概型 教案【教學(xué)目標(biāo)】1.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率2.了解幾何概型的意義.【重點(diǎn)難點(diǎn)】 1.教學(xué)重點(diǎn)：理解幾何概型的意義；2.教學(xué)難點(diǎn)：學(xué)會(huì)對(duì)知識(shí)進(jìn)行整理達(dá)到系統(tǒng)化，提高分析問題和解決問題的能力；【教學(xué)策略與方法】自主學(xué)習(xí)、小組討論法、師生互動(dòng)法【教學(xué)過程】教學(xué)流程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖環(huán)節(jié)二：考綱傳真: 1.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率2.了解幾何概型的意義.真題再現(xiàn);1.(xx全國(guó)，4)某公司的班車在7：00，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是()A. B. C. D.解析如圖所示，畫出時(shí)間軸：小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段AB中，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段AC或DB時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不超過10分鐘，根據(jù)幾何概型得所求概率P，故選B.答案B2.(xx全國(guó)，10)從區(qū)間0，1隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，xn，y1，y2，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為()A. B. C. D.解析由題意得：(xi，yi)(i1，2，n)在如圖所示方格中，而平方和小于1的點(diǎn)均在如圖所示的陰影中，由幾何概型概率計(jì)算公式知，故選C.答案C知識(shí)梳理：知識(shí)點(diǎn)1幾何概型的定義如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型知識(shí)點(diǎn)2幾何概型的兩個(gè)基本特點(diǎn)1無限性：在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)2等可能性：每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性知識(shí)點(diǎn)3幾何概型的概率公式P(A).1必會(huì)結(jié)論；在幾何概型中，概率為1的事件不一定是必然事件，概率為0的事件不一定是不可能事件2必知關(guān)系；幾何概型的兩種類型：(1)線型幾何概型：當(dāng)基本事件只受一個(gè)連續(xù)的變量控制時(shí)的概型(2)面型幾何概型：當(dāng)基本事件受兩個(gè)連續(xù)的變量控制時(shí)，一般是把兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決考點(diǎn)分項(xiàng)突破考點(diǎn)一：與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型1.(xx重慶高考)在區(qū)間0,5上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)p，則方程x22px3p20有兩個(gè)負(fù)根的概率為_【解析】方程x22px3p20有兩個(gè)負(fù)根，解得<p1或p2.故所求概率P.【答案】2已知圓C：x2y212，直線l：4x3y25.圓C上任意一點(diǎn)A到直線l的距離小于2的概率為_【解析】圓心C(0,0)到直線l的距離d5.設(shè)圓C上點(diǎn)P1，P2到直線l的距離恰好為2，則圓心C到直線P1P2的距離為3，從而sinCP1P2，CP1P2，則P1CP2，記事件A為“在圓C上任取一點(diǎn)到直線l的距離小于2”，則事件A發(fā)生的區(qū)域的弧長(zhǎng)為，故所求概率P.【答案】歸納：1與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考查對(duì)象和對(duì)象的活動(dòng)范圍當(dāng)考查對(duì)象為點(diǎn)，且點(diǎn)的活動(dòng)范圍在線段上時(shí)，用“線段長(zhǎng)度”為測(cè)度計(jì)算概率，求解的核心是確定點(diǎn)的邊界位置2與角度有關(guān)的幾何概型當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問題時(shí)，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計(jì)算概率，事實(shí)上，當(dāng)半徑一定時(shí)，由于弧長(zhǎng)之比等于其所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)之比，所以角度之比實(shí)際上是所對(duì)的弧長(zhǎng)(曲線長(zhǎng))之比 考點(diǎn)二: 與體積有關(guān)的幾何概型(1)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為_(2)在體積為V的三棱錐SABC的棱AB上任取一點(diǎn)P，則三棱錐SAPC的體積大于的概率是_【解析】(1)如圖，與點(diǎn)O距離等于1的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)半球面，其體積V113.事件“點(diǎn)P與點(diǎn)O距離大于1的概率”對(duì)應(yīng)的區(qū)域體積為23，根據(jù)幾何概型概率公式得，點(diǎn)P與點(diǎn)O的距離大于1的概率P1.(2)如圖，三棱錐SABC與三棱錐SAPC的高相同，要使三棱錐SAPC的體積大于，只需APC的面積大于ABC面積的.假設(shè)點(diǎn)P是線段AB靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，記事件M為“三棱錐SAPC的體積大于”，則事件M發(fā)生的區(qū)域是線段PB.從而P(M).【答案】(1)1(2)跟蹤訓(xùn)練：1.如圖，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，有一動(dòng)點(diǎn)在此長(zhǎng)方體內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，則此動(dòng)點(diǎn)在三棱錐AA1BD內(nèi)的概率為_【解析】設(shè)事件M為“動(dòng)點(diǎn)在三棱錐AA1BD內(nèi)”，P(M).【答案】歸納：與體積有關(guān)的幾何概型對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件去求考點(diǎn)三: 與面積有關(guān)的幾何概型命題角度1與三角形、矩形、圓等平面圖形面積有關(guān)的問題1(xx福建高考)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)的圖象上若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于()A. B. C. D.【解析】因?yàn)閒(x)B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，故矩形ABCD的面積為236，陰影部分的面積為31，故P.【答案】B命題角度2與線性規(guī)劃或復(fù)數(shù)交匯命題的問題2(xx湖北高考)由不等式組確定的平面區(qū)域記為1，不等式組確定的平面區(qū)域記為2，在1中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在2內(nèi)的概率為()A. B. C. D.【解析】如圖，平面區(qū)域1就是三角形區(qū)域OAB，平面區(qū)域2與平面區(qū)域1的重疊部分就是區(qū)域OACD，易知C，故由幾何概型的概率公式，得所求概率P.【答案】D命題角度3與定積分交匯命題的問題3(xx福建高考)如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4)，函數(shù)f(x)x2.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于_【解析】由題意知，陰影部分的面積S(4x2)dx，所求概率P.【答案】。學(xué)生通過對(duì)高考真題的解決，發(fā)現(xiàn)自己對(duì)知識(shí)的掌握情況。 學(xué)生通過對(duì)高考真題的解決，感受高考題的考察視角。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的逐點(diǎn)掃描，來澄清概念，加強(qiáng)理解。從而為后面的練習(xí)奠定基礎(chǔ).在解題中注意引導(dǎo)學(xué)生自主分析和解決問題，教師及時(shí)點(diǎn)撥從而提高學(xué)生的解題能力和興教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 通過對(duì)考綱的解讀和分析。讓學(xué)生明確考試要求，做到有的放矢由常見問題的解決和總結(jié)，使學(xué)生形成解題模塊，提高模式識(shí)別能力和教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行小結(jié)，由利于學(xué)生對(duì)已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行編碼處理，加強(qiáng)理解記憶，提高解題技能。環(huán)節(jié)三：課堂小結(jié)：1.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率2.了解幾何概型的意義.學(xué)生回顧，總結(jié).引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思，為在今后的學(xué)習(xí)中，進(jìn)行有效調(diào)控打下良好的基礎(chǔ)。環(huán)節(jié)四：課后作業(yè)：學(xué)生版練與測(cè)學(xué)生通過作業(yè)進(jìn)行課外反思，通過思考發(fā)散鞏固所學(xué)的知識(shí)。