2019-2020年人教A版高中數(shù)學 高三一輪 第十一章選修內(nèi)容 11-2 參數(shù)方程教案1參數(shù)方程和普通方程的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式一般地，可以通過消去參數(shù)從參數(shù)方程得到普通方程(2)如果知道變數(shù)x，y中的一個與參數(shù)t的關(guān)系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系yg(t)，那么就是曲線的參數(shù)方程2常見曲線的參數(shù)方程和普通方程點的軌跡普通方程參數(shù)方程直線yy0tan (xx0)(t為參數(shù))圓x2y2r2(為參數(shù))橢圓1(a>b>0)(為參數(shù))雙曲線1 ，(a>0，b>0)(為參數(shù))拋物線y22px (p>0)(t為參數(shù))1直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，求直線l的斜率解將直線l的參數(shù)方程化為普通方程為y23(x1)，因此直線l的斜率為3.2已知直線l1：(t為參數(shù))與直線l2：(s為參數(shù))垂直，求k的值解直線l1的方程為yx，斜率為；直線l2的方程為y2x1，斜率為2.l1與l2垂直，()(2)1k1.3已知點P(3，m)在以點F為焦點的拋物線(t為參數(shù))上，求PF的值解將拋物線的參數(shù)方程化為普通方程為y24x，則焦點F(1,0)，準線方程為x1，又P(3，m)在拋物線上，由拋物線的定義知PF3(1)4.4已知曲線C的極坐標方程是1，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，求直線l與曲線C相交所截的弦長解曲線C的直角坐標方程為x2y21，直線l的普通方程為3x4y30.圓心到直線的距離d.直線l與曲線C相交所截的弦長為2.題型一參數(shù)方程與普通方程的互化例1(1)如圖，以過原點的直線的傾斜角為參數(shù)，求圓x2y2x0的參數(shù)方程(2)在平面直角坐標系中，已知直線l的參數(shù)方程為(s為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若l與C相交于A，B兩點，求AB的長解(1)圓的半徑為，記圓心為C(，0)，連結(jié)CP，則PCx2，故xPcos 2cos2，yPsin 2sin cos (為參數(shù))所以圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))(2)直線l的普通方程為xy2，曲線C的普通方程為y(x2)2(y0)，聯(lián)立兩方程得x23x20，求得兩交點坐標為(1,1)，(2,0)，所以AB.思維升華消去參數(shù)的方法一般有三種：(1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表示式，然后代入消去參數(shù)；(2)利用三角恒等式消去參數(shù)；(3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，靈活的選用一些方法從整體上消去參數(shù)將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意防止變量x和y取值范圍的擴大或縮小，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范圍(1)求直線(t為參數(shù))與曲線(為參數(shù))的交點個數(shù)(2)在平面直角坐標系xOy中，若直線l：(t為參數(shù))過橢圓C：(為參數(shù))的右頂點，求常數(shù)a的值解(1)將消去參數(shù)t得直線xy10；將消去參數(shù)得圓x2y29.又圓心(0,0)到直線xy10的距離d<3.因此直線與圓相交，故直線與曲線有2個交點(2)直線l的普通方程為xya0，橢圓C的普通方程為1，橢圓C的右頂點坐標為(3,0)，若直線l過(3,0)，則3a0，a3.題型二參數(shù)方程的應(yīng)用例2已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))(1)求直線l和圓C的普通方程；(2)若直線l與圓C有公共點，求實數(shù)a的取值范圍解(1)直線l的普通方程為2xy2a0，圓C的普通方程為x2y216.(2)因為直線l與圓C有公共點，故圓C的圓心到直線l的距離d4，解得2a2.思維升華已知圓、圓錐曲線的參數(shù)方程解決有關(guān)問題時，一般是把參數(shù)方程化為普通方程，通過互化解決與圓、圓錐曲線上動點有關(guān)的問題，如最值、范圍等在平面直角坐標系xOy中，曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為和(t為參數(shù))，求曲線C1與C2的交點坐標解曲線C1的普通方程為x2y25(x0，y0)曲線C2的普通方程為xy10.解方程組得曲線C1與C2的交點坐標為(2,1)題型三極坐標方程和參數(shù)方程的綜合應(yīng)用例3(xx課標全國)在直角坐標系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t0)，其中0，在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：2sin ，曲線C3：2cos .(1)求C2與C3交點的直角坐標；(2)若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求AB的最大值解(1)曲線C2的直角坐標方程為x2y22y0，曲線C3的直角坐標方程為x2y22x0.聯(lián)立解得或所以C2與C3交點的直角坐標為(0,0)和.(2)曲線C1的極坐標方程為(R，0)，其中0.因此A的極坐標為(2sin ，)，B的極坐標為(2cos ，)所以AB|2sin 2cos |4.當時，AB取得最大值，最大值為4.思維升華在對坐標系與參數(shù)方程的考查中，最能體現(xiàn)坐標法的解題優(yōu)勢，靈活地利用坐標法可以使問題得到簡捷的解答例如，將題設(shè)條件中涉及的極坐標方程和參數(shù)方程等價轉(zhuǎn)化為直角坐標方程，然后在直角坐標系下對問題進行求解就是一種常見的解題方法，對應(yīng)數(shù)學問題求解的“化生為熟”原則，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為2cos()，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l和圓C交于A，B兩點，P是圓C上不同于A，B的任意一點(1)求圓心的極坐標；(2)求PAB面積的最大值解(1)由圓C的極坐標方程為2cos()，得22(cos sin )，把代入可得圓C的直角坐標方程為x2y22x2y0，即(x1)2(y1)22.圓心坐標為(1，1)，圓心的極坐標為(，)(2)由題意，得直線l的直角坐標方程為2xy10.圓心(1，1)到直線l的距離d，AB22.點P到直線l的距離的最大值為rd，Smax.1將參數(shù)方程化為普通方程是解決問題的一般思路，體現(xiàn)了化歸思想2將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意兩種方程的等價性，不要增解；確定曲線的參數(shù)方程時，一定要根據(jù)實際問題的要求確定參數(shù)的取值范圍，必要時通過限制參數(shù)的范圍去掉多余的解.A組專項基礎(chǔ)訓練(時間：50分鐘)1求直線(t為參數(shù))被曲線(為參數(shù))所截得的弦長解直線方程可化為xy0，曲線方程可化為x21.由得x2x0，x0或x1.可得交點為A(0，)，B(1,0)AB2.所截得的弦長為2.2直線(t為參數(shù))與圓(為參數(shù))相切，求切線的傾斜角解直線的普通方程為bxay4b0，圓的普通方程為(x2)2y23，直線與圓相切，則圓心(2,0)到直線的距離為，從而有，即3a23b24b2，ba，而直線的傾斜角的正切值為tan ，tan ，因此切線的傾斜角為或.3已知直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程：(t為參數(shù))，以直角坐標系的原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，求以極點為圓心且與直線l相切的圓的極坐標方程解直線l的直角坐標方程為xy0.原點到直線的距離r1.以極點為圓心且與直線l相切的圓的極坐標方程為1.4(xx湖北)在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系已知直線l的極坐標方程為(sin 3cos )0，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，l與C相交于A，B兩點，求AB的長解直線l的極坐標方程(sin 3cos )0化為直角坐標方程為3xy0，曲線C的參數(shù)方程兩式經(jīng)過平方相減，化為普通方程為y2x24，聯(lián)立解得或所以A，B.所以AB 2.5在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以O(shè)為極點，以x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2的方程為sin()2，求曲線C1與曲線C2的交點個數(shù)解曲線C1，C2化為普通方程和直角坐標方程分別為x22y，xy40，聯(lián)立消去y得x22x80，因為判別式>0，所以方程有兩個實數(shù)解故曲線C1與曲線C2的交點個數(shù)為2.6在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與拋物線y24x相交于A，B兩點，求線段AB的長解將直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程y24x，得24，解得t10，t28.所以AB|t1t2|8.B組專項能力提升(時間：30分鐘)7(xx陜西)在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，C的極坐標方程為2sin .(1)寫出C的直角坐標方程；(2)P為直線l上一動點，當P到圓心C的距離最小時，求P的直角坐標解(1)由2sin ，得22sin ，從而有x2y22y，所以x2(y)23.(2)設(shè)P，又C(0，)，則PC ，故當t0時，PC取得最小值，此時，P點的直角坐標為(3,0)8已知直線C1：(t為參數(shù))，曲線C2：(為參數(shù))(1)當時，求C1與C2的交點坐標；(2)過坐標原點O作C1的垂線，垂足為A，P為OA的中點，當變化時，求P點軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線解(1)當時，C1的普通方程為y(x1)，C2的普通方程為x2y21，聯(lián)立方程得解得C1與C2的交點坐標分別為(1,0)，(，)(2)依題意，C1的普通方程為xsin ycos sin 0，則A點的坐標為(sin2，sin cos )，故當變化時，P點軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù))，P點軌跡的普通方程為(x)2y2.故P點的軌跡是圓心為(，0)，半徑為的圓9已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為4sin()(1)求圓C的直角坐標方程；(2)點P(x，y)是直線l與圓面4sin()的公共點，求xy的取值范圍解(1)因為圓C的極坐標方程為4sin()，所以24sin()4(sin cos )又2x2y2，xcos ，ysin ，所以x2y22y2x，所以圓C的直角坐標方程為x2y22x2y0.(2)設(shè)zxy，由圓C的方程x2y22x2y0，得(x1)2(y)24，所以圓C的圓心是(1，)，半徑是2.將代入zxy，得zt.又直線l過C(1，)，圓C的半徑是2，所以2t2，所以2t2，即xy的取值范圍是2,210在平面直角坐標系xOy中，動圓x2y24xcos 4ysin 7cos280 (R，為參數(shù))的圓心軌跡為曲線C，點P在曲線C上運動以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，若直線l的極坐標方程為2cos3，求點P到直線l的最大距離解將動圓的方程配方，得(x2cos )2(y2sin )293sin2，設(shè)圓心(x，y)，則 (R，為參數(shù))，即曲線C的參數(shù)方程為 (R，為參數(shù))，直線l的直角坐標方程為xy30，設(shè)點P(x1，y1)，則(R，為參數(shù))，點P到直線l的距離d，其中tan .當sin()1，點P到直線l的距離d取得最大值.