難點(diǎn)自選專題四“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”壓軸大題的搶分策略全國(guó)卷3年考情分析年份全國(guó)卷全國(guó)卷全國(guó)卷2018利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)極值與不等式證明T21函數(shù)的單調(diào)性、不等式的證明、函數(shù)的零點(diǎn)問題T21導(dǎo)數(shù)在研究不等式及極值問題的應(yīng)用T212017利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)問題T21利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值、函數(shù)的零點(diǎn)、不等式的證明T21導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用、不等式的放縮T212016利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問題、不等式的證明T21利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、不等式證明及值域問題T21三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、最值問題及不等式證明T21導(dǎo)數(shù)日益成為解決問題必不可少的工具，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)是高考的常見題型，而導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式、方程等的交匯命題，是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)解答題的熱點(diǎn)題型有：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值；(2)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式或探討方程根；(3)利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)的范圍或值考法策略(一)利用分類討論思想探究函數(shù)的性質(zhì)典例設(shè)f(x)xln xax2(2a1)x，aR.(1)令g(x)f(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知f(x)在x1處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)由f(x)ln x2ax2a，可得g(x)ln x2ax2a，x(0，)所以g(x)2a.當(dāng)a0，x(0，)時(shí)，g(x)0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)a0，x時(shí)，g(x)0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，x時(shí)，g(x)0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減所以當(dāng)a0時(shí)，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，)；當(dāng)a0時(shí)，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.(2)由(1)知，f(1)0.當(dāng)a0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增所以f(x)在x1處取得極小值，不合題意當(dāng)0a時(shí)，1，由(1)知f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，可得當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)0，當(dāng)x時(shí)，f(x)0.所以f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以f(x)在x1處取得極小值，不合題意當(dāng)a時(shí)，1，f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1，)內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，不合題意當(dāng)a時(shí)，01，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減所以f(x)在x1處取極大值，符合題意綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.題后悟通 分類討論思想解決有關(guān)函數(shù)性質(zhì)問題的策略(1)何時(shí)討論參數(shù)？在求解中，若參數(shù)的取值影響所求結(jié)果，就要分類討論如本例(1)中由g(x)確定單調(diào)區(qū)間時(shí)，對(duì)a的取值要分類討論(2)如何討論參數(shù)？解答此類問題的關(guān)鍵是如何分類，分類時(shí)要結(jié)合題目條件，對(duì)參數(shù)取值范圍進(jìn)行劃分，進(jìn)而研究其問題如本例(2)中分類的依據(jù)是與1的大小比較應(yīng)用體驗(yàn)1(2018全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)xaln x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：<a2.解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)1.若a2，則f(x)0，當(dāng)且僅當(dāng)a2，x1時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞減若a>2，令f(x)0，得x或x.當(dāng)x時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x時(shí)，f(x)>0.所以f(x)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)證明：由(1)知，當(dāng)且僅當(dāng)a>2時(shí)，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2滿足x2ax10，所以x1x21，不妨設(shè)x1<x2，則x2>1.由于1a2a2a，所以<a2等價(jià)于x22ln x2<0.設(shè)函數(shù)g(x)x2ln x，由(1)知，g(x)在(0，)上單調(diào)遞減又g(1)0，從而當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)<0.所以x22ln x2<0，即<a2.考法策略(二)利用轉(zhuǎn)化與化歸思想探究函數(shù)的零點(diǎn)問題典例函數(shù)f(x)axxln x在x1處取得極值(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若yf(x)m1在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)由題意知，f(x)aln x1(x>0)，f(1)a10，解得a1，當(dāng)a1時(shí)，f(x)xxln x，即f(x)ln x，令f(x)>0，解得x>1；令f(x)<0，解得0<x<1.所以f(x)在x1處取得極小值，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)(2)yf(x)m1在(0，)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為f(x)m1在(0，)上有兩個(gè)不同的根，也可轉(zhuǎn)化為yf(x)與ym1的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由(1)知，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，f(x)minf(1)1，由題意得，m1>1，即m>2，當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)x(1ln x)<0；當(dāng)x>0且x0時(shí)，f(x)0；當(dāng)x時(shí)，顯然f(x).如圖，由圖象可知，m1<0，即m<1，由可得2<m<1.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(2，1)題后悟通 轉(zhuǎn)化與化歸思想解決函數(shù)零點(diǎn)問題的策略(1)直接研究函數(shù)，求出極值以及最值，畫出草圖函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題即是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題(2)分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為ag(x)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求出函數(shù)g(x)在某區(qū)間的單調(diào)性，求出極值以及最值，畫出草圖函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題即是直線ya與函數(shù)yg(x)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題只需要用a與函數(shù)g(x)的極值和最值進(jìn)行比較即可如本例函數(shù)yf(x)m1的零點(diǎn)問題即可轉(zhuǎn)化為yf(x)與ym1兩圖象的交點(diǎn)問題應(yīng)用體驗(yàn)2已知函數(shù)f(x)的圖象在xe處的切線經(jīng)過點(diǎn)(1，e)，其中e2.718 28.(1)求a的值；(2)若函數(shù)g(x)tf(x)x在(1，e2上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍解：(1)由題意，得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,1)(1，)因?yàn)閒(x)，所以f(e)ae.所以f(x)的圖象在xe處的切線方程為yf(e)f(e)(xe)，即yae2ae(xe)，所以yeax.因?yàn)閒(x)的圖象在xe處的切線經(jīng)過點(diǎn)(1，e)，所以a1.(2)函數(shù)g(x)tf(x)x在(1，e2上有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)h(x)與yt的圖象在(1，e2上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)因?yàn)閔(x)，由h(x)0，得0xe且x1；由h(x)0，得xe.所以當(dāng)xe時(shí)，h(x)有極大值，即為最大值h(e).又因?yàn)閔e，h(e2)，h(1)0且0e，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為.考法策略(三)利用函數(shù)思想探究不等式問題典例已知函數(shù)f(x)ln xa(x1)，aR的圖象在(1，f(1)處的切線與x軸平行(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在x01，當(dāng)x(1，x0)時(shí)，恒有f(x)2xk(x1)成立，求k的取值范圍解(1)由已知可得f(x)的定義域?yàn)?0，)f(x)a，f(1)1a0，a1，f(x)1，令f(x)0，得0x1；令f(x)0，得x1，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，)(2)由(1)知f(x)ln xx1，不等式f(x)2xk(x1)可化為ln xxk(x1)，令g(x)ln xxk(x1)，則g(x)x1k.令h(x)x2(1k)x1，則h(x)的對(duì)稱軸為直線x，當(dāng)1，即k1時(shí)，易知h(x)在(1，)上單調(diào)遞減，x(1，)時(shí)，h(x)h(1)1k，若k1，則h(x)0，g(x)0，g(x)在(1，)上單調(diào)遞減，g(x)g(1)0，不符合題意若1k1，則h(1)0，存在x01，使得x(1，x0)時(shí)，h(x)0，即g(x)0，g(x)在(1，x0)上單調(diào)遞增，g(x)g(1)0恒成立，符合題意當(dāng)1，即k1時(shí)，易知存在x01，使得h(x)在(1，x0)上單調(diào)遞增，h(x)h(1)1k0，g(x)0，g(x)在(1，x0)上單調(diào)遞增，g(x)g(1)0恒成立，符合題意綜上，k的取值范圍是(，1)題后悟通函數(shù)思想解決不等式問題的策略移項(xiàng)法證明不等式f(x)g(x)(f(x)g(x)的問題轉(zhuǎn)化為證明f(x)g(x)0(f(x)g(x)0)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)f(x)g(x)(如本例)構(gòu)造“形似”函數(shù)對(duì)原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對(duì)數(shù)；把不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的結(jié)構(gòu)，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)主元法對(duì)于(或可化為)f(x1，x2)A的不等式，可選x1(或x2)為主元，構(gòu)造函數(shù)f(x，x2)(或f(x1，x)應(yīng)用體驗(yàn)3(2018全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)aexln x1.(1)設(shè)x2是f(x)的極值點(diǎn)，求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當(dāng)a時(shí)，f(x)0.解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)aex.由題設(shè)知，f(2)0，所以a.從而f(x)exln x1，f(x)ex.可知f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，又f(2)0，所以當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0.所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2，)(2)證明：當(dāng)a時(shí)，f(x)ln x1.設(shè)g(x)ln x1，則g(x).可知g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，且g(1)0，所以當(dāng)0<x<1時(shí)，g(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，g(x)>0.所以x1是g(x)的最小值點(diǎn)故當(dāng)x>0時(shí)，g(x)g(1)0.因此，當(dāng)a時(shí)，f(x)0.