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2019-2020年人教A版高一數(shù)學(xué)必修二 1-2-3 空間幾何體的直觀圖 教案 三維目標(biāo) 通過(guò)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形和空間幾何體的直觀圖，提高學(xué)生識(shí)圖和畫(huà)圖的能力，培養(yǎng)探究精神和意識(shí)，以及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法. 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)空間幾何體的直觀圖. 教學(xué)難點(diǎn)：直觀圖和三視圖的互化. 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)： （1）什么叫中心投影、平行投影、斜投影、正投影？ （2）三視圖采用何種投影？三視圖指哪三種視圖？畫(huà)三視圖要注意什么？ 說(shuō)明：三視圖在工程制圖中被廣泛采用，但其直觀性較差，因此，在繪制物體的直觀圖時(shí)，一般采用斜投影或中心投影。 2、 合作探究 提出問(wèn)題 ①如何用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的正六邊形的直觀圖？ ②上述畫(huà)直觀圖的方法稱為斜二測(cè)畫(huà)法，請(qǐng)總結(jié)其步驟. ③探求空間幾何體的直觀圖的畫(huà)法.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)長(zhǎng)、寬、高分別是4 cm、3 cm、2 cm的長(zhǎng)方體ABCD—A′B′C′D′的直觀圖. ④用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形和幾何體的直觀圖有什么不同？并總結(jié)畫(huà)幾何體的直觀圖的步驟. 活動(dòng)：①和③教師首先示范畫(huà)法，并讓學(xué)生思考斜二測(cè)畫(huà)法的關(guān)鍵步驟,讓學(xué)生發(fā)表自己的見(jiàn)解，教師及時(shí)給予點(diǎn)評(píng). ②根據(jù)上述畫(huà)法來(lái)歸納. ③讓學(xué)生比較兩種畫(huà)法的步驟. 討論結(jié)果：①畫(huà)法：1如圖1（1），在正六邊形ABCDEF中，取AD所在直線為x軸，對(duì)稱軸MN所在直線為y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.在圖1(2)中，畫(huà)相應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，使∠x(chóng)′O′y′=45. 2在圖1(2)中，以O(shè)′為中點(diǎn)，在x′軸上取A′D′=AD，在y′軸上取M′N′=MN.以點(diǎn)N′為中點(diǎn)畫(huà)B′C′平行于x′軸，并且等于BC；再以M′為中點(diǎn)畫(huà)E′F′平行于x′軸，并且等于EF. 3連接A′B′，C′D′，D′E′，F(xiàn)′A′，并擦去輔助線x′軸和y′軸，便獲得正六邊形ABCDEF水平放置的直觀圖A′B′C′D′E′F′〔圖1(3)〕. 圖1 ②步驟是：1在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸交于點(diǎn)O′，且使∠x(chóng)′O′y′=45(或135)，它們確定的平面表示水平面. 2已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于x′軸或y′軸的線段. 3已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半. ③畫(huà)法：1畫(huà)軸.如圖2，畫(huà)x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使∠x(chóng)Oy=45，∠x(chóng)Oz=90. 圖2 2畫(huà)底面.以點(diǎn)O為中點(diǎn)，在x軸上取線段MN，使MN=4 cm;在y軸上取線段PQ，使PQ=cm.分別過(guò)點(diǎn)M和N作y軸的平行線，過(guò)點(diǎn)P和Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A、B、C、D，四邊形ABCD就是長(zhǎng)方體的底面ABCD. 3畫(huà)側(cè)棱.過(guò)A、B、C、D各點(diǎn)分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2 cm長(zhǎng)的線段AA′、BB′、CC′、DD′. 4成圖.順次連接A′、B′、C′、D′，并加以整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線），就得到長(zhǎng)方體的直觀圖. 點(diǎn)評(píng)：畫(huà)幾何體的直觀圖時(shí)，如果不作嚴(yán)格要求，圖形尺寸可以適當(dāng)選取，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)圖的角度也可以自定，但是要求圖形具有一定的立體感. ④畫(huà)幾何體的直觀圖時(shí)還要建立三條軸，實(shí)際是建立了空間直角坐標(biāo)系，而畫(huà)水平放置平面圖形的直觀圖實(shí)際上建立的是平面直角坐標(biāo)系.畫(huà)幾何體的直觀圖的步驟是： 1在已知圖形所在的空間中取水平平面，作互相垂直的軸Ox、Oy，再作Oz軸，使∠x(chóng)Oy=90,∠yOz=90. 2畫(huà)出與Ox、Oy、Oz對(duì)應(yīng)的軸O′x′、O′y′、O′z′，使∠x(chóng)′O′y′=45，∠y′O′z′=90,x′O′y′所確定的平面表示水平平面. 3已知圖形中，平行于x軸、y軸和z軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于x′軸、y′軸和z′軸的線段，并使它們?cè)谒?huà)坐標(biāo)軸中的位置關(guān)系與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同. 4已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半. 5擦除作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖. 斜二測(cè)畫(huà)法的作圖技巧: 1在已知圖中建立直角坐標(biāo)系，理論上在任何位置建立坐標(biāo)系都行，但實(shí)際作圖時(shí)，一般建立特殊的直角坐標(biāo)系，盡量運(yùn)用原有直線為坐標(biāo)軸或圖形的對(duì)稱直線為坐標(biāo)軸或圖形的對(duì)稱點(diǎn)為原點(diǎn)或利用原有垂直正交的直線為坐標(biāo)軸等. 2在原圖中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中依然與x′軸或y′軸平行，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的線段可以先畫(huà)出線段的端點(diǎn)再連線，畫(huà)端點(diǎn)時(shí)作坐標(biāo)軸的平行線為輔助線.原圖中的曲線段可以通過(guò)取一些關(guān)鍵點(diǎn)，利用上述方法作出直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后，用平滑的曲線連接而畫(huà)出. 3在畫(huà)一個(gè)水平放置的平面時(shí)，由于平面是無(wú)限延展的，通常我們只畫(huà)出它的一部分表示平面，一般地，用平行四邊形表示空間一個(gè)水平平面的直觀圖. 例1 用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的圓的直觀圖. 活動(dòng)：學(xué)生回顧討論斜二測(cè)畫(huà)法的步驟，自己畫(huà)出來(lái)后再互相交流.教師適當(dāng)點(diǎn)評(píng). 解：（1）如圖3(1)，在⊙O上取互相垂直的直徑AB、CD，分別以它們所在的直線為x軸與y軸，將線段AB n等分.過(guò)各分點(diǎn)分別作y軸的平行線，交⊙O于E，F(xiàn)，G，H，…，畫(huà)對(duì)應(yīng)的x′軸和y′軸，使∠x(chóng)′O′y′=45. 圖3 (2)如圖3(2)，以O(shè)′為中點(diǎn)，在x′軸上取A′B′=AB，在y′軸上取C′D′=CD，將A′B′ n等分，分別以這些分點(diǎn)為中點(diǎn)，畫(huà)與y′軸平行的線段E′F′，G′H′，…，使E′F′=,G′H′=，…. （3）用光滑曲線順次連接A′，D′，F(xiàn)′，H′，…，B′，G′，E′，C′，A′并擦去輔助線，得到圓的水平放置的直觀圖〔圖3(3)〕. 變式 關(guān)于“斜二測(cè)畫(huà)法”，下列說(shuō)法不正確的是（ ） A.原圖形中平行于x軸的線段，其對(duì)應(yīng)線段平行于x′軸，長(zhǎng)度不變 B.原圖形中平行于y軸的線段，其對(duì)應(yīng)線段平行于y′軸，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的 C.在畫(huà)與直角坐標(biāo)系xOy對(duì)應(yīng)的x′O′y′時(shí)，∠x(chóng)′O′y′必須是45 D.在畫(huà)直觀圖時(shí)，由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同 分析：在畫(huà)與直角坐標(biāo)系xOy對(duì)應(yīng)的x′O′y′時(shí)，∠x(chóng)′O′y′也可以是135，所以C不正確. 答案：C 例2 如圖4，已知幾何體的三視圖，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它的直觀圖. 圖4 活動(dòng)：讓學(xué)生由三視圖還原為實(shí)物圖，并判斷該幾何體的結(jié)構(gòu)特征.教師分析： 由幾何體的三視圖知道，這個(gè)幾何體是一個(gè)簡(jiǎn)單組合體，它的下部是一個(gè)圓柱，上部是一個(gè)圓錐，并且圓錐的底面與圓柱的上底面重合.我們可以先畫(huà)出下部的圓柱，再畫(huà)出上部的圓錐. 解：畫(huà)法： （1）畫(huà)軸.如圖5（1），畫(huà)x軸、y軸、z軸，使∠x(chóng)Oy=45,∠x(chóng)Oz=90. (1) (2) 圖5 （2）畫(huà)圓柱的兩底面，仿照例2畫(huà)法，畫(huà)出底面⊙O.在z軸上截取O′，使OO′等于三視圖中相應(yīng)高度，過(guò)O′作Ox的平行線O′x′,Oy的平行線O′y′,利用O′x′與O′y′畫(huà)出底面⊙O′（與畫(huà)⊙O一樣）. （3）畫(huà)圓錐的頂點(diǎn).在Oz上截取點(diǎn)P，使PO′等于三視圖中相應(yīng)的高度. （4）成圖.連接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三視圖表示的幾何體的直觀圖〔圖5(2)〕. 點(diǎn)評(píng)： 空間幾何體的三視圖與直觀圖有著密切的聯(lián)系，我們能夠由空間幾何體的三視圖得到它的直觀圖.同時(shí)，也能夠由空間幾何體的直觀圖得到它的三視圖. 變式 圖6所示是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖，你能想象出它的幾何結(jié)構(gòu)，并畫(huà)出它的直觀圖嗎？ 圖6 答案：獎(jiǎng)杯的幾何結(jié)構(gòu)是最上面是一個(gè)球，中間是一個(gè)四棱柱，最下面是一個(gè)棱臺(tái)拼接成的簡(jiǎn)單組合體.其直觀圖略. 例1 如圖7所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4 cm，CD=2 cm，∠DAB=30，AD=3 cm，試畫(huà)出它的直觀圖. 圖7 活動(dòng)：利用斜二測(cè)畫(huà)法作該梯形的直觀圖，要注意在斜二測(cè)畫(huà)法中，要有一些平行于原坐標(biāo)軸的線段才好按部就班地作圖，所以先在原坐標(biāo)系中過(guò)Ｄ作出該點(diǎn)在x軸的垂足，則對(duì)應(yīng)地可以作出線段ＤＥ的直觀圖，進(jìn)而作出整個(gè)梯形的直觀圖. 解：步驟是：（1）如圖8所示，在梯形ABCD中，以邊AB所在的直線為x軸，點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.如圖9所示，畫(huà)出對(duì)應(yīng)的x′軸，y′軸，使∠x(chóng)′A′y′=45. （2）如圖8所示，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥x軸，垂足為E.在x′軸上取A′B′=AB=4 cm，A′E′=AE=cm ≈2.598 cm；過(guò)E′作E′D′∥y′軸，使E′D′=，再過(guò)點(diǎn)D′作D′C′∥x′軸，且使D′C′=CD=2 cm. 圖8 圖9 圖10 （3）連接A′D′、B′C′、C′D′，并擦去x′軸與y′軸及其他一些輔助線，如圖10所示，則四邊形A′B′C′D′就是所求作的直觀圖. 三、遷移運(yùn)用 1.利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖時(shí)： ①三角形的直觀圖是三角形； ②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形； ③正方形的直觀圖是正方形； ④菱形的直觀圖是菱形. 以上結(jié)論中，正確的是___________. 分析：斜二測(cè)畫(huà)法保持平行性和相交性不變，即平行直線的直觀圖還是平行直線，相交直線的直觀圖還是相交直線，故①②正確；但是斜二測(cè)畫(huà)法中平行于y軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度為原來(lái)的一半，則正方形的直觀圖不是正方形，菱形的直觀圖不是菱形，所以③④錯(cuò). 答案：①② 2.一個(gè)三角形用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出來(lái)的直觀圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則原三角形的面積是（ ） A. B. C. D.都不對(duì) 分析：根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則，正三角形的邊長(zhǎng)是原三角形的底邊長(zhǎng)，原三角形的高是正三角形高的倍，而正三角形的高是，所以原三角形的高為，于是其面積為2=. 答案：A 3.一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45，腰和上底長(zhǎng)均為1的等腰梯形，則該平面圖形的面積等于（ ） A. B. C. D. 分析：平面圖形是上底長(zhǎng)為1，下底長(zhǎng)為，高為2的直角梯形.計(jì)算得面積為. 答案：D 4.斜二測(cè)畫(huà)法中，位于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)M(4,4)在直觀圖中對(duì)應(yīng)點(diǎn)是M′,則點(diǎn)M′的找法是___________. 分析：在x′軸的正方向上取點(diǎn)M1，使O′M1=4，在y′軸上取點(diǎn)M2，使O′M2=2，過(guò)M1和M2分別作平行于y′軸和x′軸的直線的交點(diǎn)就是M′. 答案：在x′O′y′中，過(guò)點(diǎn)（4，0）和y′軸平行的直線與過(guò)（0，2）和x′軸平行的直線的交點(diǎn)即是. 5.根據(jù)圖14所示物體的三視圖（陰影部分為空洞）描繪出物體的大致形狀. 圖14 分析：根據(jù)該物體的三視圖可以判斷該物體的外輪廓是一個(gè)正方體，從正面和左面看是一個(gè)正方形中間有一個(gè)圓形的孔.從而知這兩個(gè)面應(yīng)該都有一個(gè)圓柱形的孔. 解：由此可以推測(cè)該物體大致形狀如圖15所示. 圖15