2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪（文） 第三章 3-1角的概念及任意角的三角函數(shù)教案1角的概念(1)任意角：定義：一個角可以看做平面內(nèi)一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形；分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角(2)所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是S|k360，kZ(3)象限角：使角的頂點與坐標(biāo)原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么這個角不屬于任何一個象限2弧度制(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.(2)角度制和弧度制的互化：180 rad,1 rad，1 rad.(3)扇形的弧長公式：l|r，扇形的面積公式：Slr|r2.3任意角的三角函數(shù)任意角的終邊與單位圓交于點P(x，y)時，sin y，cos x，tan (x0)三個三角函數(shù)的初步性質(zhì)如下表：三角函數(shù)定義域第一象限符號第二象限符號第三象限符號第四象限符號sin Rcos Rtan |k，kZ4.三角函數(shù)線如下圖，設(shè)角的終邊與單位圓交于點P，過P作PMx軸，垂足為M，過A(1,0)作單位圓的切線與的終邊或終邊的反向延長線相交于點T.三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)角終邊上點P的坐標(biāo)為(，)，那么sin ，cos ；同理角終邊上點Q的坐標(biāo)為(x0，y0)，那么sin y0，cos x0.()(2)銳角是第一象限角，反之亦然()(3)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等()(4)點P(tan ，cos )在第三象限，則角終邊在第二象限()(5)(0，)，則tan >>sin .()(6)為第一象限角，則sin cos >1.()1角870的終邊所在的象限是第_象限答案三解析由8701 080210，知870角和210角終邊相同，在第三象限2已知2弧度的圓心角所對的弦長為2，那么這個圓心角所對的弧長是_答案解析設(shè)圓的半徑為r，則sin 1，r，2弧度的圓心角所對弧長為2r.3已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為x軸的正半軸，若P(4，y)是角終邊上一點，且sin ，則y_.答案8解析因為sin ，所以y<0，且y264，所以y8.4函數(shù)y的定義域為_答案(kZ)解析2cos x10，cos x.由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示)x(kZ)題型一角及其表示例1(1)終邊在直線yx上的角的集合是_(2)如果是第三象限角，那么角2的終邊落在_答案(1)|k，kZ(2)第一、二象限或y軸的非負(fù)半軸上解析(1)在(0，)內(nèi)終邊在直線yx上的角是，終邊在直線yx上的角的集合為|k，kZ(2)2k<<2k，kZ，4k2<2<4k3，kZ.角2的終邊落在第一、二象限或y軸的非負(fù)半軸上思維升華(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角(2)利用終邊相同的角的集合S|2k，kZ判斷一個角所在的象限時，只需把這個角寫成0,2)范圍內(nèi)的一個角與2的整數(shù)倍的和，然后判斷角的象限(1)在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，對于始邊為x軸非負(fù)半軸的角，下列命題中正確的是_(填序號)第一象限中的角一定是銳角；終邊相同的角必相等；相等的角終邊一定相同；不相等的角終邊一定不同(2)已知角45，在區(qū)間720，0內(nèi)與角有相同終邊的角_.答案(1)(2)675或315解析(1)第一象限角是滿足2k<<2k，kZ的角，當(dāng)k0時，它都不是銳角，與角終邊相同的角是2k，kZ；當(dāng)k0時，它們都與不相等，亦即終邊相同的角可以不相等，但不相等的角終邊可以相同(2)由終邊相同的角關(guān)系知k36045，kZ，取k2，1，得675或315.題型二三角函數(shù)的概念例2(1)已知角的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y2x上，則cos 2_.(2)若sin tan <0，且<0，則角是第_象限角思維點撥(1)由于三角函數(shù)值與選擇終邊上的哪個點沒有關(guān)系，因此知道了終邊所在的直線，可在這個直線上任取一點，然后按照三角函數(shù)的定義來計算，最后用倍角公式求值(2)可以根據(jù)各象限內(nèi)三角函數(shù)值的符號判斷答案(1)(2)三解析(1)取終邊上一點(a,2a)，a0，根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，可得cos ，故cos 22cos21.(2)由sin tan <0可知sin ，tan 異號，從而角為第二或第三象限角由<0可知cos ，tan 異號，從而角為第三或第四象限角，故角為第三象限角思維升華(1)利用三角函數(shù)的定義，求一個角的三角函數(shù)值，需確定三個量：角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，該點到原點的距離r.(2)根據(jù)三角函數(shù)定義中x、y的符號來確定各象限內(nèi)三角函數(shù)的符號，理解并記憶：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”(1)已知角的終邊過點P(8m，6sin 30)，且cos ，則m的值為_(2)若是第二象限角，則_0.(判斷大小)答案(1)(2)<解析(1)r，cos ，m>0，即m.(2)是第二象限角，1<cos <0,0<sin <1，sin(cos )<0，cos(sin )>0，<0.題型三弧度制的應(yīng)用例3已知一扇形的圓心角為 (>0)，所在圓的半徑為R.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；(2)若扇形的周長是一定值C (C>0)，當(dāng)為多少弧度時，該扇形有最大面積？思維點撥(1)弓形面積可用扇形面積與三角形面積相減得到；(2)建立關(guān)于的函數(shù)解(1)設(shè)弧長為l，弓形面積為S弓，則60，R10，l10 (cm)，S弓S扇S10102sin 50 (cm2)(2)扇形周長C2Rl2RR，R，S扇R22.當(dāng)且僅當(dāng)24，即2時，扇形面積有最大值.思維升華涉及弧長和扇形面積的計算時，可用的公式有角度表示和弧度表示兩種，其中弧度表示的公式結(jié)構(gòu)簡單，易記好用，在使用前，應(yīng)將圓心角用弧度表示弧長和扇形面積公式：l|R，S|R2.已知扇形的周長為4 cm，當(dāng)它的半徑為_和圓心角為_弧度時，扇形面積最大，這個最大面積是_答案1 cm21 cm2解析設(shè)扇形圓心角為，半徑為r，則2r|r4，|2.S扇形|r22rr2(r1)21，當(dāng)r1時，(S扇形)max1，此時|2.數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用典例：(1)函數(shù)y 的定義域為_(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時圓上一點P的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正向滾動當(dāng)圓滾動到圓心位于C(2,1)時，的坐標(biāo)為_思維點撥(1)求函數(shù)定義域可轉(zhuǎn)化為解不等式sin x，利用三角函數(shù)線可直觀清晰地得出角x的范圍(2)點P轉(zhuǎn)動的弧長是本題的關(guān)鍵，可在圖中作三角形，尋找P點坐標(biāo)和三角形邊長的關(guān)系解析(1)sin x，作直線y交單位圓于A、B兩點，連結(jié)OA、OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角的終邊的范圍，故滿足條件的角的集合為x|2kx2k，kZ(2)如圖所示，過圓心C作x軸的垂線，垂足為A，過P作x軸的垂線與過C作y軸的垂線交于點B.因為圓心移動的距離為2，所以劣弧2，即圓心角PCA2，則PCB2，所以PBsin(2)cos 2，CBcos(2)sin 2，所以xP2CB2sin 2，yP1PB1cos 2，所以(2sin 2,1cos 2)答案(1)2k，2k, kZ(2)(2sin 2,1cos 2)溫馨提醒(1)利用三角函數(shù)線解三角不等式要在單位圓中先作出臨界情況，然后觀察適合條件的角的位置；(2)解決和旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問題要抓住旋轉(zhuǎn)過程中角的變化，結(jié)合弧長公式、三角函數(shù)定義尋找關(guān)系.方法與技巧1在利用三角函數(shù)定義時，點P可取終邊上任一點，如有可能則取終邊與單位圓的交點OPr一定是正值2三角函數(shù)符號是重點，也是難點，在理解的基礎(chǔ)上可借助口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦3在解簡單的三角不等式時，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個小技巧失誤與防范1注意易混概念的區(qū)別：象限角、銳角、小于90的角是概念不同的三類角第一類是象限角，第二、第三類是區(qū)間角2角度制與弧度制可利用180 rad進(jìn)行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用3已知三角函數(shù)值的符號確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況.A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：40分鐘)1角的終邊過點P(1,2)，則sin _.答案解析由三角函數(shù)的定義，得sin .2若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角(0，)的弧度數(shù)為_答案解析設(shè)圓半徑為r，則其內(nèi)接正三角形的邊長為r，所以rr，.3已知角x的終邊上一點的坐標(biāo)為(sin，cos)，則角x的最小正值為_答案解析因為sin xcos，cos xsin，所以x2k(kZ)，故當(dāng)k1時，x，即角x的最小正值為.4若是第三象限角，則y的值為_答案0解析是第三象限角，2k<<2k(kZ)，k<<k(kZ)，角在第二象限或第四象限當(dāng)在第二象限時，y0，當(dāng)在第四象限時，y0，綜上，y0.5已知角的終邊與480角的終邊關(guān)于x軸對稱，點P(x，y)在角的終邊上(不是原點)，則的值等于_答案解析由題意知角的終邊與240角的終邊相同，又P(x，y)在角的終邊上，tan tan 240，于是.6設(shè)為第二象限角，其終邊上一點為P(m，)，且cos m，則sin 的值為_答案解析設(shè)P(m，)到原點O的距離為r，則cos m，r2，sin .7如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的終邊與單位圓交于點A，點A的縱坐標(biāo)為，則cos _.答案解析由題意及圖，易知A點的橫坐標(biāo)為，所以cos .8函數(shù)y 的定義域是_答案(kZ)解析由題意知即x的取值范圍為2kx2k，kZ.9已知角的終邊經(jīng)過點P(，m) (m0)且sin m，試判斷角所在的象限，并求cos 和tan 的值解由題意，得r，所以sin m.因為m0，所以m，故角是第二或第三象限角當(dāng)m時，r2，點P的坐標(biāo)為(，)，角是第二象限角，所以cos ，tan ；當(dāng)m時，r2，點P的坐標(biāo)為(，)，角是第三象限角，所以cos ，tan .10已知扇形的圓心角是，半徑為R，弧長為l.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧長l.(2)若扇形的周長為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大？(3)若，R2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面積解(1)60，l10(cm)(2)由已知得，l2R20，所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以當(dāng)R5時，S取得最大值25，此時l10，2.(3)設(shè)弓形面積為S弓由題知lcm，S弓S扇形S三角形2222sin()(cm2)B組專項能力提升(時間：20分鐘)1若一扇形的圓心角為72，半徑為20 cm，則扇形的面積為_cm2.答案80解析72，S扇形r220280(cm2)2已知角2k(kZ)，若角與角的終邊相同，則y的值為_答案1解析由2k(kZ)及終邊相同的概念知，角的終邊在第四象限，又角與角的終邊相同，所以角是第四象限角，所以sin <0，cos >0，tan <0.所以y1111.3在直角坐標(biāo)系中，O是原點，A點坐標(biāo)為(，1)，將OA繞O逆時針旋轉(zhuǎn)450到B點，則B點的坐標(biāo)為_答案(1，)解析設(shè)B(x，y)，由題意知OAOB2，BOx60，且點B在第一象限，x2cos 601，y2sin 60，B點的坐標(biāo)為(1，)4設(shè)MP和OM分別是角的正弦線和余弦線，則給出的以下不等式：MP<OM<0；OM<0<MP；OM<MP<0；MP<0<OM.其中正確的是_答案解析角在第二象限，OM<0，MP>0，正確5如圖所示，動點P，Q從點A(4,0)出發(fā)沿圓周運(yùn)動，點P按逆時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，點Q按順時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，求點P，點Q第一次相遇時所用的時間、相遇點的坐標(biāo)及P，Q點各自走過的弧長解設(shè)P，Q第一次相遇時所用的時間是t，則tt|2.所以t4(秒)，即第一次相遇的時間為4秒設(shè)第一次相遇點為C，第一次相遇時P點和Q點已運(yùn)動到終邊在4的位置，則xCcos42，yCsin42.所以C點的坐標(biāo)為(2，2)P點走過的弧長為4，Q點走過的弧長為4.