2019-2020年人教A版高中數(shù)學 高三一輪（文） 第三章 3-2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導公式教案1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2cos21.(2)商數(shù)關(guān)系：tan .2下列各角的終邊與角的終邊的關(guān)系角2k(kZ)圖示與角終邊的關(guān)系相同關(guān)于原點對稱關(guān)于x軸對稱角圖示與角終邊的關(guān)系關(guān)于y軸對稱關(guān)于直線yx對稱3.六組誘導公式組數(shù)一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin sin sin cos cos 余弦cos cos cos cos sin sin 正切tan tan tan tan 口訣函數(shù)名不變符號看象限函數(shù)名改變符號看象限【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)sin()sin 成立的條件是為銳角()(2)六組誘導公式中的角可以是任意角()(3)若cos(n)(nZ)，則cos .()(4)已知sin ，cos ，其中，則m<5或m3.()(5)已知(0，)，sin cos ，則tan 的值為或.()(6)已知tan ，則的值是.()1已知是第二象限角，sin ，則cos .答案解析sin ，是第二象限角，cos .2已知sin()log8，且(，0)，則tan(2)的值為 答案解析sin()sin log8，又(，0)，得cos ，tan(2)tan()tan .3已知cos，則sin .答案解析sinsinsincos.4已知函數(shù)f(x)則ff(2 015) .答案1解析ff(2 015)f(2 01515)f(2 000)，f(2 000)2cos2cos 1.題型一同角三角函數(shù)關(guān)系的應用例1(1)已知cos(x)，x(，2)，則tan x .(2)已知5，則sin2sin cos 的值是 答案(1)(2)解析(1)cos(x)cos x，cos x.又x(，2)，sin x，tan x.(2)由5，得5，即tan 2，sin2sin cos .思維升華(1)利用sin2cos21可以實現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以實現(xiàn)角的弦切互化(2)應用公式時注意方程思想的應用：對于sin cos ，sin cos ，sin cos 這三個式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二(3)注意公式逆用及變形應用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.(1)已知，那么的值是 (2)已知tan 2，則sin cos .答案(1)(2)解析(1)由于1，故.(2)sin cos .題型二誘導公式的應用例2(1)已知cos，求cos的值；(2)已知<<2，cos(7)，求sin(3)tan的值思維點撥(1)將看作一個整體，觀察與的關(guān)系(2)先化簡已知，求出cos 的值，然后化簡結(jié)論并代入求值解(1)，.coscoscos，即cos.(2)cos(7)cos(7)cos()cos ，cos .sin(3)tansin()sin tansin sin cos .思維升華熟練運用誘導公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系，并確定相應三角函數(shù)值的符號是解題的關(guān)鍵另外，切化弦是常用的規(guī)律技巧(1)已知sin，則cos的值為 (2)已知sin 是方程5x27x60的根，是第三象限角，則tan2() .答案(1)(2)解析(1)coscossin.(2)方程5x27x60的根為或2，又是第三象限角，sin ，cos ，tan ，原式tan2tan2.題型三三角函數(shù)式的求值與化簡例3(1)已知為銳角，且有2tan()3cos()50，tan()6sin()10，則sin 的值是 (2)已知是三角形的內(nèi)角，且sin cos ，則tan .答案(1)(2)解析(1)2tan()3cos()50化簡為2tan 3sin 50，tan()6sin()10化簡為tan 6sin 10.由消去sin ，解得tan 3.又為銳角，根據(jù)sin2cos21，解得sin .(2)因為sin cos ，所以(sin cos )212sin cos ()2，即2sin cos ，所以(sin cos )212sin cos 1，又2sin cos <0,0<<，所以sin >0，cos <0，即sin cos >0，故sin cos ，由得所以tan .思維升華在三角函數(shù)式的求值與化簡中，要注意尋找式子中的角，函數(shù)式子的特點和聯(lián)系，可以切化弦，約分或抵消，減少函數(shù)種類，對式子進行化簡(1)若為三角形的一個內(nèi)角，且sin cos ，則這個三角形是 三角形(填“銳角”“直角”“鈍角”)(2)已知tan 2，sin cos <0，則 .答案(1)鈍角(2)解析(1)(sin cos )212sin cos ，sin cos <0，為鈍角此三角形為鈍角三角形(2)原式sin ，tan 2>0，為第一象限角或第三象限角又sin cos <0，為第三象限角，由tan 2，得sin 2cos 代入sin2cos21，解得sin .分類討論思想在三角函數(shù)求值化簡中的應用典例：(1)已知A(kZ)，則A的值構(gòu)成的集合是 (2)在ABC中，若sin(2A)sin(B)，cos Acos(B)，則C .思維點撥(1)角中含有整數(shù)k，應對k是奇數(shù)還是偶數(shù)進行討論；(2)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的平方關(guān)系時，要對開方的結(jié)果進行討論解析(1)當k為偶數(shù)時，A2；k為奇數(shù)時，A2.A的值構(gòu)成的集合是2，2(2)由已知得22得2cos2A1，即cos A，當cos A時，cos B，又A、B是三角形的內(nèi)角，A，B，C(AB).當cos A時，cos B.又A、B是三角形的內(nèi)角，A，B，不合題意綜上，C.答案(1)2，2(2)溫馨提醒(1)本題在三角函數(shù)的求值化簡過程中，體現(xiàn)了分類討論思想，即使討論的某種情況不合題意，也不能省略討論的步驟；(2)三角形中的三角函數(shù)問題，要注意隱含條件的挖掘及三角形內(nèi)角和定理的應用.方法與技巧同角三角函數(shù)基本關(guān)系是三角恒等變形的基礎(chǔ)，主要是變名、變式1同角關(guān)系及誘導公式要注意象限角對三角函數(shù)符號的影響，尤其是利用平方關(guān)系在求三角函數(shù)值時，進行開方時要根據(jù)角的象限或范圍，判斷符號后，正確取舍2三角求值、化簡是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，在求值與化簡時，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x化成正弦、余弦函數(shù)；(2)和積轉(zhuǎn)換法：如利用(sin cos )212sin cos 的關(guān)系進行變形、轉(zhuǎn)化；(3)巧用“1”的變換：1sin2cos2cos2(1tan2)sin2tan.失誤與防范1利用誘導公式進行化簡求值時，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負脫周化銳特別注意函數(shù)名稱和符號的確定2在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方，要特別注意判斷符號3注意求值與化簡后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化.A組專項基礎(chǔ)訓練(時間：40分鐘)1是第四象限角，tan ，則sin .答案解析tan ，cos sin ，又sin2cos21，sin2sin2sin21.又sin <0，sin .2若sin，則cos .答案解析，sinsincos.則cos2cos21.3已知sin()2sin()，則sin cos .答案解析由sin()2sin()得sin 2cos ，所以tan 2，所以sin cos .4已知f()，則f的值為 答案解析f()cos ，fcoscoscos .5函數(shù)y3cos(x)2的圖象關(guān)于直線x對稱，則的取值是 答案k(kZ)解析ycos x2的對稱軸為xk(kZ)，xk(kZ)，即xk(kZ)，令k(kZ)得k(kZ)6如果sin ，且為第二象限角，則sin .答案解析sin ，且為第二象限角，cos ，sincos .7已知為鈍角，sin()，則sin() .答案解析由題意可得cos()，又因為為鈍角，所以cos()，所以sin()cos()cos().8化簡： .答案1解析原式1.9已知sin ，<<.(1)求tan 的值；(2)求的值解(1)sin2cos21，cos2.又<<，cos .tan .(2)由(1)知，.10已知sin ，cos 是關(guān)于x的方程x2axa0(aR)的兩個根，求cos3()sin3()的值(已知：a3b3(ab)(a2abb2)解由已知原方程的判別式0，即(a)24a0，a4或a0.又(sin cos )212sin cos ，則a22a10，從而a1或a1(舍去)，因此sin cos sin cos 1.cos3()sin3()sin3cos3(sin cos )(sin2sin cos cos2)(1)1(1)2.B組專項能力提升(時間：25分鐘)1已知sin ，(，)，則sin(5)sin()的值是 答案解析sin ，(，)，cos .原式sin()(cos )sin cos .2已知2tan sin 3，<<0，則sin .答案解析由2tan sin 3得，3，即2cos23cos 20，又<<0，解得cos (cos 2舍去)，故sin .3已知角的頂點在坐標原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線2xy0上，則 .答案2解析由題意可得tan 2，原式2.4已知cosa (|a|1)，則cossin的值是 答案0解析coscoscosa.sinsincosa，cossin0.5(1)已知tan ，求的值；(2)化簡：.解(1)因為tan ，所以.(2)原式1.6已知f(x)(nZ)(1)化簡f(x)的表達式；(2)求f()f()的值解(1)當n為偶數(shù)，即n2k(kZ)時，f(x)sin2x；當n為奇數(shù)，即n2k1(kZ)時，f(x)sin2x，綜上得f(x)sin2x.(2)由(1)得f()f()sin2sin2sin2sin2()sin2cos21.