課堂達(dá)標(biāo)(六) 函數(shù)的奇偶性與周期性A基礎(chǔ)鞏固練1(2018北京市東城區(qū)二模)下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()Ayxcos xByxsin x Cy Dye|x| 解析A和C為非奇非偶函數(shù)，ye|x|為偶函數(shù)，令f(x)xsin x，定義域?yàn)镽，f(x)xsin(x)xsin xf(x)，故yxsin x為奇函數(shù)，故選B.答案B2已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)g(x)x3x21，則f(1)g(1)()A3B1C1D3解析因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，所以f(1)g(1)f(1)g(1)(1)3(1)211.故選C.答案C3(2018綿陽診斷)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x1)f的x的取值范圍是()A. B.C. D.解析f(x)是偶函數(shù)，f(x)f(|x|)，f(|2x1|)f，再根據(jù)f(x)的單調(diào)性，得|2x1|，解得x，故選A.答案A4(2018刑臺摸底考試)已知定義在(1,1)上的奇函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)1cos x，如果f(1a)f(1a2)0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(0,1) B(1, )C(2，) D(1，)(，1)解析依題意得，f(x)0，則f(x)是定義在(1,1)上的奇函數(shù)、增函數(shù)不等式f(1a)f(1a2)0等價(jià)于f(1a2)f(1a)f(a1)，則11a2a11，由此解得1a.答案B5(2018太原模擬)已知函數(shù)f(x)x，若f(x1)f(x2)，則()Ax1x2 Bx1x20Cx1x2 Dxx解析(1)f(x)xf(x)，f(x)在R上為偶函數(shù)，f(x)exx，x0時(shí)，f(x)0，f(x)在0，)上為增函數(shù)，由f(x1)f(x2)，得f(|x1|)f(|x2|)，|x1|x2|，xx.答案D6(2018河南新野第三高級中學(xué)月考)已知函數(shù)g(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，g(x)ln(1x)，函數(shù)f(x)若f(2x2)f(x)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A(，1)(2，)B(，2)(1，)C(1,2)D(2,1)解析設(shè)x0，則x0.x0時(shí)，g(x)ln(1x)，g(x)ln(1x)又g(x)是奇函數(shù)，g(x)ln(1x)(x0)，f(x)其圖象如圖所示由圖象知，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)f(2x2)f(x)，2x2x，即2x1.答案D7(2018湖南省常德市一模)已知yf(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)2x1，則f(2)_.解析根據(jù)題意，當(dāng)x0時(shí)，f(x)2x1，則f(2)2213，又由yf(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(2)f(2)3；故答案為：3.答案38已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞增若實(shí)數(shù)a滿足f(2|a1|)>f()，則a的取值范圍是_解析f(x)是偶函數(shù)，且在(，0)上單調(diào)遞增，f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，f()f()，f(2|a1|)f()，2|a1|<2，|a1|<，即<a1<，即<a<.答案9(2018湖南衡陽第三次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)log，則使得f(x1)f(2x1)成立的x的范圍是_解析由題意得，函數(shù)f(x)定義域是R，f(x)logf(x)，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，偶函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，f(x1)f(2x1)，|x1|2x1|，解得0x2，故答案為：0x2.答案0x210已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線x1對稱(1)求證：f(x)是周期為4的周期函數(shù)；(2)若f(x)(0x1)，求x5，4時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式解(1)證明：由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，有f(x1)f(1x)，即有f(x)f(x2)又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，故有f(x)f(x)故f(x2)f(x)從而f(x4)f(x2)f(x)，即f(x)是周期為4的周期函數(shù)(2)由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，有f(0)0.x1,0)時(shí)，x(0,1，f(x)f(x).故x1,0時(shí)，f(x).x5，4時(shí)，x41,0，f(x)f(x4).從而，x5，4時(shí)，函數(shù)f(x).B能力提升練1(2018安徽合肥一模)已知函數(shù)在f(x)(x22x)sin(x1)x1在1,3上的最大值為M，最小值為m，則Mm()A. 4 B. 2 C. 1 D. 0解析設(shè)tx1，則f(x)(x22x)sin(x1)x1(t21)sin tt2，t2,2，記g(t)(t21)sin tt2，則函數(shù)yg(t)2(t21)sin tt是奇函數(shù)，由已知yg(t)2的最大值為M2，最小值為m2，所以M2(m2)0，即Mm4，故選A.答案A2(2018寧夏銀川市興慶區(qū)長慶高中一模試卷)已知函數(shù)f(x)2sin x3x，若對任意m2,2，f(ma3)f(a2)0的恒成立，則a的取值范圍是()A(1,1)B(，1)(3，)C(3,3)D(，3)(1，)解析f(x)2sin(x)3(x)(2sin x3x)f(x)，f(x)是奇函數(shù)，又f(x)2cos x30，f(x)單調(diào)遞減，f(ma3)f(a2)0可化為f(ma3)f(a2)f(a2)，由f(x)遞減知ma3a2，即maa230，對任意的m2,2，f(ma3)f(a2)0恒成立，等價(jià)于對任意的m2,2，maa230恒成立，則，解得1a1，故選A.答案A3(2018廣州調(diào)研)已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)f(x)4，g(1)2，則f(1)的值是_.解析g(x)f(x)4，f(x)g(x)4，又f(x)是奇函數(shù)，f(1)f(1)g(1)42.答案24已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)若方程f(x)m(m0)在區(qū)間8,8上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，則x1x2x3x4_.解析因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)并且f(x4)f(x)所以f(x4)f(4x)f(x)，即f(4x)f(x)，且f(x8)f(x4)f(x)，即yf(x)的圖象關(guān)于x2對稱，并且是周期為8的周期函數(shù)因?yàn)閒(x)在0,2上是增函數(shù)，所以f(x)在2,2上是增函數(shù)，在2,6上為減函數(shù)，據(jù)此可畫出yf(x)的圖象圖象也關(guān)于x6對稱，x1x212，x3x44，x1x2x3x48.答案85函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈x|x0，且滿足對于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論；(3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函數(shù)，求x的取值范圍解(1)對于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.(2)令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，f(1)f(1)0.令x11，x2x有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)為偶函數(shù)(3)依題設(shè)有f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函數(shù)，f(x1)2f(|x1|)f(16)又f(x)在(0，)上是增函數(shù)0|x1|16，解之得15x17且x1.x的取值范圍是x|15x17且x1C尖子生專練(2017臺州模擬)已知函數(shù)g(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，g(x)ln(1x)，函數(shù)f(x)若f(2x2)>f(x)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_解析設(shè)x>0，則x<0.x<0時(shí)，g(x)ln(1x)，g(x)ln(x1)又g(x)是奇函數(shù)，g(x)ln(1x)(x>0)，f(x)其圖象如圖所示由圖象知，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)f(2x2)>f(x)，2x2>x，即2<x<1.所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是(2,1)答案(2,1)