第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應用舉例A組基礎題組1.設向量a=(1,-2),向量b=(-3,4),向量c=(3,2),則(a+2b)·c=()A.(-15,12)B.0C.-3D.-112.(20xx河南八市重點高中質(zhì)檢)已知平面向量a,b的夾角為2蟺3,且a·(a-b)=8,|a|=2,則|b|等于()A.3B.23C.3D.43.已知e1,e2是單位向量,m=e1+2e2,n=5e1-4e2,若mn,則e1與e2的夾角為()A.B.C.23D.344.(20xx德州模擬)如圖,在ABC中,O為BC中點,若AB=1,AC=3,<,>=60°,則|=()A.1B.2C.132D.55.如圖,在等腰三角形ABC中,底邊BC=2,=,=,若·=-12,則·=()A.-43B.43C.-32D.326.已知a=(1,2),b=(3,4),若a+kb與a-kb垂直,則實數(shù)k=. 7.如圖所示,在等腰直角三角形AOB中,OA=OB=1,=4,則·(-)=. 8.已知平面向量m,n的夾角為,且|m|=3,|n|=2,在ABC中,=2m+2n,=2m-6n,=,則|=. 9.已知|a|=4,|b|=8,a與b的夾角是120°.(1)計算:|a+b|,|4a-2b|;(2)當k為何值時,(a+2b)(ka-b)?10.(20xx上海靜安一模)如圖,已知O為坐標原點,向量=(3cosx,3sinx),=(3cosx,sinx),=(3,0),x.(1)求證:(-);(2)若ABC是等腰三角形,求x的值.B組提升題組11.(20xx河南商丘二模)已知a、b均為單位向量,且a·b=0.若|c-4a|+|c-3b|=5,則|c+a|的取值范圍是()A.3,10B.3,5C.3,4D.10,512.(20xx四川成都模擬)已知菱形ABCD邊長為2,B=,點P滿足=,R,若·=-3,則的值為()A.12B.-12C.13D.-1313.(20xx江蘇,13,5分)如圖,在ABC中,D是BC的中點,E,F是AD上的兩個三等分點,·=4,·=-1,則·的值是. 14.已知圓O的半徑為2,AB是圓O的一條直徑,C、D兩點都在圓O上(C、D不與A、B重合),且|=2,求|+|.15.已知ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,向量m=cosC2,sinC2,n=cosC2,-sinC2,且m與n的夾角為.(1)求角C;(2)已知c=72,SABC=332,求a+b的值.答案全解全析A組基礎題組1.Ca=(1,-2),b=(-3,4),a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6).又c=(3,2),(a+2b)·c=(-5,6)·(3,2)=-5×3+6×2=-3,故選C.2.D因為a·(a-b)=8,所以a·a-a·b=8,即|a|2-|a|b|cos<a,b>=8,所以4+2|b|×12=8,解得|b|=4.3.B因為mn,|e1|=|e2|=1,所以m·n=(e1+2e2)·(5e1-4e2)=5e12+6e1·e2-8e22=-3+6e1·e2=0.所以e1·e2=12.設e1與e2的夾角為,則cos=12.因為0,所以=.4.C因為O為BC中點,所以=12(+),|2=14(+2·+)=14(12+2×1×3×cos60°+32)=134,所以|=132.5.A如圖,作AFBC于F,ABC是等腰三角形,BF=FC=12BC=1.因為=D是AC的中點=12(+),所以·=-1212(+)·(-)=-12-=-1=5|=5,所以cosABC=BFAB=15,·=(-)·=·(-)=·-=2×5×15-23×5=2-103=-43.6.答案±55解析已知a=(1,2),b=(3,4),若a+kb與a-kb垂直,則(a+kb)·(a-kb)=0,即a2-k2b2=0,即5-25k2=0,即k2=15,所以k=±55.7.答案-12解析由已知得|=2,|=24,則·(-)=(+)·=·+·=2cos3蟺4+24×2=-12.8.答案2解析因為=,所以點D為BC的中點,所以=12(+)=2m-2n,又因為|m|=3,|n|=2,平面向量m,n的夾角為,所以|=2|m-n|=2(m-n)2=2=2.9.解析由已知得,a·b=4×8×-12=-16.(1)|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(-16)+64=48,|a+b|=43.|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2=16×16-16×(-16)+4×64=768,|4a-2b|=163.(2)若(a+2b)(ka-b),則(a+2b)·(ka-b)=0,ka2+(2k-1)a·b-2b2=0,即16k-16(2k-1)-2×64=0.解得k=-7.即k=-7時,a+2b與ka-b垂直.10.解析(1)證明:-=(0,2sinx),(-)·=0×3+2sinx×0=0,(-).(2)ABC是等腰三角形,則AB=BC,(2sinx)2=(3cosx-3)2+sin2x,整理得2cos2x-3cosx=0,解得cosx=0或cosx=32.x,cosx=32,x=.B組提升題組11.Ba、b均為單位向量,且a·b=0,設a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),代入|c-4a|+|c-3b|=5,得(x-4)2+y2+x2+(y-3)2=5,即(x,y)到A(4,0)和B(0,3)的距離和為5(如圖),令c的起點為坐標原點O,則c的終點軌跡是點(4,0)和(0,3)之間的線段,又|c+a|=(x+1)2+y2,表示M(-1,0)到線段AB上點的距離,最小值是點(-1,0)到直線3x+4y-12=0的距離,|c+a|min=|-3-12|5=3.又最大值為|MA|=5,|c+a|的取值范圍是3,5.故選B.12.A解法一:由題意可得·=2×2cos60°=2,·=(+)·(-)=(+)·(-)-=(+)·(-1)-=(1-)-·+(1-)·-=(1-)·4-2+2(1-)-4=-6=-3,=12,故選A.解法二:建立如圖所示的平面直角坐標系,則B(2,0),C(1,3),D(-1,3).設P(x,0),則·=(-3,3)·(x-1,-3)=-3x+3-3=-3x=-3,得x=1.=,=12.故選A.13.答案78解析由已知可得=+=+=-=12(-)-13(+)=-,=+=+=-=12(-)-13(+)=-,=+=+=12(-)-16(+)=-,=+=+=12(-)-16(+)=-,因為·=4,所以·=4,則·=·=·-+·=·-29(+)=59×4-29(+)=-1,所以+=292,從而·=·=-536·-+·=-536(+)+·=-536×292+2636×4=6372=78.14.解析如圖,連接OC,OD,則=+,=+,因為O是AB的中點,所以+=0,所以+=+,設CD的中點為M,連接OM,則+=+=2,易知COD是邊長為2的等邊三角形,所以|=3,故|+|=|2|=23.15.解析(1)因為向量m=cosC2,sinC2,n=cosC2,-sinC2,所以m·n=cos2C2-sin2C2,|m|=cos2C2+sin2C2=1,|n|=cos2C2+-sinC22=1,又m與n的夾角為,所以cos=cos2C2-sin2C2=cosC=12,因為0<C<,所以C=.(2)因為SABC=12absinC=12absin=34ab,所以34ab=332,所以ab=6,又cosC=a2+b2-c22ab,所以12=(a+b)2-2ab-c22ab=(a+b)2-12-72212,解得a+b=112.