一、填空題1若a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，且ab，則x_，y_.解析：若ab，則，x，y.答案：2在下列命題中：若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行；若三個向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c共面；已知空間的三個向量a，b，c，則對于空間的任意一個向量p總存在實數(shù)x，y，z使得px ay bz c.其中正確命題的個數(shù)是_解析：a與b共線，a，b所在直線也可能重合，故不正確；三個向量a，b，c中任兩個一定共面，但三個卻不一定共面，故不正確；只有當(dāng)a，b，c不共面時，空間任意一向量p才能表示為px ay bz c，故不正確，綜上可知四個命題中正確的個數(shù)為0.答案：03若a，b，c為空間的一組基底，則下列各項中，能構(gòu)成基底的一組向量是_a，ab，abb，ab，abc，ab，abab，ab，a2b解析：若c、ab、ab共面，則c(ab)m(ab)(m)a(m)b，則a、b、c為共面向量，此與a，b，c為空間向量的一組基底矛盾，故c，ab，ab可構(gòu)成空間向量的一組基底答案：4已知空間四邊形ABCD中，M、G分別為BC、CD的中點，則()等于_解析：如圖所示：()，.答案：5正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長為a，點M在上且，N為B1B的中點，則|為_解析：以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D­xyz，則A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N(a，a，)設(shè)M(x，y，z)，點M在上且，(xa，y，z)(x，ay，az)，xa，y，z.得M(，)，| a.答案：a6若向量a(1，2)，b(2，1,2)，且a與b的夾角的余弦值為，則等于_解析：由已知得，83(6)，解得2或.答案：2或7已知A(1，2,6)，B(1,2，6)，O為坐標(biāo)原點，則向量與的夾角是_解析：設(shè)與的夾角為，則cos 1知.答案：8已知ABCD為平行四邊形，且A(4,1,3)，B(2，5,1)，C(3,7，5)，則點D的坐標(biāo)為_解析：設(shè)D(x，y，z)，由題設(shè)知，(2，6，2)，(3x,7y，5z)，又，所以，所以，故D(5,13，3)答案：(5,13，3)9在空間四邊形ABCD中，···_.解析：設(shè)b，c，d，則dc，db，cb.原式b·(dc)d·(cb)c(db)0.答案：0二、解答題10已知向量a(1，3,2)，b(2,1,1)，O為原點，點A(3，1,4)，B(2，2,2)(1)求|2ab|；(2)在直線AB上是否存在一點E，使得b?解析：(1)2ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5,5)，故|2ab|5.(2)假設(shè)存在一點E滿足題意，即t(t0)t(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)若b，則·b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t，因此存在點E，使得b，此時點E的坐標(biāo)為(，)11證明三個向量ae13e22e3，b4e16e22e3，c3e112e211e3共面證明：若e1、e2、e3共面，顯然a、b、c共面；若e1、e2、e3不共面，設(shè)cab，即3e112e211e3(e13e22e3)(4e16e22e3)，整理得3e112e211e3(4)e1(36)e2(22)e3，由空間向量基本定理可知解得即c5ab，則三個向量共面12已知ABC的頂點A(1,1,1)，B(2,2,2)，C(3,2,4)，試求：(1)ABC的重心坐標(biāo)；(2)ABC的面積；(3)ABC的AB邊上的高解析：(1)設(shè)重心坐標(biāo)為(x0，y0，z0)，則x02，y0，z0，重心坐標(biāo)為(2，)(2)(1,1,1)，(2,1,3)，|，|，·2136，cos Acos ，sin A .SABC|·|·sin A×××.(3)設(shè)AB邊上的高為CD，則SABC|·|，|.故ABC的AB邊上的高是.