第56練 向量法求解立體幾何問題訓練目標會用空間向量解決立體幾何的證明、求空間角、求距離問題訓練題型(1)用空間向量證明平行與垂直；(2)用空間向量求空間角；(3)求長度與距離解題策略(1)選擇適當的空間坐標系；(2)求出相關點的坐標，用坐標表示直線的方向向量及平面的法向量；(3)理解并記住用向量表示的空間角和距離的求解公式；(4)探索性問題，可利用共線關系設變量，引入參數，列方程求解.1.(20xx·吉林實驗中學質檢)如圖，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直線AB，且ABBP2，ADAE1，AEAB，且AEBP.(1)設點M為棱PD的中點，求證：EM平面ABCD；(2)線段PD上是否存在一點N，使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值為？若存在，試確定點N的位置；若不存在，請說明理由2(20xx·上饒月考)如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是線段EF的中點求證：(1)AM平面BDE；(2)AM平面BDF.3.(20xx·南昌月考)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，B1BB1AABBC，B1BC90°，D為AC的中點，ABB1D.(1)求證：平面ABB1A1平面ABC；(2)在線段CC1(不含端點)上，是否存在點E，使得二面角EB1DB的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由4(20xx·太原質檢)如圖所示，該幾何體是由一個直三棱柱ADEBCF和一個正四棱錐PABCD組合而成的，ADAF，AEAD2.(1)證明：平面PAD平面ABFE；(2)求正四棱錐PABCD的高h，使得二面角CAFP的余弦值是.答案精析1(1)證明因為平面ABCD平面ABPE，且BCAB，所以BC平面ABPE，所以BA，BP，BC兩兩垂直以B為原點，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則P(0,2,0)，D(2,0,1)，M，E(2,1,0)，C(0,0,1)，所以.易知平面ABCD的一個法向量為n(0,1,0)，所以·n·(0,1,0)0，所以n.又EM平面ABCD，所以EM平面ABCD.(2)解當點N與點D重合時，直線BN與平面PCD所成角的正弦值為.理由如下：因為(2，2,1)，(2,0,0)，設平面PCD的法向量為n1(x1，y1，z1)，由得取y11，得平面PCD的一個法向量為n1(0,1,2)假設線段PD上存在一點N，使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值為.設(01)，則(2，2,1)(2，2，)，(2，22，)所以sin |cos，n1|.所以92845，解得1或(舍去)因此，線段PD上存在一點N，當N點與D點重合時，直線BN與平面PCD所成角的正弦值為.2證明(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，設ACBDN，連接NE，則點N，E的坐標分別為(，0)，(0,0,1)所以(，1)又點A，M的坐標分別是(，0)，(，1)，所以(，1)所以，且NE與AM不共線所以NEAM.又因為NE平面BDE，AM平面BDE，所以AM平面BDE.(2)由(1)知(，1)，因為D(，0,0)，F(，1)，所以(0，1)所以·0，所以，所以AMDF，同理AMBF，又DFBFF，DF平面BDF，BF平面BDF，所以AM平面BDF.3(1)證明取AB的中點O，連接OD，OB1.因為B1BB1A，所以OB1AB.又ABB1D，OB1B1DB1，OB1平面B1OD，B1D平面B1OD，所以AB平面B1OD，因為OD平面B1OD，所以ABOD.由已知條件知，BCBB1，又ODBC，所以ODBB1.因為ABBB1B，AB平面ABB1A1，BB1平面ABB1A1，所以OD平面ABB1A1.因為OD平面ABC，所以平面ABB1A1平面ABC.(2)解由(1)知OB，OD，OB1兩兩垂直，所以以O為坐標原點，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，|為單位長度1，建立如圖所示的空間直角坐標系，連接B1C.由題設知，B1(0,0，)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(1,0,0)，C(1,2,0)，C1(0,2，)，(0,1，)，(1,0，)，(1,0，)，(1,2，)，設(0<<1)，由(1，2，(1)，設平面BB1D的法向量為m(x1，y1，z1)，則得令z11，則x1y1，所以平面BB1D的法向量為m(，1)設平面B1DE的法向量為n(x2，y2，z2)，則得令z21，則x2，y2，所以平面B1DE的一個法向量n(，1)設二面角EB1DB的大小為，則cos.解得.所以在線段CC1上存在點E，使得二面角EB1DB的余弦值為，此時.4(1)證明在直三棱柱ADEBCF中，AB平面ADE，AD平面ADE，所以ABAD.又ADAF，ABAFA，ADAFA，AB平面ABFE，AF平面ABFE，所以AD平面ABFE.因為AD平面PAD，所以平面PAD平面ABFE.(2)解由(1)知AD平面ABFE，以A為原點，AB，AE，AD所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設h為點P到平面ABCD的距離則A(0,0,0)，F(2,2,0)，C(2,0,2)，P(1，h,1)，(2,2,0)，(2,0,2)，(1，h,1)設平面AFC的一個法向量為m(x1，y1，z1)，則取x11，則y1z11，所以m(1，1，1)設平面AFP的一個法向量為n(x2，y2，z2)，則取x21，則y21，z21h，所以n(1，1，1h)因為二面角CAFP的余弦值為，所以|cosm，n|，解得h1.