2019-2020年人教A版高中數(shù)學 高三一輪 第十一章選修內(nèi)容 11-1 坐標系教案1平面直角坐標系設(shè)點P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換：的作用下，點P(x，y)對應(yīng)到點P(x，y)，稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換2極坐標系(1)極坐標與極坐標系的概念在平面上取一個定點O，自點O引一條射線Ox，同時確定一個長度單位和計算角度的正方向(通常取逆時針方向為正方向)，這樣就建立了一個極坐標系點O稱為極點，射線Ox稱為極軸平面內(nèi)任一點M的位置可以由線段OM的長度和從射線Ox到射線OM的角度來刻畫(如圖所示)這兩個數(shù)組成的有序數(shù)對(，)稱為點M的極坐標稱為點M的極徑，稱為點M的極角由極徑的意義可知0.當極角的取值范圍是0,2)時，平面上的點(除去極點)就與極坐標(，) (0)建立一一對應(yīng)的關(guān)系我們設(shè)定，極點的極坐標中，極徑0，極角可取任意角(2)極坐標與直角坐標的互化設(shè)M為平面內(nèi)的一點，它的直角坐標為(x，y)，極坐標為(，)由圖可知下面關(guān)系式成立：或.這就是極坐標與直角坐標的互化公式3常見曲線的極坐標方程曲線圖形極坐標方程圓心在極點，半徑為r的圓r(0<2)圓心為(r,0)，半徑為r的圓2rcos_(<)圓心為(r，)，半徑為r的圓2rsin_(0<)過極點，傾斜角為的直線(R) 或(R)過點(a,0)，與極軸垂直的直線cos a(<<)過點(a，)，與極軸平行的直線sin_a(0<<)1求在極坐標系中，過點(2，)且與極軸平行的直線方程解點(2，)在直角坐標系下的坐標為(2cos ，2sin )，即(0,2)過點(0,2)且與x軸平行的直線方程為y2.即為sin 2.2在極坐標系中，已知兩點A、B的極坐標分別為(3，)、(4，)，求AOB(其中O為極點)的面積解由題意知A、B的極坐標分別為(3，)、(4，)，則AOB的面積SAOBOAOBsinAOB34sin 3.3在以O(shè)為極點的極坐標系中，圓4sin 和直線sin a相交于A，B兩點當AOB是等邊三角形時，求a的值解由4sin 可得x2y24y，即x2(y2)24.由sin a可得ya.設(shè)圓的圓心為O，ya與x2(y2)24的兩交點A，B與O構(gòu)成等邊三角形，如圖所示由對稱性知OOB30，ODa.在RtDOB中，易求DBa，B點的坐標為(a，a)又B在x2y24y0上，(a)2a24a0，即a24a0，解得a0(舍去)或a3.題型一極坐標與直角坐標的互化例1(1)以直角坐標系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，求線段y1x(0x1)的極坐標方程(2)在極坐標系中，曲線C1和C2的方程分別為sin2cos 和sin 1.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，求曲線C1和C2交點的直角坐標解(1)y1x化成極坐標方程為cos sin 1，即.0x1，線段在第一象限內(nèi)(含端點)，0.(2)因為xcos ，ysin ，由sin2cos ，得2sin2cos ，所以曲線C1的直角坐標方程為y2x.由sin 1，得曲線C2的直角坐標方程為y1.由得故曲線C1與曲線C2交點的直角坐標為(1,1)思維升華(1)極坐標與直角坐標互化的前提條件：極點與原點重合；極軸與x軸的正半軸重合；取相同的單位長度(2)直角坐標方程化為極坐標方程比較容易，只要運用公式xcos 及ysin 直接代入并化簡即可；而極坐標方程化為直角坐標方程則相對困難一些，解此類問題常通過變形，構(gòu)造形如cos ，sin ，2的形式，進行整體代換(1)曲線C的直角坐標方程為x2y22x0，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求曲線C的極坐標方程(2)求在極坐標系中，圓2cos 垂直于極軸的兩條切線方程解(1)將x2y22，xcos 代入x2y22x0，得22cos 0，整理得2cos .(2)由2cos ，得22cos ，化為直角坐標方程為x2y22x0，即(x1)2y21，其垂直于x軸的兩條切線方程為x0和x2，相應(yīng)的極坐標方程為(R)和cos 2.題型二求曲線的極坐標方程例2將圓x2y21上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C.(1)寫出曲線C的方程；(2)設(shè)直線l：2xy20與C的交點為P1，P2，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程解(1)設(shè)(x1，y1)為圓上的點，在已知變換下變?yōu)榍€C上的點(x，y)，依題意，得由xy1得x2()21，即曲線C的方程為x21.(2)由解得或不妨設(shè)P1(1,0)，P2(0,2)，則線段P1P2的中點坐標為(，1)，所求直線斜率為k，于是所求直線方程為y1(x)，化為極坐標方程，并整理得2cos 4sin 3，即.思維升華求曲線的極坐標方程的步驟：(1)建立適當?shù)臉O坐標系，設(shè)P(，)是曲線上任意一點；(2)由曲線上的點所適合的條件，列出曲線上任意一點的極徑和極角之間的關(guān)系式；(3)將列出的關(guān)系式進行整理、化簡，得出曲線的極坐標方程在極坐標系中，已知圓C經(jīng)過點P(，)，圓心為直線sin與極軸的交點，求圓C的極坐標方程解在sin中，令0，得1，所以圓C的圓心坐標為(1,0)如圖所示，因為圓C經(jīng)過點P，所以圓C的半徑PC 1，于是圓C過極點，所以圓C的極坐標方程為2cos .題型三極坐標方程的應(yīng)用例3(xx課標全國)在直角坐標系xOy中，直線C1：x2，圓C2：(x1)2(y2)21，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系(1)求C1，C2的極坐標方程；(2)若直線C3的極坐標方程為(R)，設(shè)C2與C3的交點為M，N，求C2MN的面積解(1)因為xcos ，ysin ，所以C1的極坐標方程為cos 2，C2的極坐標方程為22cos 4sin 40.(2)將代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2.故12，即|MN|.由于C2的半徑為1，所以C2MN為等腰直角三角形，所以C2MN的面積為.思維升華(1)已知極坐標系方程討論位置關(guān)系時，可以先化為直角坐標方程；(2)在曲線的方程進行互化時，一定要注意變量的范圍，注意轉(zhuǎn)化的等價性(xx廣州調(diào)研)在極坐標系中，求直線sin()2被圓4截得的弦長解由sin()2，得(sin cos )2可化為xy20.圓4可化為x2y216，由圓中的弦長公式得：224.故所求弦長為4.在用方程解決直線、圓和圓錐曲線的有關(guān)問題時，將極坐標方程化為直角坐標方程，有助于對方程所表示的曲線的認識，從而達到化陌生為熟悉的目的，這是轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用A組專項能力提升(時間：50分鐘)1(xx廣東)已知直線l的極坐標方程為2sin，點A的極坐標為，求點A到直線l的距離解依題可知直線l：2sin和點A可化為l：xy10和A(2，2)，所以點A到直線l的距離為d.2在極坐標系(，)(02)中，求曲線(cos sin )1與(sin cos )1的交點的極坐標解曲線(cos sin )1化為直角坐標方程為xy1，(sin cos )1化為直角坐標方程為yx1.聯(lián)立方程組得則交點為(0,1)，對應(yīng)的極坐標為.3在極坐標系中，已知圓3cos 與直線2cos 4sin a0相切，求實數(shù)a的值解圓3cos 的直角坐標方程為x2y23x，即2y2，直線2cos 4sin a0的直角坐標方程為2x4ya0.因為圓與直線相切，所以，解得a33.4在極坐標系中，求曲線2cos 關(guān)于直線對稱的曲線的極坐標方程解以極點為坐標原點，極軸為x軸建立直角坐標系，則曲線2cos 的直角坐標方程為(x1)2y21，且圓心為(1,0)直線的直角坐標方程為yx，因為圓心(1,0)關(guān)于yx的對稱點為(0,1)，所以圓(x1)2y21關(guān)于yx的對稱曲線為x2(y1)21.所以曲線2cos 關(guān)于直線對稱的曲線的極坐標方程為2sin .5在極坐標系中，P是曲線C1：12sin 上的動點，Q是曲線C2：12cos()上的動點，求PQ的最大值解對曲線C1的極坐標方程進行轉(zhuǎn)化：12sin ，212sin ，x2y212y0，即x2(y6)236.對曲線C2的極坐標方程進行轉(zhuǎn)化：12cos()，212(cos cossin sin)，x2y26x6y0，(x3)2(y3)236，PQmax6618.6在極坐標系中，O是極點，設(shè)A(4，)，B(5，)，求AOB的面積解如圖所示，AOB2，OA4，OB5，故SAOB45sin 5.B組專項能力提升(時間：30分鐘)7已知P(5，)，O為極點，求使POP為正三角形的點P的坐標解設(shè)P點的極坐標為(，)POP為正三角形，如圖所示，POP.或.又5，P點的極坐標為(5，)或(5，)8在極坐標系中，判斷直線cos sin 10與圓2sin 的位置關(guān)系解直線cos sin 10可化成xy10，圓2sin 可化為x2y22y，即x2(y1)21.圓心(0,1)到直線xy10的距離d0<1.故直線與圓相交9在極坐標系中，已知三點M、N(2,0)、P.(1)將M、N、P三點的極坐標化為直角坐標；(2)判斷M、N、P三點是否在一條直線上解(1)由公式得M的直角坐標為(1，)；N的直角坐標為(2,0)；P的直角坐標為(3，)(2)kMN，kNP.kMNkNP，M、N、P三點在一條直線上10在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系曲線C的極坐標方程為cos()1，M，N分別為C與x軸、y軸的交點(1)寫出C的直角坐標方程，并求M、N的極坐標；(2)設(shè)MN的中點為P，求直線OP的極坐標方程解(1)由cos()1得(cos sin )1.從而C的直角坐標方程為xy1，即xy2.當0時，2，所以M(2,0)當時，所以N(，)(2)M點的直角坐標為(2,0)N點的直角坐標為(0，)所以P點的直角坐標為(1，)則P點的極坐標為(，)，所以直線OP的極坐標方程為(R)