概率與統(tǒng)計【2019年高考考綱解讀】1.高考中主要利用計數(shù)原理求解排列數(shù)、涂色、抽樣問題，以小題形式考查.2.二項式定理主要考查通項公式、二項式系數(shù)等知識，近幾年也與函數(shù)、不等式、數(shù)列交匯，值得關注3.以選擇題、填空題的形式考查古典概型、幾何概型的基本應用.4.將古典概型與概率的性質相結合，考查知識的綜合應用能力5.以選擇題、填空題的形式考查隨機抽樣、樣本的數(shù)字特征、統(tǒng)計圖表、回歸方程、獨立性檢驗等.6.在概率與統(tǒng)計的交匯處命題，以解答題中檔難度出現(xiàn)【重點、考點剖析】一、排列組合與計數(shù)原理的應用1分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理如果每種方法都能將規(guī)定的事件完成，則要用分類加法計數(shù)原理將方法種數(shù)相加；如果需要通過若干步才能將規(guī)定的事件完成，則要用分步乘法計數(shù)原理將各步的方法種數(shù)相乘2.名稱排列組合相同點都是從n個不同元素中取m(mn)個元素，元素無重復不同點排列與順序有關；兩個排列相同，當且僅當這兩個排列的元素及其排列順序完全相同組合與順序無關；兩個組合相同，當且僅當這兩個組合的元素完全相同二、二項式定理1通項與二項式系數(shù)Tr1Canrbr，其中C(r0,1,2，n)叫做二項式系數(shù)2各二項式系數(shù)之和(1)CCCC2n.(2)CCCC2n1.三、古典概型與幾何概型1古典概型的概率公式P(A).2幾何概型的概率公式P(A).四、相互獨立事件和獨立重復試驗1條件概率在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率：P(B|A). 2相互獨立事件同時發(fā)生的概率P(AB)P(A)P(B)3獨立重復試驗、二項分布如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p，那么它在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.五、離散型隨機變量的分布列、均值與方差1均值與方差的性質(1)E(aXb)aE(X)b；(2)D(aXb)a2D(X)(a，b為實數(shù))2兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若X服從兩點分布，則E(X)p，D(X)p(1p)；(2)若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p)【題型示例】題型一排列組合與計數(shù)原理例1、(1)2018全國卷從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有_種(用數(shù)字填寫答案)(2)2018浙江卷從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字，從0,2,4,6中任取2個數(shù)字，一共可以組成_個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)(用數(shù)字作答)【解析】不含有0的四位數(shù)有720(個)含有0的四位數(shù)有540(個)綜上，四位數(shù)的個數(shù)為7205401 260.【答案】1 260【方法技巧】解排列、組合的應用題，通常有以下途徑： (1)以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素 (2)以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置(3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù).【變式探究】(2017全國)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有_種 站邀請，決定對甲、乙、丙、丁這四個景區(qū)進行體驗式旅游，若不能最先去甲景區(qū)旅游，不能最后去乙景區(qū)和丁景區(qū)旅游，則小李可選的旅游路線數(shù)為()A24B18C16 D10解析：分兩種情況，第一種：最后體驗甲景區(qū)，則有A種可選的路線；第二種：不在最后體驗甲景區(qū)，則有CA種可選的路線所以小李可選的旅游路線數(shù)為ACA10.選D.答案：D【變式探究】某校畢業(yè)典禮上有6個節(jié)目，考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有()A120種 B156種C188種 D240種解析：解法一記演出順序為16號，對丙、丁的排序進行分類，丙、丁占1和2號，2和3號，3和4號，4和5號，5和6號，其排法種數(shù)分別為AA，AA，CAA，CAA，CAA，故總編排方案有AAAACAACAACAA120(種)解法二記演出順序為16號，按甲的編排進行分類，當甲在1號位置時，丙、丁相鄰的情況有4種，則有CAA48(種)；當甲在2號位置時，丙、丁相鄰的情況有3種，共有CAA36(種)；當甲在3號位置時，丙、丁相鄰的情況有3種，共有CAA36(種)所以編排方案共有483636120(種)答案：A【變式探究】中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數(shù)”，數(shù)學某校國學社團開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在前三節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰排課，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有()A120種 B156種C188種 D240種(2)若自然數(shù)n使得作豎式加法n(n1)(n2)均不產(chǎn)生進位現(xiàn)象，則稱n為“開心數(shù)”例如：32是“開心數(shù)”因為323334不產(chǎn)生進位現(xiàn)象；23不是“開心數(shù)”，因為232425產(chǎn)生進位現(xiàn)象，那么，小于100的“開心數(shù)”的個數(shù)為()A9 B10 C11 D12答案D解析根據(jù)題意個位數(shù)需要滿足要求：n(n1)(n2)<10，即n<2.3，個位數(shù)可取0,1,2三個數(shù)，十位數(shù)需要滿足：3n<10，n<3.3，十位可以取0,1,2,3四個數(shù)，故小于100的“開心數(shù)”共有3412(個)【感悟提升】(1)在應用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理時，一般先分類再分步，每一步當中又可能用到分類加法計數(shù)原理(2)對于復雜的兩個原理綜合使用的問題，可恰當列出示意圖或表格，使問題形象化、直觀化【變式探究】(1)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五個人玩搶紅包游戲，現(xiàn)有4個紅包，每人最多搶一個，且紅包被全部搶完，4個紅包中有2個6元，1個8元，1個10元(紅包中金額相同視為相同紅包)，則甲、乙都搶到紅包的情況有()A18種 B24種C36種 D48種答案C解析若甲、乙搶的是一個6元和一個8元的，剩下2個紅包被剩下的3人中的2個人搶走，有AA12(種)搶法；若甲、乙搶的是一個6元和一個10元的，剩下2個紅包被剩下的3人中的2個人搶走，有AA12(種)搶法；若甲、乙搶的是一個8元和一個10元的，剩下2個紅包被剩下的3人中的2個人搶走，有AC6(種)搶法； 若甲、乙搶的是兩個6元的，剩下2個紅包被剩下的3人中的2個人搶走，有A6(種)搶法根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得甲、乙都搶到紅包的情況共有36種(2)(2018百校聯(lián)盟聯(lián)考)某山區(qū)希望小學為豐富學生的伙食，教師們在校園附近開辟了如圖所示的四塊菜地，分別種植西紅柿、黃瓜、茄子三種產(chǎn)量大的蔬菜，若這三種蔬菜種植齊全，同一塊地只能種植一種蔬菜，且相鄰的兩塊地不能種植相同的蔬菜，則不同的種植方式共有()1234A.9種 B18種 C12種 D36種答案B解析若種植2塊西紅柿，則他們在13,14或24位置上種植，剩下兩個位置種植黃瓜和茄子，所以共有326(種)種植方式；若種植2塊黃瓜或2塊茄子也是3種種植方式，所以一共有6318(種)種植方式題型二 二項式定理例2、(1)2018全國卷5的展開式中x4的系數(shù)為()A10 B20C40 D80【解析】5的展開式的通項公式為Tr1C5(x2)5rrC52rx103r，令103r4，得r2.故展開式中x4的系數(shù)為C52240.故選C.【答案】C【變式探究】(2017浙江)已知多項式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x2a4xa5，則a4_，a5_.答案164解析a4是x項的系數(shù)，由二項式的展開式得a4CC2CC2216.a5是常數(shù)項，由二項式的展開式得a5CC224.【變式探究】(2017浙江)從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，共有_種不同的選法(用數(shù)字作答)答案660【變式探究】若(13x)2 018a0a1xa2 018x2 018，xR，則a13a232a2 01832 018的值為()A22 0181 B82 0181C22 018 D82 018【解析】由已知，令x0，得a01，令x3，得a0a13a232a2 01832 018(19)2 01882 018，所以a13a232a2 01832 01882 018a082 0181，故選B.【答案】B【方法技巧】(1)利用二項式定理求解的兩種常用思路二項式定理中最關鍵的是通項公式，求展開式中特定的項或者特定項的系數(shù)均是利用通項公式和方程思想解決的二項展開式的系數(shù)之和通常是通過對二項式及其展開式中的變量賦值得出的，注意根據(jù)展開式的形式給變量賦值(2)【特別提醒】在應用通項公式時，要注意以下幾點：它表示二項展開式的任意項，只要n與r確定，該項就隨之確定；Tr1是展開式中的第r1項，而不是第r項； (2)已知1名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資每臺機器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時維修，就能使該廠產(chǎn)生5萬元的利潤，否則將不產(chǎn)生利潤若該廠現(xiàn)有2名工人，求該廠每月獲利的均值【解析】(1)1臺機器是否出現(xiàn)故障可看作1次試驗，在1次試驗中，機器出現(xiàn)故障設為事件A，則事件A的概率為.該廠有4臺機器，就相當于4次獨立重復試驗，可設出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為X，則XB，P(X0)C4，P(X1)C3，P(X2)C22，P(X3)C3，P(X4)C4.X的分布列為X01234P設該廠有n名工人，則“每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修”為Xn，即X0，X1，X2，Xn，這n1個互斥事件的和事件，則n01234P(Xn)190%，該廠至少需要3名工人，才能保證每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修的概率不少于90%.(2)設該廠每月可獲利Y萬元，則Y的所有可能取值為18,13,8，P(Y18)P(X0)P(X1)P(X2)，P(Y13)P(X3)，P(Y8)P(X4)，Y的分布列為Y18138P則E(Y)18138(萬元)故該廠每月獲利的均值為萬元【方法技巧】(1)求復雜事件概率的兩種方法直接法：正確分析復雜事件的構成，將復雜事件轉化為幾個彼此互斥的事件的和事件或幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件或一獨立重復試驗問題，然后用相應概率公式求解間接法：當復雜事件正面情況比較多，反面情況較少，則可利用其對立事件進行求解對于“至少”“至多”等問題往往也用這種方法求解(2)注意辨別獨立重復試驗的基本特征：在每次試驗中，試驗結果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；在每次試驗中，事件發(fā)生的概率相同【變式探究】某乒乓球俱樂部派甲、乙、丙三名運動員參加某運動會的單打資格選拔賽，本次選拔賽只有出線和未出線兩種情況規(guī)定一名運動員出線記1分，未出線記0分假設甲、乙、丙出線的概率分別為，他們出線與未出線是相互獨立的(1)求在這次選拔賽中，這三名運動員至少有一名出線的概率；(2)記在這次選拔賽中，甲、乙、丙三名運動員的得分之和為隨機變量，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望E.解析：(1)記“甲出線”為事件A，“乙出線”為事件B，“丙出線”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名出線”為事件D，則P(D)1P()1.所以的分布列為0123PE0123.題型五 離散型隨機變量的分布列、均值與方差例5、2018北京卷電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值假設所有電影是否獲得好評相互獨立(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率(3)假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用“k1”表示第k類電影得到人們喜歡，“k0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k1,2,3,4,5,6)寫出方差D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小關系【解析】(1)解：由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140503002008005102 000，第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是2000.2550，故所求概率為0.025.(2)解：設事件A為“從第四類電影中隨機選出的電影獲得好評”，事件B為“從第五類電影中隨機選出的電影獲得好評” 故所求概率為P(AB)P(A)P(B)P(A)(1P(B)(1P(A)P(B)由題意知P(A)估計為0.25，P(B)估計為0.2.故所求概率估計為0.250.80.750.20.35.(3)解：D1>D4>D2D5>D3>D6.【方法技巧】解答離散型隨機變量的分布列及相關問題的一般思路：(1)明確隨機變量可能取哪些值(2)結合事件特點選取恰當?shù)挠嬎惴椒?，并計算這些可能取值的概率值(3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解.【變式探究】(2017全國)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：)有關如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列；(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位：瓶)為多少時，Y的期望達到最大值？解(1)由題意知，X所有的可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知，P(X200)0.2，P(X300)0.4，P(X500)0.4.則X的分布列為X200300500P0.20.40.4 (2)由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮200n500.當300n500時，若最高氣溫不低于25，則Y6n4n2n；若最高氣溫位于區(qū)間20,25)，則Y63002(n300)4n1 2002n；若最高氣溫低于20，則Y62002(n200)4n8002n，因此E(Y)2n0.4(1 2002n)0.4(8002n)0.26400.4n.當200n<300時，若最高氣溫不低于20，則Y6n4n2n；若最高氣溫低于20，則Y62002(n200)4n8002n，因此E(Y)2n(0.40.4)(8002n)0.21601.2n.所以當n300時，Y的期望達到最大值，最大值為520元【變式探究】某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，8，其中X5為標準A，X3為標準B，已知甲廠執(zhí)行標準A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標準B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應的執(zhí)行標準(1)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下表所示：X15678P0.4ab0.1且X1的數(shù)學期望EX16，求a，b的值；(2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：353385563463475348538343447567用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學期望；(3)在(1)，(2)的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由注：產(chǎn)品的“性價比”產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望/產(chǎn)品的零售價；“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性(3)乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下：甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于6，價格為6元/件，其性價比為1，乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于4.8，價格為4元/件，其性價比為1.2，又1.21，乙廠的產(chǎn)品更具可購買性