【導與練】（新課標）20xx屆高三數(shù)學一輪復習 第6篇 第4節(jié) 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題課時訓練 理【選題明細表】知識點、方法題號二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域3、6、11線性目標函數(shù)的最值1、12非線性目標函數(shù)的最值5、8含參數(shù)的線性規(guī)劃問題2、9、10、13線性規(guī)劃的實際應(yīng)用4、15線性規(guī)劃綜合運用7、14、16基礎(chǔ)過關(guān)一、選擇題1.(20xx高考天津卷)設(shè)變量x,y滿足約束條件x+y-20,x-y-20,y1,則目標函數(shù)z=x+2y的最小值為(B)(A)2(B)3(C)4(D)5解析: 不等式組表示的可行域如圖所示.由x+y-2=0,y=1,得A(1,1).由圖知,當z=x+2y經(jīng)過A(1,1)時,z有最小值為3.故選B.2.(20xx吉林長春調(diào)研)實數(shù)x,y滿足x1,ya(a>1),x-y0,若實數(shù)z=x+y的最大值為4,則實數(shù)a的值為(A)(A)2(B)3(C)4(D)32解析:由約束條件x1,ya(a>1),x-y0,作出可行域為如圖所示的陰影部分,當z=x+y過y=x和y=a的交點A(a,a)時,z取得最大值,即zmax=a+a=4,所以a=2.故選A.3.若不等式組x-y0,2x+y2,y0,x+ya表示的平面區(qū)域是一個三角形,則a的取值范圍是(D)(A)43,+)(B)(0,1(C)1,43 (D)(0,143,+)解析:如圖所示,直線x+y=0從原點向右移動,移動到(1,0)時,再往右移,不等式組所表示的平面區(qū)域就不能構(gòu)成三角形了;又從點A23,23向右移動時,不等式組所表示的平面區(qū)域為整個陰影部分的三角形.0<a1或a43.故選D.4.某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元,每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中,要求每天消耗A、B原料都不超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計劃,從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中,公司共可獲得的最大利潤是(C)(A)1800元(B)2400元(C)2800元(D)3100元解析:設(shè)每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x桶,乙種產(chǎn)品y桶,則根據(jù)題意得x、y的約束條件為x0,xN,y0,yN,x+2y12,2x+y12.設(shè)獲利z元,則z=300x+400y.畫出可行域如圖.畫直線l:300x+400y=0,即3x+4y=0.平移直線l,從圖中可知,當直線過點M時,目標函數(shù)取得最大值.由x+2y=12,2x+y=12,解得x=4,y=4,即M的坐標為(4,4),zmax=300×4+400×4=2800(元).故選C.5.若實數(shù)x、y滿足x+2y-40,x0,y0,則z=y+2x-1的取值范圍為(B)(A)(-,-423,+)(B)(-,-223,+)(C)-2,23(D)-4,23解析: 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,如圖.因為z=y+2x-1,所以z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)過任意一點(x,y)與點P(1,-2)的直線的斜率.由題意知C(4,0),所以kPO=-2,kPC=-2-01-4=23,所以z=y+2x-1的取值范圍為z23或z-2,即(-,-223,+).故選B.二、填空題6.(20xx高考安徽卷)不等式組x+y-20,x+2y-40,x+3y-20表示的平面區(qū)域的面積為. 解析:畫出可行域,如圖所示,由x+3y-2=0,x+2y-4=0,得A(8,-2),所以S=12×2×2+12×2×2=4.答案:47.若實數(shù)x,y滿足x-y+10,x+y0,x0,則z=3x+2y的值域是. 解析:令t=x+2y,則y=-12x+t2,作出可行域,平移直線y=-12x,由圖象知當直線經(jīng)過O點時,t最小,當經(jīng)過點D(0,1)時,t最大,所以0t2,所以1z9,即z=3x+2y的值域是1,9.答案:1,98.(20xx山西大同重點中學聯(lián)考)已知正實數(shù)m,n滿足2<m+2n<4,則m2+n2的取值范圍是. 解析:作出不等式組m>0,n>0,m+2n>2,m+2n<4所表示的平面區(qū)域,如圖陰影部分所示,令z=m2+n2,則z表示區(qū)域內(nèi)的動點(m,n)到原點的距離的平方,由圖可知z=m2+n2經(jīng)過點D(4,0)時,z取最大值,此時z=16,而原點到直線m+2n=2的距離最短,故zmin=(|-2|12+22)2=45,又因為原不等式組所表示的平面區(qū)域不含邊界,故m2+n2的取值范圍為(45,16).答案:(45,16)9.若x,y滿足條件3x-5y+60,2x+3y-150,y0,當且僅當x=y=3時,z=ax+y取得最大值,則實數(shù)a的取值范圍是. 解析:直線3x-5y+6=0和直線2x+3y-15=0的斜率分別為k1=35,k2=-23.作出可行域如圖所示,當且僅當直線z=ax+y經(jīng)過點(3,3)時,z取得最大值,則直線z=ax+y的斜率-a滿足-23<-a<35,解得-35<a<23.答案:(-35,23)10.設(shè)變量x,y滿足約束條件x+ya,x+y8,x6,且不等式x+2y14恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是. 解析:不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示,顯然a8,否則可行域無意義.由圖可知x+2y在點(6,a-6)處取得最大值2a-6,由2a-614得,a10.8a10.答案:8,10三、解答題11.已知D是以點A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)為頂點的三角形區(qū)域(包括邊界與內(nèi)部).如圖所示. (1)寫出表示區(qū)域D的不等式組.(2)設(shè)點B(-1,-6),C(-3,2)在直線4x-3y-a=0的異側(cè),求a的取值范圍.解:(1)直線AB,AC,BC的方程分別為7x-5y-23=0,x+7y-11=0,4x+y+10=0.原點(0,0)在區(qū)域D內(nèi),故表示區(qū)域D的不等式組為:7x-5y-230,x+7y-110,4x+y+100.(2)根據(jù)題意有4×(-1)-3×(-6)-a4×(-3)-3×2-a<0,即(14-a)(-18-a)<0,解得-18<a<14.故a的取值范圍是(-18,14).12.(20xx高考陜西卷改編)在直角坐標系xOy中,已知點A(1,1),B(2,3),C(3,2),點P(x,y)在ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上,設(shè)OP=mAB+nAC(m,nR).用x、y表示m-n,并求m-n的最大值.解:AB=(1,2),AC=(2,1),OP=mAB+nAC,(x,y)=(m+2n,2m+n),x=m+2n,y=2m+n,兩式相減得m-n=y-x,令y-x=t,由圖知,當直線y=x+t過點B(2,3)時,t取得最大值1,故m-n的最大值為1.能力提升13.(20xx高考安徽卷)x,y滿足約束條件x+y-20,x-2y-20,2x-y+20.若z=y-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則實數(shù)a的值為(D)(A)12或-1(B)2或12(C)2或1(D)2或-1解析:線性約束條件對應(yīng)的可行域如圖所示:目標函數(shù)z=y-ax化為y=ax+z,當a>0時,要使其取得最大值的最優(yōu)解不唯一,需動直線y=ax+z與2x-y+2=0平行或重合,此時a=2;同理當a<0時,需動直線y=ax+z與x+y-2=0平行或重合,此時a=-1,故選D.14.(20xx河北衡水中學期中)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(3)=1,f(-2)=3,f(x)為f(x)的導函數(shù),已知y=f(x)的圖象如圖所示,且f(x)有且只有一個零點,若非負實數(shù)a,b滿足f(2a+b)1,f(-a-2b)3,則b+2a+1的取值范圍為(D) (A)(-,453,+)(B)45,+)(C)(-,3 (D)45,3解析:由y=f(x)的圖象可知,當x(-,0)時,y=f(x)為減函數(shù),當x(0,+)時,y=f(x)為增函數(shù),所以f(2a+b)1可轉(zhuǎn)化為f(2a+b)f(3),即2a+b3,f(-a-2b)3可轉(zhuǎn)化為f(-a-2b)f(-2),即-a-2b-2,a+2b2,因此實數(shù)a,b滿足a0,b0,2a+b3,a+2b2,畫出所表示的平面區(qū)域,如圖陰影部分所示,而b+2a+1表示陰影區(qū)域內(nèi)的任意一點(a,b)與點M(-1,-2)連線的斜率,由圖可知(b+2a+1)max=kMA=1-(-2)0-(-1)=3,(b+2a+1)min=kMB=-2-0-1-32=45,故b+2a+1的取值范圍為45,3.故選D.15.咖啡館配制兩種飲料,甲種飲料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克,乙種飲料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克.已知每天原料的使用限額為奶粉3600克、咖啡2000克、糖3000克,甲種飲料每杯能獲利潤0.7元,乙種飲料每杯能獲利潤1.2元,每天應(yīng)配制兩種飲料各多少杯能獲利最大?解:設(shè)每天配制甲種飲料x杯、乙種飲料y杯可以獲得最大利潤,利潤總額為z元.由條件知:z=0.7x+1.2y,變量x、y滿足9x+4y3600,4x+5y2000,3x+10y3000,x0,y0,且x、y均為整數(shù).作出不等式組所表示的可行域如圖所示.作直線l:0.7x+1.2y=0,把直線l向右上方平移至經(jīng)過A點的位置時,z=0.7x+1.2y取最大值.由方程組3x+10y-3000=0,4x+5y-2000=0,得A點坐標(200,240).即應(yīng)每天配制甲種飲料200杯,乙種飲料240杯方可獲利最大.探究創(chuàng)新16.(20xx遼寧沈陽質(zhì)量監(jiān)測)在滿足不等式組x-y+10,x+y-30,y0的平面點集中隨機取一點M(x0,y0),設(shè)事件A為“y0<2x0”,那么事件A發(fā)生的概率是(B)(A)14(B)34(C)13(D)23解析:不等式組x-y+10,x+y-30,y0表示的平面區(qū)域的面積為12×3-(-1)×2=4,不等式組x-y+10,x+y-30,y0,y<2x,表示的平面區(qū)域的面積為12×3×2=3,因此所求的概率等于34.故選B.